1、 当当H与与t无关时，含时间的薛定谔方无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：程的特解为： 其中其中 。 方程被称为不含时间的薛定谔方程方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为，或称为能量本征方程。能量本征方程。/iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEEA. 在上述方程中，在上述方程中，E实际上是体系的能量。实际上是体系的能量。B. 一般而言，上述方程对任何一般而言，上述方程对任何E值都有非零解。值都有非零解。但由于对波函数有一定要求（自然条件），以及但由于对波函数有一定要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求（一些特殊的边界要求（ 无穷大位势边
2、界处无穷大位势边界处 等）。等）。这样能满足方程的解就只有某些这样能满足方程的解就只有某些E值。值。 C. 根据态叠加原理根据态叠加原理是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可表为表为/iEtEEe ) r (u) t , r ( dEe ) r (u)E( c) t , r (/iEtE dE) t , r ()E( cE (非定态非定态)通常称通常称 （其中（其中 ）为）为定态定态波函数。波函数。 （2） 定态：定态： A. 定态定义定态定义：具有确定能量的态，称
3、为体具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数系的定态，或者说，以波函数 /iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE/iEtEEe ) r (u) t , r ( 1体系在初始时刻（体系在初始时刻（t0）处于一定能量）处于一定能量 本征态本征态 ，则在以后任何时刻，体系都处于，则在以后任何时刻，体系都处于这一本征态上，即这一本征态上，即 。它随时。它随时间变化仅表现在因子间变化仅表现在因子 上上 。) r (uE/iEtEEe ) r (u) t , r ( /iEte3几率流密度矢不随时间变化几率流密度矢不随时间变化。4.任何不含
4、任何不含 t 的力学量在定态的平均值不随时的力学量在定态的平均值不随时间变化间变化.5任何不显含任何不显含 t 的力学量在定态中取值的几的力学量在定态中取值的几率不随时间变化。率不随时间变化。B. 定态的性质：定态的性质： 2体系的几率密度不随时间变化。体系的几率密度不随时间变化。 第三章第三章 一维定态问题一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和方现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势程：一维，不显含时间的位势且位势有一定性质时，如且位势有一定性质时，如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础
5、。是解决三维问题的基础。 ) r (V) t , r (V)z(V)y(V)x(V) r (V) r (V) r (V3.13.1一般性质一般性质 设粒子具有质量设粒子具有质量m，沿，沿x轴运动，位势为轴运动，位势为 ，于是有于是有 （1）定理）定理1：一维运动的分立能级（束缚态），一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简并的。一般是不简并的。 简并度（简并度（degeneracy）：一个力学量的某个）：一个力学量的某个测量值，测量值，可在可在 n 个独立的（线性无关的）波函个独立的（线性无关的）波函数中测得，则数中测得，则称这一称这一 测量值是具有测量值是具有n 重简并度。重简并度。)x(V
6、)()()(2(222xEuxuxVdxdmEE 如某能量本征值有如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应，则个独立的定态相对应，则称这能量本征值是称这能量本征值是 n 重简并的。重简并的。 证：假设证：假设 , 是具有同样能量的波函数是具有同样能量的波函数 (1) (2)1u2u)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(11222)x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(22222)2(u) 1 (u12从而得从而得 于是于是 (c是与是与 x 无关的常数无关的常数)对于束缚态对于束缚态 （或在有限区域有某（或在有限区域有某值使值使 ），所以），所以 c0。从从而有而有0)x(udxdu)x(udx
7、du22211222c)x(uu)x(uu21120u,xi0)x(uu)x(uu2112 若若 不是处处为零，则有不是处处为零，则有注意注意: . 分立能级是不简并的，而对于连续谱时，分立能级是不简并的，而对于连续谱时，0)x(uu)x(uu2112)x(u)x(u12)u(ln)u(lnuuuu121122)x(Au)x(u21若一端若一端 ，那也不简并。但如两端都不趋于，那也不简并。但如两端都不趋于0（如自由粒子），则有简并。（如自由粒子），则有简并。 当变量在允许值范围内（包括端点），当变量在允许值范围内（包括端点）， 波函数无零点，就可能有简并存在。（因常数波函数无零点，就可能有简并
8、存在。（因常数c0）。）。 当当 V(x) 有奇异点，简并可能存在。因有奇异点，简并可能存在。因这时可这时可能能导致导致 处处为零。处处为零。 0u )x(u)x(u12推论：一维束缚态的波函数必为实函数（可推论：一维束缚态的波函数必为实函数（可 保留一相因子）。保留一相因子）。 证证 令令 （ 都是实函数）都是实函数）则则 )x(uE)x(u)x(Vdxdm2(nnn222)x(iI)x(R)x(unnn)x(I),x(Rnn)x(RE)x(R)x(Vdxdm(nnn 2222 但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，但对束缚态，没有简并，所以只有一个解，因而因而 Rn 和和 In 应是线性相
9、关的，所以应是线性相关的，所以 因此，因此，)x(R)i1 ()x(unn )x(RAeni nnRI )x(IE)x(I)x(Vdxdm2(nnn222 （2）不同的分立能级的波函数是正交的）不同的分立能级的波函数是正交的。 （1） （2）)x(u)x(u)EE()x(u)x(u)x(u)x(u(m*1221211222 *1*2)2(u) 1 (u)x(uE)x(u)x(Vdxdm(1112222 )x(uE)x(u)x(Vdxdm(2222222 所以所以 从而证明得从而证明得 。（3）振荡定理）振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，：当分立能级按大小顺序排列，一般而言，第一般而言，第n+
10、1条能级的波函数，在其取值条能级的波函数，在其取值范围内有范围内有n个节点（即有个节点（即有n个个x点使点使 ，不，不包括边界点或包括边界点或远）。远）。)uuuu(dxdm2dxuu)EE(*211*221*2210) )x(u)x(u)x(u)x(u(m2211*220dxuu1*20)x(ui 1(x) 2(x) 3(x) 4(x) ( 4）在无穷大位势处的边条件）在无穷大位势处的边条件：首首先讨论先讨论V(x)有有限大小的间断点，由方程有有限大小的间断点，由方程即即 )x(Eu)x(u)x(Vdxdm2(222)x(u)x(VE()x(udxdm2222 由于由于 存在，即存在，即 存
11、在，存在，即即 的导数存在，所以函数连续，也就是波的导数存在，所以函数连续，也就是波函数导数连续。函数导数连续。 而在位势是无穷时又如何呢？而在位势是无穷时又如何呢？设设 )x(u)x(VE )x(udxd22)x(udxd 0VE )x(Eu)x(u)Vdxdm( 022220 x)x(Eu)x(udxdm 22220 x令令 , 所以，所以， 得解得解 2mE2k20)EV(m2uu2 0 x uku2 0 x 0 x)kxsin(A0 xceBe)x(uxx要求波函数有界，所以要求波函数有界，所以C0，要求波函数要求波函数x=0处连续，且导数连续处连续，且导数连续 当当E给定，给定，所以
12、，所以， BsinABcoskAK1tank1,V0. 0sin0tan0B于是，当于是，当 , 方程有解方程有解 这表明，这表明，在无穷大的位势处，波函数为在无穷大的位势处，波函数为0，边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导边界上要求波函数连续，但并不要求再计及导数的连续性。数的连续性。但，几率密度和几率流密度矢但，几率密度和几率流密度矢总是连续的。总是连续的。 0V0 x00 xkxsinA)x(u 3.23.2阶梯位势：阶梯位势：-最简单的定态问题最简单的定态问题 0000 xxV)x(V (1) (1) 当当 令令 ， 0VE )x(Eu)x(u)Vdxdm( 022220 x )x
13、(Eu)x(udxdm 22220 x 22mEk 202)EV(m 00 xBeAexCeDe)x(uikxikxxx 由波函数有界由波函数有界, C0 在在x0处，波函数连续，波函数导数连续，处，波函数连续，波函数导数连续，解得解得 , DBAKD)BA(ik)ki1 (2DA)ki1 (2DB0 xDe0 xe )kiK1 (2De )kiK1 (2D)x(uxikxikxE 对对E E没有限制，任何没有限制，任何E E都可取，即取连续值都可取，即取连续值。因它不是束缚态（因它不是束缚态（ ，并不趋于，并不趋于0 0），但），但它不简并（因它不简并（因 ， ）。）。 讨论：讨论： A.
14、处，经典粒子不能去的地方，但处，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。仍有一定的几率发现量子粒子。 B 区域，有沿区域，有沿x方向的平面波和沿方向的平面波和沿x反方向的平面波反方向的平面波, 且振幅相同，构成一驻波。且振幅相同，构成一驻波。 xx0)x(uE0 x 0 x iEtEe )kxsinkkx(cosD)x( xEVmeD20)(222这一驻波，在这一驻波，在处为处为0。 /iEt2e )kxcos()k(1D 21n2kxn2 , 1 , 0n )x(cos122 x0 C. 几率流密度矢：几率流密度矢： i. 透射几率流密度矢（透射几率流密度矢（ ）jT0（因（因
15、是实函数）是实函数） . 在区域在区域 ，有向右的几率流密度，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢即入射几率流密度矢 = iii. 在区域，在区域， 也有左的几率流密度，即也有左的几率流密度，即反射几率流密度矢反射几率流密度矢 = 0 x xe0 x )mp Re(jix*ii )k(1 (4Dmk220 x )mp Re(jRx*RR )k(1 (4Dmk220 x 所以，总几率流密度矢为所以，总几率流密度矢为 0。当当 ，入射，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域 中。中。 定义：定义：1. 反射系数反射系数 ，现，现 R=1; 2. 透射
16、系数透射系数 ，现，现 T=0。 (2) (2) 当当 , 求粒子从左向右方入射的解。求粒子从左向右方入射的解。 0VE 0 x iRjjR iTjjT 1RT 0VE 令令 ， )x(Eu)x(u)Vdxdm2(02220 x )x(Eu)x(udxdm22220 x 2mE2k201)VE(m2k 由初条件，粒子由左向右入射，由于在由初条件，粒子由左向右入射，由于在x=0处位势有间断点，所以，处位势有间断点，所以， 区域有入射波，区域有入射波，也有反射波；但在也有反射波；但在 处，位势无间断点，所处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，因此，以，只有入射波，无反射波，因此， C0。
17、由波函数及其导数连续，有由波函数及其导数连续，有 0 xBeAe0 xCeDe)x(uikxikxxikxik110 x 0 x DBADik)BA(ik1 得得 ， 结果有结果有 讨论：讨论： 在在 时，区域时，区域 有一沿有一沿x方向传播方向传播的平面波，显然，的平面波，显然， )kk1 (2DA1)kk1 (2DB10 xDe0 xe )kk1 (2De )kk1 (2D)x(uxikikx1ikx1E10VE 0 x )mp Re(jix*ii 21214)kk(Dmk = = 。从而得从而得 反射系数反射系数 = 透射系数透射系数 = 显然显然 )mp Re(jRx*RR 212)k
18、k1 (4Dmk)mp Re(jTx*TT 21DmkiRjjR 211)kkkk(iTjjT 211)kk(kk41TR上讲内容定态定态/iEtEEe ) r (u) t , r ( ) r (Eu) r (u)p , r (HEE薛定谔方程的特解薛定谔方程的特解不含时间的薛定谔方程不含时间的薛定谔方程，或称为能量本征方程。，或称为能量本征方程。dEe ) r (u)E( c) t , r (/iEtE 态叠加原理态叠加原理(非定态非定态)定态的性质定态的性质最简单的定态问题一维定态问题)()()(2(222xEuxuxVdxdmEE1：一维运动的分立能级（束缚态），一般是不简一维运动的分立
19、能级（束缚态），一般是不简并的。并的。一维束缚态的波函数必为实函数（可一维束缚态的波函数必为实函数（可保留一相因子）。保留一相因子）。2:不同的分立能级的波函数是正交的不同的分立能级的波函数是正交的。波函数的自然条件：单值，有界、连续波函数的自然条件：单值，有界、连续波函数的导数连续吗？波函数的导数连续吗？当势场有有限大小的间断时，波函数的导数连当势场有有限大小的间断时，波函数的导数连续，无穷大位势不要求波函数导数连续。续，无穷大位势不要求波函数导数连续。3.3位垒穿透：位垒穿透：（1）EV0 这时只要将这时只要将 ，并由并由 ，得得 122002asinhV)EV(E41ABR102202)
20、EV(E4asinhV1AST1ikaksiniasinh1Aaksin)kk( iakcoskk2aksin)kk( iB1221111212隧穿效应隧穿效应从而有从而有 Aaksin)kk( iakcoskk2ekk2S122111ika1 112002aksinV)VE(E41ABR101202)VE(E4aksinV1AST 201)VE(m2k2mE2k（3）结果讨论：）结果讨论： A （EV0 或或E1时，102202)(4sinh1EVEaVAST 当当EV0时，仍有一定几率流被反射时，仍有一定几率流被反射, ,但当但当k k1 1a=na=n 时时，T T1 1，即完全透射过去
21、。这种现象即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在称为共振透射（仅在 EV0条件下发生）条件下发生）,这时这时 被称为共振能级。被称为共振能级。02222nVnma2E 3.43.4方位阱穿透：这时只要将方位阱穿透：这时只要将 即可。即可。 00VVAaksin)kk( iakcoskk2aksin)kk( iB1221111212Aaksin)kk( iakcoskk2ekk2S122111ika11122002aksinV)VE(E41ABR其中其中 ， 。 当当 时，则同样出现时，则同样出现 ，即共振，即共振透射。这时，透射。这时， ( n 取值应保证取值应保证 En 大于零大于零)
22、1012202)VE(E4aksinV1AST201)VE(m2k2mE2knak11T 02222nVnma2E3.53.5一维无限深方势阱一维无限深方势阱 。（1 1）能量本征值和本征函数：）能量本征值和本征函数： ， 2ax2ax0)x(V )x(Eu)x(udxdm22222ax 0)x(u2ax 有解有解其中其中 要求波函数在要求波函数在 处连续处连续（当然，并不（当然，并不要求导数连续），于是有要求导数连续），于是有 2ax02axkxcosBkxsinA)x(u2mE2k2a要求要求A，B不同时为不同时为0，则必须系数行列式为，则必须系数行列式为0。 即即 02akcosB2ak
23、sinA02akcosB2aksinA02akcos2aksin2akcos2aksin . 代入方程得代入方程得 . . 代入方程得代入方程得 所以，所以， 02akcos2aksin ank02aksin4 , 2n 0B ank02akcos 5 , 3 , 1n 0A 相应的本征能量为相应的本征能量为（2 2）结果讨论：）结果讨论： 2ax02ax, 5 , 3 , 1nancosB, 6 , 4 , 2nxansinA)x(un2222nnma2E A. 根据一定边条件根据一定边条件，要求要求( 处，波处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子函数连续），薛定谔方程自然地给出能
24、级的量子化。化。 B. 一个经典粒子处于无限深位阱中，可一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对以安静地躺着不动。但对量子粒子而言，量子粒子而言， 所以，所以， ， ，即，即 不能精确为不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不为因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。2ax2pxx0 x0pxxp C. 对基态：对基态：而而 所以，所以，无零点，即无节点，是偶函数无零点，即无节点，是偶函数。 第一激发态第一激发态： 而 2221ma2E2ax02axxacosa2)x(u1222222ma2E有一零点，即有一节点，是奇函数有一零点，即有一节点，是奇函数。 第二激发态第二激发态： 而而 2ax02axxa2sina2)x(u2222233ma2E2ax02axxa3cosa2)x(u3有二个零点，即有二个节点，是偶函数有二个零点，即有二个节点，是偶函数。3.63.6宇称，一维有限深方势阱宇称，一维有限深方势阱 （1）宇称：）宇称：前面无限深位势的能量本征函数前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：有两类形式： 2ax02ax, 6 , 4 , 2nxansina2u5 , 3 , 1nxancosa2u)x(un2n1n
