1、 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念一、全微分的概念一、全微分的概念8-3、全微分及其应用、全微分及其应用 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oy
2、BxAz ，其中，其中BA,不依赖于不依赖于yx ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yx ，则称函数则称函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分，可微分，yBxA 称为函数称为函数),(yxfz 在点在点),(yx的的全微分全微分，记为，记为dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定义全微分的定义dzz 实质实质: 函函数数若若在在某某区区域域 D 内内各各点点处处处处可可微微分分，则则称称这这函函数数在在 D 内内可可微微分分. 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, 则则函数在该点连续函数在该点连续.事实上事实上,由可微知：由可微知：),(
3、oyBxAz zyx 00lim)(lim)(lim000 yBxAyx0 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.可微可微 连续连续定理定理1不不连续连续 不可微不可微 .000),(222222 yxyxyxxyyxf.00）处不可微（因不连续）处不可微（因不连续，但它在（但它在（如函数如函数二、可微的条件二、可微的条件可导可导可微可微 定定理理 1 1（必必要要条条件件）如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yx可可微微分分，则则该该函函数数在在点点),(yx的的偏偏导导数数xz 、yz 必必存存在在，且且函函数数),(yxfz 在在点点),(yx的的全全微微
4、分分为为 yyzxxzdz 2证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,|),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB .dyyzdxxzdz 即即此时，上式可变为：此时，上式可变为：),(),(yxfyyxxfz 一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 y
5、xyxyxxyyxf.00）处处不不可可微微（因因不不连连续续，但但它它在在（说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，在点在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的
6、情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况定理定理（充分条件）如果函数（充分条件）如果函数),(yxfz 的偏的偏导数导数xz 、yz 在点在点),(yx连续，则该函数在点连续，则该函数在点),(yx可微分可微分3多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导.dyyzdxxzdz 例例 1 1 计算函数计算函数xyez 在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分.解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分三、全微分的计算三、全
7、微分的计算.dyyzdxxzdz 例例 2 2 求函数求函数)2cos(yxyz ，当，当4 x， y，4 dx， dy时的全微分时的全微分.解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 请大家做请大家做:.,. 12dzxzy求求 .,sin2. 2duxzyeuxy求求 .ln22212xdyxdx
8、yxdzyy dxxzzyeduxy)cos( .cos)2(xzdzxdyxexy 例例4时的时的处关于处关于在点在点求函数求函数2 . 0, 1 . 0)3 , 2( yxxyz.全增量与全微分全增量与全微分解解).(),(yxfyyxxfz 32)2 . 03)(1 . 02( 72. 0 . 2)3 . 2(, 3)3 . 2( yxffyfxfdzyx )3 . 2()3 . 2(. 7 . 02 . 021 . 03 .),(),(yyxfxyxfdzzyx 四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏
9、导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxf 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021 .08. 1 ),()02. 02 ,04. 01()04. 1(02. 2yyxxff yyxfxyxfyxfyx ),(),(),(多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一（注意：与一元函数有很大元函数有很大区别）区别）五、小结五、小结),( oyBxAz dzz .dyyzdxxzdz 函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导作业：作业：P199 1-3
