1、电信教研室电信教研室 苑东苑东伟伟3 31 1 恒定电场的基本方程与场的特性恒定电场的基本方程与场的特性1 1恒定电场的基本方程无散无旋场恒定电场的基本方程无散无旋场在恒定电流场中，我们将讨论在恒定电流场中，我们将讨论J Jc c和和E E，而不再是，而不再是D D和和E E。 电流场中的任意闭合面内不可能有自由电荷增减的变化，电流场中的任意闭合面内不可能有自由电荷增减的变化，即即 。对于导电媒质中的恒定电流场，由任意闭合面净流。对于导电媒质中的恒定电流场，由任意闭合面净流出的电流应为零；或者说，传导电流连续。出的电流应为零；或者说，传导电流连续。 （在无源区）（在无源区）0tq0SdSJc0
2、VdVcJ0c J0ldlE0EEJc导电媒质中导电媒质中（电源区域外电源区域外）恒定电场具有）恒定电场具有无散无旋场无散无旋场。 E = 2 = 0 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 引入标量电位函数引入标量电位函数 ( (r)r)作为辅助场量作为辅助场量 例例3-13-1：设一扇形导电片，：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电如图所示，给定两端面电位差为位差为U U0 0。试求导电片内。试求导电片内电流场分布及其两端面间电流场分布及其两端面间的电阻。的电阻。图 扇形导电片中的恒定电流场 解解 ：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位 ，其边值问题为：，其边值问题为：0
3、022220,01,UDz0U故导电片内的电位故导电片内的电位 ：电流面密度分布为：电流面密度分布为：eeEJ00UUcablntUtdJIbacSc0dSJ厚度为厚度为t t的导电片两端面的电阻为：的导电片两端面的电阻为： ablnttdUUdUIURbaSceeSJ00002 2电功率电功率在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度该元电流管中的电流密度J J可认为是均匀的（可认为是均匀的（E E，F F不变），其不变），其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，
4、dtdt时间内有时间内有dqdq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为：电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为： dW =Fdl=Edl dq= dU dq图 电功率的推导外电源提供的电功率为：外电源提供的电功率为： EJdVdddIdUdtdqdUdtdWdPSJlE故恒定电流场的电功率体密度：故恒定电流场的电功率体密度：22ddJEEJVPpp = = E E J J（E E、J J方向一致，焦耳楞次定律的微分形式方向一致，焦耳楞次定律的微分形式 P=UI P=UI）3 3不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件类同于静电场的讨论类同于静电场的讨论 qdSS
5、D0d llED2n-D1n= E1t = E2t （1 1）两种不同导电媒质分界面上的边界条件：）两种不同导电媒质分界面上的边界条件： 0sdSJJ1n= J2n en (J2J1)=0 0d llEE1t= E2t en(E2E1)=0 对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律。电场的折射定律。导体2121tgtg电介质2121tgtg图 由良导体(1)到不良导体(2)的电流流向P1J2en2J121（2 2）良导体与不良导体分界面上）良导体与不良导体分界面上的边界条件：的边界条件：当电流从良导体（比如：铜）流向不当电流
6、从良导体（比如：铜）流向不良导体（比如：土壤）时，如图所示，良导体（比如：土壤）时，如图所示，设设 1 1 2 2，即，即 2121tgtg000001112122222tttttttEJ ,EE,JEJ只要只要 1 1 9090 ，就有，就有 2 2 0 0。这表明，当电流由良导体侧流。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体( ( 2 2 0)0)。 0012211122121ttnnnnnnEEEJEE,JJ不计良导体内部的电压降（电场强度仅有不计良导体内部的电压降（电场强度仅有E E2n2n），把良导体），把良导体表面可
7、近似看作为等位面。表面可近似看作为等位面。 接地器：钢的电导率为接地器：钢的电导率为 5 5 10 106 6 s/ms/m，土壤为，土壤为1010-2 -2 s/ms/m，所以，所以， 1 1=89=89。59 59 ， 2 2=8=8 0 0（3 3）导体与理想介质分界面上的边界条件：）导体与理想介质分界面上的边界条件： 图 输电线电场示意图+UE2tE2nE2E2E2tE2nJc1Jc112000000001112121222121222ttcttnncnnncnctcncEJ ,EEE,JE,EJJJJ图 两种有损电介质的分界面PJ2J12, 21, 1（4 4）两种有损电介质分界面上
8、的边界条件（高压大容量设）两种有损电介质分界面上的边界条件（高压大容量设备：电缆、电容器）：备：电缆、电容器）：介质内有漏电流存在（如：被击穿），介质既有电容特性，介质内有漏电流存在（如：被击穿），介质既有电容特性，又有电导特性。又有电导特性。 nnnnEJEJ222111nnnnEEDD112212E1t= E2t nJ2212112只有当两种媒质参数满足只有当两种媒质参数满足 条件时，条件时， =0=02112 例例3-23-2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为图所示。其介电常数和电导率分别为 1 1，
9、1 1和和 2 2， 2 2，厚度，厚度分别为分别为d d1 1和和d d2 2，外施恒定电压，外施恒定电压U U0 0，忽略边缘效应。试求：，忽略边缘效应。试求：(1)(1)两层非理想介质中的电场强度；两层非理想介质中的电场强度；(2)(2)单位体积中的电场单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；能量密度及功率损耗密度；(3)(3)两层介质分界面上的自由两层介质分界面上的自由电荷面密度。电荷面密度。图 非理想介质的平板电容器中的恒定电流场2, 21, 1U0d2d1 解解 ：本例中既有静电场特性：本例中既有静电场特性（wewe ， ），也有恒定电流场特性），也有恒定电流场特性（p, p, ）
10、。）。(1) (1) 忽略边缘效应，可以认为电忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件垂直，用边界条件 2211EE02211UdEdE1221021ddUE1221012ddUE211211eEw222212eEw2111Ep2222Ep0122121122212112UddJ 1 1静电比拟静电比拟将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较电场相比较均匀导电媒质中的恒定电场均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场无源区中均匀介质中的静电场2 = 02 = 0
11、0cJ0D- 0EE- 0EEEJcEDSdISJcSdqSDl对应的物理量对应的物理量静电场静电场 （ ） ED qC恒定电场恒定电场EJ IG0n只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位 、电、电场强度场强度E E和电流密度和电流密度J Jc c的分布将分别与静电场中的电位的分布将分别与静电场中的电位 、电场强度电场强度E E和电位移矢量和电位移矢量D D的分布相一致（静电比拟法的分布相一致（静电比拟法 ）。）。 2121两种场在分界面上的两种场在分界面上的J Jc c 线与对应的线与对应的D D线折射情况相同线折射情况相同 可以利用电容
12、的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。 CGlSlSddddUIGlESElESJclSlSddddUqClESElESD静电比拟：由以上的相似原理，可以把一种场的计算静电比拟：由以上的相似原理，可以把一种场的计算 和实验结果，推广应用于另一种场。和实验结果，推广应用于另一种场。电流场模拟的方法电流场模拟的方法 例例3-33-3：内外导体半径分别为：内外导体半径分别为a a和和b b的同轴电缆，如图所示的同轴电缆，如图所示导体间外施电压导体间外施电压U U0 0。试求其因绝缘介质不完善而引起的。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其
13、单位长绝缘电阻。电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电阻。2cIJl（1 1）解法一：恒定电场分析法）解法一：恒定电场分析法电场强度电场强度E E和泄漏电流密度和泄漏电流密度J Jc c均均只有径向分量，作一半径为只有径向分量，作一半径为 的的同轴单位圆柱面，且令同轴单位圆柱面，且令l长泄漏长泄漏电流为电流为I I，则，则 图 同轴电缆中的泄漏电流SBAPb, U0oaJc2IEl 2IEl eJabUln0cAB0dln2baIbUUEla01ln2UbRIla（2 2）解法二：静电比拟法）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中在同轴电缆分析中, ,已求得电场强度为已求得电场强度为02lnlCbU
14、a0abUeElnba0abUeEJclnba111ln2lbRGC lla 2 2接地电阻接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施，为电力接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施，为电力系统正常工作提供了零电位基准参考点。计算接地体的接系统正常工作提供了零电位基准参考点。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。 给定时刻工频交流电力系统场分布的分析方法与结论全同于静态场。给定时刻工频交流电力系统场分布的分析方法与结论全同于静态场。接地器：在工程上，为了接地，将金属导体埋于地内，将系统中接地器：在工程上，为了接地，将金属导体埋于地内，将
15、系统中需要接地的部分与该导体相连接，这种埋入地内的导体系统称为需要接地的部分与该导体相连接，这种埋入地内的导体系统称为接地器。接地器。如三相高压变压器中性点工作接地。如三相高压变压器中性点工作接地。接地电阻：电流在流经大地时遇到的电阻，包括接地器本身的电阻、接地电阻：电流在流经大地时遇到的电阻，包括接地器本身的电阻、接地导线的电阻、接地器和大地之间的接触电阻，以及两接地器之接地导线的电阻、接地器和大地之间的接触电阻，以及两接地器之间土壤的电阻。间土壤的电阻。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得：下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电阻。由镜象法得： 当当rara时时 r
16、i,riE,riJ, iJrrcc2drE2224222(a) 电流线J的分布 (b) 镜象法图示 图 半球形接地器 土壤土壤aai2i土壤由良导体与不良导体边界面条由良导体与不良导体边界面条件，良导体球内部场强与外部件，良导体球内部场强与外部土壤场强相比很小，所以我们土壤场强相比很小，所以我们可以把导体球看作等势体，当可以把导体球看作等势体，当rara时，有时，有 ai2aadrriiiuGR212112aG2对于深埋入地下的导体球形接地器，相当于上图对于深埋入地下的导体球形接地器，相当于上图(b)(b)中中的情形，的情形，2i i 2i i 。aG4 3 3跨步电压跨步电压电力系统接地体一
17、旦有电流通过，由于接地电阻的存在，电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的在地面上存在电位分布。此时，人体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值时，将威胁人的生命。人的生命。 aobrIJAB rP图 跨步电压与危险区的分析 ri2r2AB2112rIbrbrIU设设U U0 0为人体安全的临界跨步电压为人体安全的临界跨步电压（通常小于（通常小于5050 70V70V），可以确定危），可以确定危险区半径险区半径r r0 0为为 002UIbr00abIRrU3 33 3 恒
18、定磁场的基本方程与场的特性恒定磁场的基本方程与场的特性1 1恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程安培环路定律：安培环路定律： lsSiccJHdSJHdlH磁通连续性原理：磁通连续性原理： 00BBdSBSVdV媒质的构成方程为：媒质的构成方程为： HBmH /10470有旋无散性有旋无散性 类比的方法类比的方法类比静电场类比静电场2 2真空中的安培环路定律真空中的安培环路定律. .恒定磁场的有旋性恒定磁场的有旋性c0JB图 环量 与励磁电流I间关系说明图（P126，图3-13）I3I1lI2I40SllBd源于电流的磁场具有旋涡场的源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源特性，表
19、明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。之间相互交链的基本特征。 n1kk0S0lIddSJlBc)(3210lIIIdlBB B是场中所有励磁电流共同产生的效应，而是场中所有励磁电流共同产生的效应，而B B的环量仅与闭合曲线的环量仅与闭合曲线所包围的场源相关（与所包围的场源相关（与I I4 4无关）。无关）。 3 3磁通连续性原理磁通连续性原理. .恒定磁场的无散性恒定磁场的无散性磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。没有孤磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。没有孤立磁荷，磁力线总是自身闭合，且与电流线相互交链。立磁荷，磁力线总是自身闭合，且与电流线相互交链。 4 4毕奥
20、萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律( )( )( ) B rrA r( )0r V0VdR4rJrAc)( V0Vd41rrrBr)( VcVVdRVdJ4410rrrBrA( )( ) B rA r自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A A的旋度。的旋度。若已知若已知Jc(r)Jc(r)，可以先计算矢量磁位，可以先计算矢量磁位A A，然后再通过计算，然后再通过计算A A旋旋度计算磁感应强度度计算磁感应强度B B。 V0VdR4rJArBc)( 2Rcc2RRRR1R1RerJrJerJrJrJccc)()(在恒定电流电场中在恒定电流电场中J Jc c
21、和和E E都是无散无旋的。都是无散无旋的。 体电流体电流J Jc c： 面电流面电流K K： 线电流线电流I I： V2R0VdR4erJrBc)( S2R0SdR4erKrB)(l2R0RId4elrB)(3 34 4 自由空间中的磁场自由空间中的磁场( )B r自由空间中的恒定磁场问题，分析研究的首要任务即：自由空间中的恒定磁场问题，分析研究的首要任务即： 在给定源量的作用下求其基本场量在给定源量的作用下求其基本场量磁感应强度磁感应强度 的空间分布。的空间分布。( )J r( )A r( )B r( )B r( )J r1 1 场分布：基于场量场分布：基于场量 的分析的分析( )B r思路
22、一：由毕奥萨伐尔定律，利用矢量积分直接计算。思路一：由毕奥萨伐尔定律，利用矢量积分直接计算。 类比静电场，先离散化整体电流分布为典型的元电流类比静电场，先离散化整体电流分布为典型的元电流 分布的组合，求出相应于元电流场中元磁感应强度的解答，分布的组合，求出相应于元电流场中元磁感应强度的解答， 然后应用叠加定理，合成所有元电流的贡献，求得场分布。然后应用叠加定理，合成所有元电流的贡献，求得场分布。 V2R0VdR4erJrBc)(l2R0RId4elrB)( S2R0SdR4erKrB)(思路二：利用真空中的安培环路定律，对具有对称性场分布思路二：利用真空中的安培环路定律，对具有对称性场分布 特
23、征的磁场问题进行直接计算。特征的磁场问题进行直接计算。 如果能够找到一条闭合曲线如果能够找到一条闭合曲线l l，在该曲线上，各点的，在该曲线上，各点的 磁感应强度的数值相等，且其方向与积分元方向有不变的磁感应强度的数值相等，且其方向与积分元方向有不变的 夹角关系。夹角关系。c0JBn1kk0S0lIddSJlBc 例例3-43-4：计算真空中载流：计算真空中载流I I 的有限长直导线所引起的磁感的有限长直导线所引起的磁感应强度。应强度。 图 有限长直线电流I的磁场(a) 场点P距端点垂直距离为(b) 任意场点P1、P2和P3的位置示意图zLdzIIdz(dz,eR)RP(,0,0)eRzz1I
24、P1P2P312212312o解：首先，计算图解：首先，计算图(a)(a)所示场点所示场点P P处的处的B B；然后，推广至图；然后，推广至图(b)(b)所示任意场点所示任意场点P1P1、P2P2和和P3 P3 处的处的B B的计算。的计算。 (1) (1)场点场点 P P处的磁感应强度处的磁感应强度采用圆柱坐标系，取元电流采用圆柱坐标系，取元电流I Id dz z ，在点，在点P P处产生的处产生的d dB B为为 eeezezB2322022R02R0zzd4Izdzd4IRd4Id，sinesin4e4e400220022023IzzIzzdILLB(2)(2)场点场点P1P1、P2 P
25、2 和和P3 P3 处的磁感应强度处的磁感应强度 esinsin42110P1IBe4B2120P2sinsinIesinsin42130P3 IB(3)(3)推论：对于推论：对于P1P1点，若点，若LL，则，则B B为为 eeB2I224I00sinsinz1IP1P2P312212312 例例3-73-7：计算真空中半径为：计算真空中半径为a a，载流为载流为I I的无限长直圆柱导体的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。内部和外部的磁场。(a) 长直圆柱形铜导体截面(b) 导体内、外|B|的变化曲线I00aloBao图 无限长直圆柱形载流导体的磁场 解解 ：应用安培环路定律，得：应用安培环路
26、定律，得(1)(1)导体内部导体内部( ( a)a) a)IB2d0llB)(a2I0eB2 2 场分布：基于矢量磁位场分布：基于矢量磁位 的分析的分析A V0VdR4rJrAc)( )(S0dSR4rKrA)(l0Rd4IlrA( )( ) B rA rA A与与J Jc c，K K，I I的方向一致的方向一致 zLLzLLzzzlnLLlnIzzdIRzdIAe2e4e4eA2202200图 长直载流导线的磁场LBdAAoP(x,y,0)zIdzdzLxyzR 解解 ：取圆柱坐标系，由于电流沿：取圆柱坐标系，由于电流沿z z轴方向，故矢量磁位只有轴方向，故矢量磁位只有z z方向分方向分量，
27、即量，即 当当LL 时，可表示为时，可表示为z0L22IeAlneeAB2IA0z 例例3-93-9：计算空气中长度为：计算空气中长度为2L2L的长直载流导线在中截面上的长直载流导线在中截面上P P点的矢量磁位和磁感应强度。点的矢量磁位和磁感应强度。l讨论讨论：当：当L L时时A A并不存在并不存在。其原因在于，在我们给。其原因在于，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。本例不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们本
28、例不满足这个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。（对比静电场的参考点应选择在有限区域内的任意一点。（对比静电场中电轴的参考点问题）。讨论如下，此时线电流的矢量磁中电轴的参考点问题）。讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为：位公式修改为： ClrA)(l0Rd4I式中式中C C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。图为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。图（3-213-21）在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I I相距相距 0 0的的Q Q点为矢量磁位参考点，应有点为矢量磁位参考点，应有0L22Iz
29、00CeAQlnz00L22IeClnz00z00z02IL22IL22IeeeAlnlnlneeAB2IA0z例例3-103-10：图示无限长直平行输电线，半径为：图示无限长直平行输电线，半径为a a、线间距离为、线间距离为2b2b且远大于且远大于a a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通。试计算的矢量磁位和穿过输电线间单位长的磁通量。量。图 无限长直平行输电线的磁场Q ox y z I I A P(0,-b,0)(0,b,0)120201 解解 ：本例为平行平面磁：本例为平行平面磁场，故只需计算场，故只需计算xoyxoy平面平面中任一场点中任一场点P P处的矢量磁处的矢量磁位即可。
30、设矢量磁位参考位即可。设矢量磁位参考点位点位Q Q，则，则P P点的矢量磁位点的矢量磁位A A为为zzelnIlnIelnIlnIA02010120202010102222 为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参为计算穿过输电线间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则考点选在原点上，则 0101 = = 0202，得，得 z22220z120byxbyx4I2IeeAlnln借助矢量磁位求磁通借助矢量磁位求磁通 lSSlASASBddd磁耦极子磁耦极子电子绕核运动，形成小的电流环形电流，从而对外产生磁场。电子绕核运动，形成小的电流环形电流，从而对外产生磁场。例例3-123-12
31、：求图示半径为：求图示半径为a a的载流小圆环（磁耦极子）在远处的载流小圆环（磁耦极子）在远处（rara）的矢量磁位和磁感应强度。）的矢量磁位和磁感应强度。 解解 ：采用图示球坐标系。定义：采用图示球坐标系。定义 为磁耦极子的为磁耦极子的磁偶极矩（类比于电偶极子中电偶极矩的定义磁偶极矩（类比于电偶极子中电偶极矩的定义p p=q=qd d），简称磁矩。），简称磁矩。zIaIeSm2MQP1) sin cos2(4 sin4 cos24 )(1)(sinsin130320320eeeeeeABrrrrmrIarIarArrAr) sin cos2(430eeErrpm pm p； 0 0 1/ 1
32、/0 0。这说明磁矩在远区产生的磁力线。这说明磁矩在远区产生的磁力线与电矩在远区产生的电力线分布形态相同。其中一个基本差别与电矩在远区产生的电力线分布形态相同。其中一个基本差别就是：磁力线自身闭合。就是：磁力线自身闭合。 矢量磁位的双旋度方程矢量磁位的双旋度方程 cJA0AAA2)(c)(JAA02引入库仑规范：引入库仑规范： 0A cJA02矢量形式的泊松方程矢量形式的泊松方程 在无源区中，在无源区中，J Jc c = 0= 0，则上式成为矢量拉普拉斯方程，则上式成为矢量拉普拉斯方程 02 AJ Jc c与与A A同向同向4 4磁场线磁场线与电力线类似，磁力线上任一点的与电力线类似，磁力线上
33、任一点的B B与该点上的切向一致。与该点上的切向一致。磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为磁力线也可以形象地描绘磁场的分布。磁力线方程为 B dl=0 0 zyxzyxzzyxeeeeeeeeedxBdyBdzBdxBdyBdzBdzdydxBBByxxzzyyxzyxBzByBxddd设设J Jc c = =J eJ ez z，则，则A A = = AeAez z。由。由B B= =A A，得，得yxyxzyxeeee00eeeByxBBxAyAAzyx代入磁力线方程，得代入磁力线方程，得00dyyAdxxAdxBdyByxdA = 0 A=A=常量常量 垂直于垂直于A A（1 1
34、）平行平面磁场：）平行平面磁场： l在平行平面磁场中，在平行平面磁场中，A A的等值线即为磁力线（的等值线即为磁力线（B B线）且等线）且等A A线线的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即（图的差值为相邻两条磁力线间隔的单位长磁通量，即（图3-3-2727） AdzAAdzAdzAdd102z1z102101lSlASB（2 2）轴对称磁场：）轴对称磁场： 在圆柱坐标系下，在圆柱坐标系下，B B线满足的微分方程为线满足的微分方程为 zBzBdd设设J Jc c=J=Je e ，则，则A A=A=Ae e 。由。由B B= =A A，得，得zA1zAeeAB0dzzAdA10dzzAdAA
35、d A A= =常量常量在轴对称磁场中，在轴对称磁场中， A A的等值线即为磁力线（的等值线即为磁力线（B B线）。线）。 1 1媒质磁化媒质磁化 ,DVplimPV0图 磁化媒质建立的磁场磁化强度矢量：磁化强度矢量：) (A/m0VmlimMV 束缚电流密度：媒质被磁化后产生的净磁矩，也可看作是束缚电流密度：媒质被磁化后产生的净磁矩，也可看作是在媒质中出现等效的宏观在媒质中出现等效的宏观束缚电流束缚电流，即所谓的，即所谓的磁化电流磁化电流的的结果。（类比于静电场中的结果。（类比于静电场中的束缚电荷束缚电荷，即，即极化电荷极化电荷）VdReMRedmdARR202044VdMmd VVRVdR
36、VdR14e4020MMrARRRRR1123eRR1R1R)()()(rMrMrM VVVdRVdRrMrMrA4400SnVdSAedVA SnVSnVSdRVdRSdRVdRerM4rM4rMe4rM4rA 0000 磁化体电流密度磁化体电流密度J Jm m= =M M 磁化面电流密度磁化面电流密度K Km m= = M M e en n lSSmIdlMdSMdSJm2 2磁场强度磁场强度媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。因媒质在外磁场作用下发生的磁化效应可归结为磁化电流。因此，总的磁场是在真空中电流源此，总的磁场是在真空中电流源 J Jc c 和磁化电流和磁化电流 J
37、 Jm m 共同建立共同建立的合成磁场的合成磁场 。MJJJB0c0mc0cJMB0)(定义磁场强度定义磁场强度 H (A/m)0MBH cJH IdllH积分形式：一般形式的安培环路定律积分形式：一般形式的安培环路定律 磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算，磁场强度的引入简化了媒质中磁场的分析计算， 磁导率磁导率实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即实验表明，媒质的磁化强度与磁场强度成正比，即 M M= = m mH H m m 称为磁化率，可正可负，所以称为磁化率，可正可负，所以M M也是可正可负的。也是可正可负的。 B= 0 (H + M) = 0 (1+ m)H mcJJB0
38、 =(1+ m) 0 = r 0 B= HcJH mJM 称为媒质的磁导率，单位是亨称为媒质的磁导率，单位是亨/ /米米 (H/m) (H/m)， r r为相对磁导率。为相对磁导率。根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型：根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型： (1)(1)抗磁性媒质：抗磁性媒质： m m 0 0 0，当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合，当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨磁场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁
39、、钨 、铂和钯等属、铂和钯等属顺磁性媒质。顺磁性媒质。(3)(3)铁磁性与亚铁磁性媒质：铁磁性与亚铁磁性媒质： m m 0 0，这类媒质在外磁场作用下会，这类媒质在外磁场作用下会发生显著的磁化现象。在外磁场作用下产生显著的磁性，如发生显著的磁化现象。在外磁场作用下产生显著的磁性，如铁、镍、铁、镍、钴钴等属这类等属这类铁磁性媒质铁磁性媒质( ( r r 1) 1)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为非线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为亚铁磁性媒质亚铁磁性媒质，如，如铁氧体铁氧体等，等，其磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。其磁化
40、现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。 l铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用需求。用需求。l铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波如高频下涡流损耗小等一些可贵的特性，从而在高频和微波器件中获得广泛的应用。器件中获得广泛的应用。 n 媒质磁化性能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向媒质磁化性能也有均匀
41、与非均匀，线性与非线性，各向同性与各向异性等特点。同性与各向异性等特点。 对于均匀媒质对于均匀媒质J Jm m= =M M = = ( ( m mH) = H) = m m H H =0 =0 （无源区）（无源区）可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零，而可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零，而KmKm不为零。即在宏不为零。即在宏观体积表面表现出宏观的磁化束缚电流，但是在体积内部则没观体积表面表现出宏观的磁化束缚电流，但是在体积内部则没有磁化体电流密度。有磁化体电流密度。 3 3不同媒质分界面上的边界条件不同媒质分界面上的边界条件（1 1）媒质分界面上的边界条件：）媒质分界面上的边界条件：B B=0
42、=0，有，有B B1n1n= B= B2n2n 或或 e en n ( ( B B2 2 - B - B1 1) ) =0 =0在两种媒质分界面上的磁感应强度在两种媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。的法向分量是连续的。 H H= =J Jc c设分界面上存在面电流设分界面上存在面电流K K=K=Ke es s( (该面电流密度的单位矢量该面电流密度的单位矢量e es s=e=en n e et t，且与矩形回路，且与矩形回路l l符合右手定符合右手定则则) ) 11t 11t2llKlHlHdlHH2t-H1t =K 或 en ( H2 - H1) = K通常分界面上不存在宏观的自由
43、面电流分布，即通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K K = 0= 0，（但是有束缚磁化电流面密度），则有（但是有束缚磁化电流面密度），则有 H1t=H2t 或 en ( H2 - H1) = 0当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为 2121tgtg（2 2）铁磁媒质的边界条件：）铁磁媒质的边界条件： 设设 1 1 2 2，由恒定磁场折射定律，必有，由恒定磁场折射定律，必有 2 20 0，即，即B B1n1n= B= B2n2n； H H1t1t=H=H2t2t 0 0012212211nnnnHHHH 01tH01 HB=B= H
44、 H，当，当 ，B B保持连续，则保持连续，则H H00这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎垂直于铁磁表面。（类似于良导体与不良导体或者介质垂直于铁磁表面。（类似于良导体与不良导体或者介质的边界条件）的边界条件）（3 3）矢量磁位表达的边界条件：）矢量磁位表达的边界条件： A1= A2 KAAe)(1122n114 4场分布：基于场量场分布：基于场量H H的分析；边值问题；镜象法的分析；边值问题；镜象法例例3 31515：在图示含气隙的环形铁芯：在图示含气隙的环形铁芯上紧密绕制上紧密绕制N N匝线圈，环形铁芯的磁匝线圈，环形铁芯的磁导
45、率为导率为 0 0，圆环的平均半径，圆环的平均半径为为R R，线圈半径为，线圈半径为a a R R，气隙宽度，气隙宽度为为d d a a，铁芯内磁场分布均匀。由于气隙宽，铁芯内磁场分布均匀。由于气隙宽度度d d R R，可进一步简化为：，可进一步简化为： aDlLln0o考虑内自感，则两线传输线的自感为：考虑内自感，则两线传输线的自感为： aDlaDllLln41ln0002 2互感互感在线性媒质中，线圈在线性媒质中，线圈h h对线圈对线圈k k的互感定义为线圈的互感定义为线圈k k上交链的上交链的互磁链互磁链 khkh（由（由 I Ih h 产生）与线圈产生）与线圈h h的电流的电流 I I
46、h h 之比，即之比，即hkhkhIM线圈线圈k k对线圈对线圈h h的互感定义为的互感定义为 khkhkIM我们可证明我们可证明 Mkh = Mhk两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率。的磁导率。 例例3-213-21：计算图示两对输电线间的单位长互感。：计算图示两对输电线间的单位长互感。图 两对传输线间的互感P162，图3-39解：设导线之间的距离解：设导线之间的距离D DACAC、D DADAD、D DBCBC和和D DBDBD均远大于导线半径。设在导均远大于导线半径。设在导线线ABAB（回路（回路1 1）通有电
47、流）通有电流I I，在导线，在导线CDCD（回路（回路2 2）交链的互磁通穿过面）交链的互磁通穿过面积积CDCD和面积和面积CDCD，即，即)ln(ln)ln(lnBDBC0BDBC0DD0DD0SMDDDD2IDDDD2Id2Id2IdACADACDAA SBBCBDDAAC单位长互感为单位长互感为BDACBCADDDDD2IM0Mln3. 3. 线形回路的电感线形回路的电感 dldlllrI外磁链外磁链 ：l llrddIdlllAoo40外自感为外自感为 ： l lrddLllo4080ilL l lirddlLLLllo4800两个线型回路间的互感：两个线型回路间的互感：dl1l1dl
48、2l2I2rP电流电流I I2 2 在在P P处产生的矢量磁位为处产生的矢量磁位为 2220Pd4lrIlA与回路与回路1 1相交链的互感磁链为相交链的互感磁链为 1 211220112124l llrddIdlllAP于是于是 1 2120212124l lrddIMll同理可得同理可得 1 2210121214l lrddIMll可见可见 2112MM12l l120212112rdd4NNMMll诺以曼公式诺以曼公式 3 37 7 磁场能量磁场能量1 1载流回路系统中的磁场能量载流回路系统中的磁场能量单个载流回路的磁场能量单个载流回路的磁场能量： 在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为：
49、在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为：I21LI21iLdidWW2I0mm2m2IWL n n个载流回路的磁场能量为个载流回路的磁场能量为n1kkkn1k10kkI21mdmIdWWmm在线性媒质中，以在线性媒质中，以k k号载流回路为例，其磁链号载流回路为例，其磁链 k k 可表示可表示为自感磁链和互感磁链之和，为自感磁链和互感磁链之和， nkhhhkhkknknkkKkkMkLkIMILIMIMIMIL12211各载流系统各载流系统内的互有能内的互有能 各载流系统各载流系统内的固有能内的固有能 nnnnnThkkhkhnknhnkkknnn)n(nnI.IIL.M.LMM.MLI.II
50、LIIIIMILIIMIIMIIMILILILW211221112121111211311321122222211m21212121212121I I为各载流回路电流列向量，为各载流回路电流列向量，L L为载流回路电感矩阵。为载流回路电感矩阵。VdV21WBHm磁场能量分布于整个磁场空间中。（静态）磁场能量的体密度为磁场能量分布于整个磁场空间中。（静态）磁场能量的体密度为 BH 21mw22122mBHw2 2磁场能量密度磁场能量密度例例3-23 3-23 计算同轴电缆每单位长度内计算同轴电缆每单位长度内的磁场能量。设电缆载流为的磁场能量。设电缆载流为I I ，内、，内、外导体半径分别为外导体
