1、5.3 三角函数的图象和性质知识框架考试要求5.1 三角函数的概念、同角关系、诱导公式5.2 三角恒等变换5.4 三角函数应用知识框架知识框架任意的概念角的度量方法(角度制与弧度制)同角三角函数关系式任意角的三角函数三角函数的图象和性质诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形(求值、化简、证明)函数y=Asin(x+)的图象返回章菜单 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx , y=cosx ,y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在 0
2、,2，正切函数在 上的性质（如单调性、最在和最小值、图象与x轴交点等）. 理解同角三角函数的基本关系式：考试要求考试要求、222，.tancossin1cossin22xxx，xx 了解y=Asin (x+ )的实际意义；能画出y=Asin(x+ )的图象，观察参数A，, 对函数图象变化的影响. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 会用向量的数量积推导两角差的余弦公式. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角
3、公式，但不要求记忆）.考试要求考试要求返回章菜单知识要点例题剖析知识要点知识要点1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函数（1）设角是一任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin=y，cos=xtanx= ；（2）三角函数的符号：由于sin0 y0，故的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时，sin为正；由于cos0 x0，故的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时，cos为正；由于tan0 xy0，即x与y同号，故当终边在第一、三象限时，tan为正.xy知识要点知识要点4.同角三角函数关系同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义.5.
4、同角三角函数的基本关系式： 平方关系： 商数关系：6.诱导公式： 的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象限”； 的三角函数值等于的余函数值，前面加1cossin22cossintan2 ,)(2、Zkk232，上一个把“看成”锐角时原函数值的符号，即“函数名改变，符号看象限”； 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为090角的三角函数值.知识要点知识要点返回节菜单例题剖析例题剖析例1 若角是第三象限的角，则点P（sin, tan)位于第 象限.答案 二解析 为第三象限角 sin0, tan0 p(sin, tan)位于第二象限例2 化简
5、 sin420cos330+sin (-690) cos (-660)例题剖析例题剖析)2(tan)sin()sin()cos()2sin()(cos)2tan()(sin222解析 原式 = sin ( 360+ 60) cos ( 360- 30) + sin ( - 720+ 30) cos ( -720+ 60) = sin 60 cos 30+ sin 30cos 60=原式 =121212323cossinsintansincossincostansin22222. 1cossincoscossincos2222例题剖析例题剖析点评 应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函
6、数是应掌握的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.例题剖析例题剖析例3、cossin),0），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？)cm)(233(5060sin10211031021)cm(310.10,36022SSSlR扇弓解析 （1）设弧长为l,弓形面积为S弓.例题剖析例题剖析.16,)2(24.1644124412)2(2121222)2(2222222cccccRScRRRlRc扇形面积最大值为时舍去即当且仅当扇形周长扇例题剖析例题剖析点评弧长和扇形的核心公式是圆周长公式c=2R和圆面积公式S=R2;当用圆心角(弧度)代换2时，即可得到一般弧长和扇形面积公式.返回节菜单返回
7、章菜单知识要点例题剖析知识要点知识要点1.两角和与差的三角函数公式tantan1tantan)tan(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(2.二倍角公式22222tan1tan22tansin211cos2sincos2coscossin22sin3.平方降幂扩角公式22cos1sin2知识要点知识要点22cos1cos24. )cossin(cossin222222xbabxbaabaxbxa).0(),(,tan,sin,cos),sin(222222abbaabbabbaaxba同象限与点其中5.公式应用讲究一个“活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件
8、应用公式，如拆角、拼角等技巧，如.2422)()(2 ,)(倍角等的是、返回节菜单例1 sin15+cos15的值: .例题剖析例题剖析答案 26解析 法(一)sin15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sin30例题剖析例题剖析2621130sin115cos15sin21)15cos15(sin15cos15sin)(2623260sin22三法例题剖析例题剖析例2 不查表求值)10tan31 (40cos110cos10cos10cos80sin10cos40sin40cos210cos)3010sin(40cos210cos)10cos2110sin23(40co
9、s210cos)10cos10sin3(40cos10cos10sin3解析 原式=cos40(1+ )例题剖析例题剖析点评 不查表求含非特殊角的三角函数式的值，应注意题中各角的特征与相互之间的关系，特别注意这些角的和、差、倍、半是否为特殊角.例题剖析例题剖析例3 已知.2cos2sin,53)sin(,1312)cos(,432、求)53(1312)54(135)sin()cos()cos()sin()()(sin2sin54)(sin1)cos(.135)(cos1)sin(23,4022解析,432例题剖析例题剖析.6556)()(cos2cos.656313553131254)sin(
10、)sin()cos()cos(例题剖析例题剖析点评 给出角的三角函数值,求另一角的三角函数值时,要注意活用二角和、差的三角函数公式，将待求角配凑出用已知角表示的式子，再应用三角公式进行求解，如本例的2用（+）+（-)表示，2用（+）-(-)表示.延伸拓展延伸拓展1)2tan(,21)tan(),2(,53sin求已知解析 法(一)由条件可得法(二)由条件得21tan,54cos2471134432tantan12tantan)2tan(34tan1tan22tan,43tan221tan,54cos112tantan1tantan)tan(,43tan延伸拓展延伸拓展1247111121112
11、tan)tan(1tan)tan()(tan)2tan(例题剖析例题剖析例4 已知 且20,54sin)45tan()2(;2coscos2sinsin) 1 (22求求解析54sin,20) 1 (202516259225242516sincoscoscossin2sin34tan,53cos2222原式例题剖析例题剖析7134113445tantan145tantan)45tan()2(例题剖析例题剖析点评 已知的某种三角函数值,可求的其它三角函数值,利用二倍角及两角和差关系式,可求2或+ ( 为特殊角)的三角函数值.延伸拓展延伸拓展2.)cos(sinsin2cossin2)sin(,
12、2tan,54cos,的值求中在BABABABABAABC解析 法(一)由条件得51cos,52sin,43tan,53sinBBAA215525253251532551155252535154sinsincoscos)cos(551152545153sincoscossin)sin(原式BABABABABABA延伸拓展延伸拓展2214321432tantan1tantan)tan()cos()sin(sinsincoscossinsin2cossin2sincoscossin43tan)(ABABABABABBABABABABABAA原式由条件得二法例题剖析例题剖析例5 是否存在锐角、，使+
13、2= 与tan tan= 同时成立？若存在，求出、的大小；若不存在，说明理由.32232:tan,2tan. 32tan2tan. 33tan2tan. 3)32(1tan2tantan2tan1tan2tan3)2tan(,32的方程是关于又即即x解析 假设存在满足条件的锐角，则例题剖析例题剖析.4,664322tan1tan12tan030 ,420, 32, 1.032)33(212满足条件存在即依题得的两根xxxx例题剖析例题剖析点评 问是否存在的问题，一般选假设存在，再从条件入手；求角时，一般是先求得三角函数值，再由角的范围求得角的大小.返回节菜单返回章菜单知识要点例题剖析知识要点知
14、识要点1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质图象定义域值域奇偶性单调性周期性2.y=Asin (wx+ ）的图象作图方法：（1）五点作图法（2）图象变换法a.相位变换y=sinx图象向左（ 0)或向右（ 0）平移| |个单位得到y=sin (x+ )的图象.知识要点知识要点b.周期变换y=sinx横坐标伸长（0w1)到原来的 倍（纵坐标不变）得到y=sinwx的图象.c.振幅变换y=sinx纵坐标伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍（横坐标不变）得到y=Asinx图象.3. y=Asin (wx+ ），y=Acos (wx+ )（A0，w0）的最小正周期为 , y=Ata
15、n (wx+ )(A0,w0) 的最小正周期为 .4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象可得y=sinx图象关于直线x=k+ 对称，关于点（k,0）对称;w1w2w2y=cosx图象关于直线x=k对称，关于点（k+ ,0）对称;y=tanx图象关于点（ ,0）对称(以上kZ). 5.三角函数中的最值问题一般有如下三种方法：（1）三角法：先通过三角恒等变形，化为形如y=Asin (wx+ ）+B,y=Acos (wx+ )+B,y=Atan (wx+ )+B，利用|sin (wx+ )|1, |cos (wx+ )|1或图象来确定最值.（2）代数法：先通过变量代换转化为代数函数，再
16、利用配方法、不等式法、判别式法、单调性法等求解.（3）解析法：将三角函数与坐标定义联系起来运用解析几何的知识来求最值.知识要点知识要点22k返回节菜单例题剖析例题剖析例1 函数y=cos4x-sin4x图象的一条对称轴方程是 .).,2(2Zkkxx或形如,2cos)cos)(sinsin(cos2222xxxxxy.,22Zkkxkx得由答案解析例题剖析例题剖析例2 已知函数 （1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的图象；（3）说明该函数的图象可以由y=sinx的图象经怎样的变换得到.)32sin(2xyx0020-2032x)32sin(2xy6123127652232解析（1
17、）振幅A=2，周期T= ，初相 （2）列表：223例题剖析例题剖析描点作图（如右图）（3）把y=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位得到y=sin (x+ )的图象;再把y=sin(x+ )图象上各点的横坐标缩短为原来的 33321(纵坐标不变)倍,得到y=sin (2x+ )的图象;再把y=sin(2x+ )图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)即可得到y=2sin (2x+ )的图象.333 动态演示动态演示例题剖析例题剖析点评 作y=Asin (wx+ )+B的图象以五点法最为方便,但必须清楚它的图象与y=sinx图象的关系.例题剖析例题剖析例3 已知函数 （1）求其最小正
18、周期、单调增区间；（2）求其最大值及取得最大值时x的集合.21cos)sin(3sin2xxxy21cossin3sin) 1 (2xxxy1)62sin(1)2cos212sin23(212sin2322cos1xxxxx解析例题剖析例题剖析.,32,32,23262.,1)62sin()2(32,632 6223 62 22,22ZZkkxxxkxkxyxkkkkxkkxk的集合为函数取得最大值时得此时有最大值时所求的单调增区间为得由最小正周期为例题剖析例题剖析点评 求函数的最小正周期,若能化为形如y=Asin (wx+ )+B成y=Acos (wx+ )+B或y=Atan (wx+ )+
19、B,则只须分别代入 即可求y=Asin (wx+ )+B的单调区间问题,实位是利用y=sinx的单调性及复合函数的问题来解决,特别应注意w0或A0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐为(1)求w的值;(2)若f(x)在区间 上的最小值为 ,求a的值.3665,33awxawxwxxf23)32sin(232sin212cos23)() 1 (67, 03,65,323)3sin()() 1 ()2(.21,2362xxaxxfww时又当得由解得依题意得解析例题剖析例题剖析213323213232165,3)(1 )3sin( 21aaaxfx由题意得上取得最小值在故例题剖析
20、例题剖析点评关于给出条件求y=Asin(wx+ )+B的表达式,求解时应注意y=sinx图象及性质,原因是y=Asin(wx+ )+B图象必可由y=sinx图象平移成伸缩得到,在求y=Asin(wx+ )+B且x给定范围的最值时,应注意不能直接把给定区间的边界值代入.延伸拓展延伸拓展2已知函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称.(1)求实数a的值;(2)求当|x| 时,f(x)的值域.842cos2sin0cos0sin,)4()0(.)4()(aaffxxfxf即成立都成立时R解析 (1)点P(x，y)关于直线x= 的对称点P( -x,y)由条件,P在f(x)图象上时
21、,P也在f(x)图象上84延伸拓展延伸拓展22, 1)(2 )( 11 )4sin(2 2243 42 44 4)42sin(2)() 1 ()2(1)42sin(2)422sin(2)4()42sin(22cos2sin)(,1的值域为即得得由为所求即此时xfxfxxxxxfaxxxfxxxxfa例题剖析例题剖析例5 如下图,是函数y=2sin(wx+ )(| | w0)的一段图象,则w、 的值是（）26, 2.D6, 2.C6,1110B.6,1110.Awwww例题剖析例题剖析解析 如上图，给我们的信息是(1)点(0,1),( ,0)在图象上(2)函数的最小正周期12111211| AB
22、T21,11240,11240,12112)(11212)(122110)61211sin(6,2 |1sin2或时满足得由得又kwwwwkkwkkwwZZ例题剖析例题剖析.C211106111211|22511,11102,111021答案为不合得图中可得时当由此得到wwTBCTTwww例题剖析例题剖析点评 在给出图象求表达式时，应注意充分挖掘图中的信息，如对称性、单调性、特殊点等，对三角函数来说还应注意其最小正周期.返回节菜单返回章菜单知识要点例题剖析知识要点知识要点1.利用三角函数的图象和性质，解决与三角函数有关的最 值问题、不等式问题、奇偶问题等.2.通过引入三角函数，解决给出有一定实
23、际背景的问题.返回节菜单例题剖析例题剖析例1 关于函数f(x)=4sin(2x+ )( )有以下命题：f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；y=f(x)可以改写为y=4cos(2x- );y=f(x)的图象关于点(- ,0)对称；y=f(x)的图象关于直线x=- 对称；其中正确的命题的序号是 (把你认为正确的都填上).3Rx666答案 例题剖析例题剖析解析 取x1=命题不成立.,20)()(,65,321212xxxfxfx但时.,)(0)6(.,)0 ,6(, 06.),62cos(4)62cos(4)32(2cos4)32sin(4不成立故命题的最大值或量小值不是成立命题对
24、称函数图象关于点代入函数得将成立命题xfyfyxxxxxy例题剖析例题剖析例2 如下图所示，函数y=-xcosx的部分图象是 （）解析 f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又当 时,f(x)0,排除B选D)2, 0(x例题剖析例题剖析点评 给出函数的解析式来认图象的，可以从给出的解析式的定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点、单调性等方面进行排除.例题剖析例题剖析例3 某港口的水深y(米)与时间t(0t24,单位：时）的函数关系记为y=f(t)，下面是该港口某日的水深数据表：t(时)03691215182124y(米) 10.0 13.09.97.
25、010.013.010.17.010.0 由上述数据描出函数y=f(t)的图象（如图）,经过长期的观察和拟合知该图象可近似地看作函数y=Asinwt+B的图象.(1)试根据所给数据和图象，求出函数的表达式；(2)在一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不得小于4.5米才能保证航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距离）为7米，那么该船在何时段内航行时才是安全的？例题剖析例题剖析解析 (1)根据表中的数据并结合图象可知.24, 00 .106sin0 . 3612, 0 .10, 0 . 320 . 70 .13ttywTBA例题剖析例题剖析(2)依题意,要使船安全通过,水深不得少于11.
26、5米令y11.5得3.0sin11.5 0 .106t.17135124, 0)(125 121265 6 2621 6sin时航行时才是安全的时至时或下午时至船在凌晨又tkktkktktZ1t 5或13 t 17例题剖析例题剖析点评 由图象或表数据求形如y=Asin(wx+ )+B的解析式时，通常由图象的最高点和最低点(数据的最大值和最小值)来求A和B，由周期来求w，由特殊点来求 .(2007江西)如图，函数y=2cos(x+)(xR,0,0 )的图象与y轴交于点(0, )，且该函数的最小正周期为.(1)求和的值；(2)已知点A( ,0),点P是该函数图象上一点,点Q(x0,y0)是PA的中
27、点，当y0= ，x0 ,时，求x0的值.232232延伸拓展延伸拓展1解析 (1)将x=0,y= 代入函数y=2cos(wx+)中,得cos= ,因为0 ,所以=32326延伸拓展延伸拓展14332613654611654619 654 67,23)654cos( 2,)3,22(23,),(),0 ,2()2(20,200000000000 xxxxxxxPxPyPAyxQAT或或且在函数图象上点的坐标为点的中点是因为点得又例题剖析例题剖析例4 已知实数x、y满足x2+y2+2x=0,求y2-3x的最大值及最小值.解析 法(一)由条件得y2=-x2-2x,且y20得-2x0f(x)=y2-3
28、x=-x2-2x-3x=-x2-5x(-2x0)由抛物线的图象可得f(x)在-2,0上为减函数.故x=-2时，f(x)取得最大值6x=0时，f(x)取得最小值0法(二)由条件得(x+1) 2+y2=1令x+1=cos,y=sin,即x=-1+cos,y=siny2-3x=sin2-3(-1+cos)=1-cos2-3cos+3例题剖析例题剖析03,1cos63,1cos1 cos 1494)23(cos. 4cos3cos2222取得最小值为时当取得最大值为时当xyxy延伸拓展延伸拓展2已知a、b都为非负实数,且a+b=1,求M=a3+b3的最大、最小值.解析 依条件,可令a=sin2,b=c
29、os2,则M=sin6+cos6=(sin2+cos2)3-3sin2cos4-3sin4cos2=1-3sin2cos2(cos2+sin2)=1-3sin2cos2=1- sin20sin21 M1仅当sin2=1时,M取得最小值 ,当sin2=0时,M取得最大值1. 434141延伸拓展延伸拓展2点评 三角换元是求最值的一个有效方法,特别是已知条件为形如“a+b=定值,a0,b0”或“a2+b2=定值”的问题运用三角换元来解决,往往能起到减少运算量的效果.例题剖析例题剖析例5 如右图，扇形AOB 圆心角为 ，半径OA=R，P是AB上的动点，PCOA于C，PDOB于D，求四边形OCPD面积的最大值.4 )则PC=Rsinx，OC=Rcosx，DP=Rsin( -x)，OD=Rcos( -x)333)3cos()3sin(21cossin21|21|2122xxRxxRDPODCPOCSSSODPOCPOCPD解析 连接OP，设AOP=x，(0 x例题剖析例题剖析.43626243 )62sin(432cos212sin23432sin212cos232sin4)232sin(2sin4222222ROCPDxxRxRxxRxxxRxxR面积的最大值为四边形时取等号即当且仅当
