1、对于方程对于方程200axbxca（）.（2）方程两边同除以）方程两边同除以a，得，得.（1 1）将常数项移到方程的左边，得）将常数项移到方程的左边，得. .（3 3）方程两边同时加上）方程两边同时加上_，得，得 左边写成完全平方式，右边通分，得左边写成完全平方式，右边通分，得2axbxc 2bcxxaa 2()2ba222()() .22bbcbxxaaaa 2224().24bbacxaa（4 4）开平方）开平方用配方法解用配方法解200axbx ca （） .2224().24bbacxaaa0, 4a20,2240,4baca24.22bbacxaa 24.2bbacxa 221244
2、,.22bbacbbacxxaa 当当b24ac0时，时，特别提醒特别提醒推导时必须推导时必须写写240bac 24bac 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca解的情况由解的情况由决定决定: :(1) 当当时，时， 方程有两个方程有两个不相等不相等的实数根；的实数根；240bac (2) 当当时，时， 方程有两个方程有两个相等相等的实数根；的实数根；240bac (3) 当当时，时， 方程方程没有没有实数根实数根. .根的判别式根的判别式一元二次方程一元二次方程20 (0)axbxca.的根由方程的系数的根由方程的系数a，b，c确定确定 240bac242bbacxa 将将a，b，c
3、代入式子代入式子当当解一元二次方程时解一元二次方程时,可以可以先先将方程将方程化化为一般形式为一般形式 由求根公式可知由求根公式可知,一元二次方程最多有一元二次方程最多有两两个实数根个实数根一元二次方程的一元二次方程的求根公式求根公式利用它解一元二次方程的方法叫做利用它解一元二次方程的方法叫做公式法公式法，时，时，例例1.用公式法解方程用公式法解方程2x2+5x-3=0解解: a=2, b=5, c= -3, b2-4ac=52-42(-3)=491、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写出并写出a，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。 x = = =即即 x1=
4、 - 3 ,用公式法解一元二次方用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：求根公式求根公式 : X=4、写出方程的解：、写出方程的解： x1=?, x2=?3、代入、代入求根公式求根公式 : X= (a0, b2-4ac0)(a0, b2-4ac0)x2=填空：用公式法解方程 3x2+5x-2=0 解：a=a= ，b=b= ，c =c = . .b b2 2-4ac=-4ac= = = . . x= x= = = . . = = . .即 x x1 1 = = , x, x2 2 = = . . 3 35 5-2-25 52 2-4-43 3(-2)(-2)4949-2-2求根公式求根公
5、式 : X=1.1.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(1) x(1) x2 2 +2x =5+2x =5(a0, b2-4ac0)61224202420445, 2, 1052:22xacbcbaxx解61, 6121xx例2 用公式法解方程： x x2 2 x - =0 x - =0解：方程两边同乘以3 3, , 得 2 x2 x2 2 -3x-2=0 -3x-2=0 x= x= 即 x1=2, x2= - 例3 用公式法解方程：x x2 2 +3 = 2 x+3 = 2 x 解：移项，得x2 2 -2 x+3 = 0 -2 x+3 = 0a=1a=1，b=-2 b=-2 ，c=3c
6、=3b b2 2-4ac=(-2 -4ac=(-2 ) )2 2-4-41 13=03=0 x=x=x x1 1 = x= x2 2 = = = = = =当当 时，一时，一元二次方程有两个相等元二次方程有两个相等的实数根。的实数根。b2-4ac=0a=2，b= -3，c= -2.b2-4ac=(-3) 2-42(-2)=25. 2.用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：(4)(4)4x4x2 2-3x+2=0-3x+2=00212)3(2xx022421,2,:2acbcba解.2221 xx20220)2(x02332942, 3, 4:2acbcba解.方程没有实数根当当 时，一元时，
7、一元二次方程没有实数根。二次方程没有实数根。b2-4ac0解：去括号，化简为一般式：解：去括号，化简为一般式：242bbacxa 例例4 解方程：解方程： 2136xx23780 xx这里这里3a 、 b=-7、b=-7、 c=8c=822474 3 84996470bac - -（） 方程没有实数解。方程没有实数解。用公式法解一元二次方程的一般步骤：用公式法解一元二次方程的一般步骤：242bbacxa 3、代入求根公式、代入求根公式 :2、求出、求出 的值，的值，24bac 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出 的值。的值。a b、 c c4、写出方程的解：、写出方程的
8、解：12xx、特别注意特别注意:当当 时时,方程无实数解方程无实数解;240bac.,042根一元二次方程才有实数时当 acb3、练习、练习:用公式法解方程用公式法解方程: x2 2 - 2 x+2= 0.1、方程、方程2 x x2 2 +1=2 x+1=2 x中，中， b2-4ac= .2、若关于、若关于x的方程的方程x2-2nx+3n+4=0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则n= .动手试一试吧！动手试一试吧！0-1或或408842,22, 1:2acbcba解. 221 xx202220)22(x1、 m取什么值时，方程取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个
9、相等的实数解有两个相等的实数解 思考题思考题174164144)4(4)12(4,4,12,1:222222mmmmmmacbmcmba解.417,0174mm得由., 04,4172实数解则原方程有两个相等的时当acbm 思考题思考题2、关于、关于x的一元二次方程的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)。 当当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？;24,24:,04, 0:22212aacbbxaacbbxacba方程的根为时当解,21xx又.,0, 0数原方程的两根互为相反时当acb,242422aacbbaacbb,242422
10、aacbbaacbb即, 0, 0acb此时本节课我有哪些收获？本节课我有哪些收获？我认为本节课的重点是什么？我认为本节课的重点是什么？想一想想一想 记一记记一记 问一问问一问我还有哪些疑点？我还有哪些疑点？课课下下可可要要多多交交流流呦！呦！解一元二次方程时应先化为一般形式，然后利用公式法求得方程的根.这是解一元二次方程的通法.用公式法解一元二次方程时,必须把方程化为一般形式才能正确确定出 a、b、c.在代入公式求解前,要先计算b2- 4 a c的值.我们把我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式的根的判别式,通常用表示通常用表示. 总结提高
11、判别式定理判别式定理当当b2-4ac0时时,方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根当当b2-4ac=0时时,方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根当当b2-4ac0时时,方程没有实数根方程没有实数根当当b2-4ac0时时,方程有两个实数根方程有两个实数根若方程有两个若方程有两个 不相等的实数根不相等的实数根,则则b2-4ac0 总结提高判别式逆定理判别式逆定理若方程有两个若方程有两个 相等的实数根相等的实数根,则则b2-4ac=0若方程没有实数根若方程没有实数根,则则b2-4ac0若方程有两个若方程有两个 实数根实数根,则则b2-4ac0即一元二次方程：即一元二次方程：200a
12、xbxca当当 时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；0 当当 时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；0 当当 时，方程没有实数根。时，方程没有实数根。0 反过来，有反过来，有当方程有两个不相等的实数根时，当方程有两个不相等的实数根时， ；0 当方程有两个相等的实数根，当方程有两个相等的实数根， ；0 当方程没有实数根，当方程没有实数根， 。0 记住了，记住了，别忘了别忘了! 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式acb42两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3） 0=00（4）00两个实数根两个实数根
13、两个不相等实根两个不相等实根两个相等实根两个相等实根无实数根无实数根（1）（2）（3）（4） 要点、考点要点、考点1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根. .(4)(4)当当00时，方程有两个实数根时，方程有两个实数根2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识
14、主要用来求字母取值范围等问题的知识主要用来求字母取值范围等问题. .1.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先将方程化为一般形式. .2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0.应用应用1. 不解方程判断方程根的情况：不解方程判断方程根的情况：(1) x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数为常数)(2) x2-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数为常数) =4( k2-4k+4) =4( k-2) 2解：解：=4 k2-16k+16 0方程有两个不等
15、实根方程有两个不等实根解：解：=m2-4m+8=m2-4m+4+4 =(m-2) 2 +4 0方程有实根方程有实根含有字母系数时，将含有字母系数时，将配方后判断配方后判断 1 1、不解方程，判断根的情况、不解方程，判断根的情况. . (1)2x2- -4x- -5=0; (2)x2-(m+1)x+m=0. 224( 4)4 2 ( 5)bac =56 0方程有两个不相等的实数根； 224(1)4 1bacmm 2214mmm 2(1)m当当m- -1=0时时，0方程有两个相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；当当m- -10时时，解：解：(1)、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程(
16、m-1)x2-2mx+m=0有有两个实数根，则两个实数根，则m的取值范围是的取值范围是 （ ） A 、 m 0 B 、 m 0 C 、 m 0 且且m1 D m 0且且m1解：由题意，得 m-10 =（2m)2-4（m-1）m0解之得，m0且m1，故应选DD应用应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围：根据方程根的情况判断某一字母取值范围(2) m为何值时为何值时,关于关于x的一元二次方程的一元二次方程m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？有两个不等实根？解：解：=(2m+1)2-4m2 =4m+1若方程有两个不等实根，则若方程有两个不等实根，则 04m+1 0mm -1/4-1
17、/4对吗？mm - 1/4 - 1/4 且且m0m0注意二次注意二次项系数项系数2 2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围. . 例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根. 解：一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.k0，240bac 又224( 2)43back = 4- -12k 4- -12k 0，解得 当当方程有实数根.13k 且且k0 时时，13k 问题三问题三求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根证明：=-（m+7）2-49（m-3） =m2+14m+49-3
18、6m+108 =m2-22m+157 =（m-11）2+36不论m取何值，均有（m-11）20（m-11）2+360，即0不论m取何值，方程都有两个不相等的实数根小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式3 3、证明字母系数方程有实数根或无实数根、证明字母系数方程有实数根或无实数根 例:求证方程2x2-(m+5)x+m+1=0有两个不相等的实数根. 把判别式配方解： 224(5)4 2 (1)bacmm 2102588mmm2217mm2(1)16m0方程有两个不相等的实数根；问题问题四四：解含有字母系数的方程。：解含有字母系数的方程。550 x解：当当a=0时，时，-5x+1=0
19、x=1.当当a0时，方程为一元二次方程时，方程为一元二次方程. 2(32)220(0)mxmxmm( (2008年北京市年北京市) )已知已知 : :关于关于的一元二次方程的一元二次方程(1)(1)求证求证: :方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根；【例例5】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边，若方程的三边，若方程 有两个等根，试判断有两个等根，试判断ABC的形状的形状. 解：利用解：利用 0，得出，得出a=b=c.ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析例例6.一元二次方程一元二次方程有有两个两个实数根实数根,则则m的取值范围是的取值范围是_02212m
20、mxxm21422mmm解844422mmm84m02m101mm即又12mm且变2、选择题、选择题（请用最快的速度，把请用最快的速度，把“有两个实数根有两个实数根”的方的方程和程和“没有实数根没有实数根”的方程的序号选入相应的括号内）的方程的序号选入相应的括号内）（1） （2）（3） （4）（5） （6）280 x 210 xx 210 xx 2230 xx有两个实数根有两个实数根的方程的序号是（的方程的序号是（ ）没有实数根没有实数根的方程的序号是（的方程的序号是（ ）（5）（3）（2）（6）（4）（1）任何一个一元二次方程或者有任何一个一元二次方程或者有两个实数根或者没有实数根两个实数根
21、或者没有实数根a、c异号，异号，一元二次方程一元二次方程有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根290 x 2230 xx求根公式求根公式 : X=一、由配方法解一般的一元二一、由配方法解一般的一元二次方程次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0 (a0)(a0) 若若 b b2 2-4ac0-4ac0得得这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果二、用公式法解一元二次方二、用公式法解一元二次方程的一般步骤：程的一般步骤：1、把方程化成一般形式。、把方程化成一般形式。 并写并写出出a
22、，b，c的值。的值。2、求出、求出b2-4ac的值。的值。3、代入、代入求根公式求根公式 :X=(a0, b2-4ac0)4、写出方程的解、写出方程的解: x1=?, x2=?这是收获的这是收获的时刻，让我时刻，让我们共享学习们共享学习的成果的成果四、计算一定要四、计算一定要细心细心，尤其是，尤其是计算计算b b2 2-4ac-4ac的值和代入公式时，的值和代入公式时，符号符号不要弄错。不要弄错。三三、当、当 b b2 2-4ac=0-4ac=0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两个相等两个相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程有方程有两
23、个不相等两个不相等的实数根。的实数根。当当 b b2 2-4ac-4ac0 0时，一元二次时，一元二次方程方程没有没有实数根。实数根。1、一元二次方程的一般形式是什么？、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、解一元二次方程有哪四种方法？、解一元二次方程有哪四种方法？一般形式一般形式缺一次项缺一次项缺常数项缺常数项缺一次项及常数项缺一次项及常数项)0(02acbxax) 0, 0, 0( 02cbacax) 0, 0, 0( 02cbabxax)0, 0(02cbaax 公式法是公式法是由由配方法配方法推导推导而得到而得到 公式法公式法是解是解一元二次方程一元二次方程的的通法通法. . 凡形如凡形
24、如 ax2+c=0 (a0, ac0) 或或 a(x+p)2+q=0 (a0, aq0)的一元二次方程都可用直接开平方法解的一元二次方程都可用直接开平方法解.配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程; ; 先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解开平方法来求出它的解. .公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法. .解一元二次方程的方法有哪几种？根解一元二次方程的方法有哪几种？根据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择据你学习的体会，谈谈通常你是如何选择解法的，并与同学交流解法的，并与同学交流. .公式法公式法是解一元二次方程的是解一元二次方程的通法通法. .配方法、公式法配方法、公式法适用于适用于所有所有一元二次方程一元二次方程; ;开平方法开平方法适用于适用于缺项缺项的的一元二次方程一元二次方程; ;
