1、37.直线的方程直线的方程 知识精讲知识精讲: : （1）倾斜角：倾斜角：当直线当直线L与与x轴相交时，取轴相交时，取x轴作为轴作为基准，基准，x轴正向与直线轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫向上方向之间所成的角叫做直线做直线L的倾斜角。当直线的倾斜角。当直线L和和x轴平行或重合时，轴平行或重合时，我们规定直线我们规定直线L的倾斜角为的倾斜角为00。故倾斜角的范围是。故倾斜角的范围是0，）。）。（3）过两点）过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1x2)的直线的直线的的斜率公式斜率公式k=tan= 1 12 21 12 2x xx xy yy y（2）斜率：斜率：不是不是900的倾斜
2、角的正切值叫做直线的斜的倾斜角的正切值叫做直线的斜率，即率，即k=tan (当当k0时时,倾斜角是锐角；当倾斜角是锐角；当k0时时,倾倾斜角是钝角，当斜角是钝角，当k=0时，倾斜角等于时，倾斜角等于0)(5).(5).直线的方向向量直线的方向向量 经过两点经过两点P P1 1（x x1 1，y y1 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2）的直线）的直线的方向向量为的方向向量为 ，其坐标为（，其坐标为（x2-x1，y2-y1）。）。21PP当斜率当斜率k k存在时，方向向量的坐标可记为（存在时，方向向量的坐标可记为（1 1，k k）。）。(4).每一条直线都有惟一的倾斜角，但并不是
3、每一每一条直线都有惟一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率，倾斜角是条直线都存在斜率，倾斜角是90的直线斜率不存的直线斜率不存在所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率在所以在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解(6).直线方程的种形式：直线方程的种形式： 121121xxxxyyyy直 线直 线名称名称方 程 形方 程 形式式常数意义常数意义适用范围适用范围备注备注 点 点斜式斜式y-y0=k(x-x0)K斜率斜率,(x0,y0)线上定点线上定点K存在存在K 不 存 在不 存 在时时 x= x0 斜 斜截式截式y=k
4、x+bK斜率斜率,b为为y轴轴上截距上截距K存在存在K 不 存 在不 存 在时时 x= x0 两 两点式点式(x1,y1), (x2,y2)是线是线上 两 定 点 且上 两 定 点 且(x1x2 ,y1,y2),不 垂 直不 垂 直x,y轴轴x1= x2时时x=x1y1=,y2时时y=,y1 截 截距式距式a,b 分别为分别为x,y轴上截距轴上截距不垂直不垂直x,y轴 和 过 原轴 和 过 原点点a=b=0时时y=kx 一 一般式般式Ax+By+C=0A,B不同时为不同时为0任意直线任意直线A,B,C为为0时时,直线的特点直线的特点1byax注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。
5、注意：除了一般式以外，每一种方程的形式都有其局限性。 (2) (2)直线直线 的倾斜角的的倾斜角的取值范围是取值范围是_。 sin320 xy 练习练习1:直线直线ax+y+1=0与连接与连接A(2,3)、B(3,2)的线段相交的线段相交,则则a的取值范围是的取值范围是( ) A.1,2 B.2,+）（,1） C. 2,1 D. 1,+）（,2） 333sin333kk 50,66 解解:直线的斜率为：直线的斜率为：,D 一一.倾斜角与斜率的关系倾斜角与斜率的关系典型例题典型例题例例1、 （1）k-1,1,则则,434, 0解解:直线直线ax+y+1=0过定点过定点C(0,1),当直线处在当直
6、线处在AC与与BC之间时之间时,必与线段必与线段AB相交相交,应满足应满足213 a312 a或或2a1a即即或或例例2、已知已知ABC中，中，B(1,2),BC边上的高线边上的高线AD方方程为程为x-2y+1=0 ,角角A平分线平分线y=0,求求AC,BC边所在直边所在直线方程。线方程。 二二.直线方程的几种形式直线方程的几种形式练习练习2：经过点经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上，并且在两个坐标轴上的截距的相等的直线方程。的截距的相等的直线方程。例例3、一条直线被两直线：一条直线被两直线：4 4x+y+6=0, x+y+6=0, 3x3x5y5y6=06=0截得的线段的中点恰好为截得的
7、线段的中点恰好为坐标原点坐标原点, ,求这条直线的方程求这条直线的方程. .练习练习3 3 已知直线已知直线 的交点为的交点为P(2,3),P(2,3),求过两点求过两点 的直线方程的直线方程112210,10a xb ya xb y 11122212(,),(,),()Q a bQ a baa（1）ABO面积的最小值，及相应的直线方程面积的最小值，及相应的直线方程（2）若）若OA+OB取最小值时取最小值时,求直线方程求直线方程（3）若）若PAPB取最小值时，求直线方程取最小值时，求直线方程 例例4、过点过点P(2,1)作直线作直线l分别交分别交x,y的的正半轴正半轴于于A,B两点求两点求解法
8、三：设OAP=，则1212tantan12sincosOAOBPAPB 12(2) OA+OB= 132tantan(3) PAPB=2sincos（1）SABC=OAOB=144tantan练习练习4、过点、过点P(2,1)作直线作直线l分别与分别与x,y轴相交，轴相交，围成三角形面积为围成三角形面积为3、4、5的直线分别有几条。的直线分别有几条。答案：答案：3时时2条。条。 4时时3条。条。 5时时4条条建系例例5、某房地产公司要在荒地上划出一块长方形某房地产公司要在荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如地面（不改变方位）建造一栋八层公寓，问如何设计才能使面积最大？并
9、求面积的最大值何设计才能使面积最大？并求面积的最大值（精确到（精确到1m2）直线方程的应用直线方程的应用【课堂小结】【课堂小结】（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；）由直线方程找出斜率与倾斜角；(2)确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉， (3)灵活地设直线方程各形式，求解直线方程灵活地设直线方程各形式，求解直线方程 (4)直线方程的五种形式之间的熟练转化。直线方程的五种形式之间的熟练转化。(注意注意)几种特定题型的解法几种特定题型的解法1. 若直线若直线(m21)xy2m+1=0不经过第一象限，则实数不经过第一象限，则实数 m的取值范围是的取值范围是 。 2. 一条直线经过点一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，），并且分别满足下列条件，求直线方程：求直线方程：（1）倾斜角是直线）倾斜角是直线x4y+3=0的倾斜角的的倾斜角的2倍；倍；（2）与）与x、y轴的正半轴交于轴的正半轴交于A、B两点，且两点，且AOB的面的面 积最小（积最小（O为坐标原点）为坐标原点） 3. 直线直线m被两条直线被两条直线m1:4x+y+3=0和和m2:3x5y5=0截截 得的线段中点为得的线段中点为P(1,2),求直线求直线m的方程。的方程。作业作业:
