1、第三节第三节 复合函数与反函复合函数与反函数数一、复合函数一、复合函数二、反函数二、反函数三、函数的运算三、函数的运算五、小结五、小结 思考题思考题四、初等函数四、初等函数一、复合函数一、复合函数(compound function),uy 设设,12xu 21xy 定义定义:,自自变变量量x,中中间间变变量量u因变量y |,( )设设有有函函数数和和，则则称称定定义义在在上上的的函函数数为为和和的的 fggffgDRx xDg xDfgfg复合函数复合函数其中其中)()(xgfxgf例例1,ln)(,2)(2uufyxxgu ,), 2fgDR 则则因此能够形成复合函数因此能够形成复合函数)
2、2ln()(2xxgf注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv .fggf3. 3. 二、反函数二、反函数(inverse function)0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o射射是是单单射射，则则它它存存在在逆逆映映设设函函数数)(:DfDf,)(:1DDff 的的为为函函数数称称此
3、此映映射射ff1 反函数反函数. .)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 上也是严格上也是严格在其定义域在其定义域且且有反函数有反函数)(,11Dfff .增增函函数数( ),yf xxDf 设设为为严严格格增增函函数数 则则必必定理定理111,fff类类似似地地 严严格格减减函函数数必必有有反反函函数数且且在在其其.定定义义域域上上也也是是严严格格减减函函数数,( ).xDf xy使使,()fDyf D设设在在上上严严格格增增 则则 证证只有一个只有一个1212,()
4、(),xxf xyf x事实上,若使事实上,若使f则则与与1.:f的的严严格格增增性性质质相相矛矛盾盾再再证证必必是是严严格格增增的的,),(,2121yyDfyy 1212,yyfxx 由由于于及及的的严严格格增增性性 必必有有即即111122(),(),xfyxfy11112()(),.fyfyf 因因此此也也是是严严格格增增函函数数重要例题重要例题sin,sin2 2yxyx 在在严严格格增增，则则,arcsin .2 2yx 在在具具有有反反函函数数根根据据原原函函数数定定义义ny因因此此的的反反函函+Rnnyx 由由于于在在上上严严格格增增, ,例例6+,Rrnryxm在在上上亦亦为
5、为严严格格增增. .1/+Rnnzx 数数在在上上严严格格增增, ,故故对对任任意意有有理理数数是是反反函函数数的的值值域域，原原函函数数值值域域是是反反函函数数定定义义域域， arcsin-,.2 2yx 因因此此，定定义义域域为为 1,11,1 值值域域为为类比求出类比求出arccos ,arctan ,arccot ,yx yx yx定定义义域域和和值值域域. .例例2.1的反函数的反函数求函数求函数 xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222 fxxDxyeyyxye反函数为反函数为，即原函数的值域为，即原函数的值域为解解:注注 函数的严格单调性是它存在反函数的充分条函数
6、的严格单调性是它存在反函数的充分条件，而不是必要条件。例如，函数件，而不是必要条件。例如，函数1,-10， xxy 三、函数的运算三、函数的运算的下列运算：的下列运算：,)(, )(21DDxgxf、的定义域分别是的定义域分别是设函数设函数个函数个函数，则我们可以定义这两，则我们可以定义这两 21DDD函数的函数的和（差）和（差）函数的函数的积积函数的函数的商商 gf Dxxgxfxgf ，)()()(Dxxgxfxgf ，)()()(gfgf )()()(xgxfxgf 0)(| xgxDx例例3.)()()(,)()(),(),()(xhxgxfxhxgllllxf 使得使得及奇函数及奇函
7、数上的偶函数上的偶函数定存在定存在，证明必，证明必的定义域为的定义域为设函数设函数 )()()()()()()()()()(xhxgxhxgxfxhxgxfxhxg，于是有，于是有存在存在和和如果这样的如果这样的分析分析证明证明: )()(21)()()(21)(xfxfxhxfxfxg设设.)()()(xhxgxf 显然显然.)()()(21)()()()(21)(是奇函数是奇函数，是偶函数是偶函数xhxfxfxhxgxfxfxg 四、初等函数四、初等函数 基本初等函数基本初等函数 幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 三角函数三角函数 反三角函数反三角函数 初等函数初等函数 由
8、常数及基本初等函数经过由常数及基本初等函数经过有限次四有限次四则运算则运算及及有限次的复合有限次的复合所构成并且可以用一个所构成并且可以用一个式子表示的函数。式子表示的函数。()yx是常数(01, , )xyaaaa是常数log(01, , )ayx aaa是常数sincostancot=, =, =, =yx yx yx yxarcsin ,arccos ,arctan ,arccot=yx yxyx yx一、幂函数(power functions )幂函数幂函数)( 是常数是常数 xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy xay xay)1( )1( a)1 , 0( )10
9、( aaayx且且二、指数和对数函数二、指数和对数函数1. 指数函数指数函数2. 对数函数对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (logarithmic function)正弦函数正弦函数xysin xysin 三、三角函数与反三角函数三、三角函数与反三角函数1. 三角函数三角函数xycos xycos 余弦函数余弦函数正切函数正切函数xytan xytan xycot 余切函数余切函数xycot 正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 2. 反三角函数反三角函数xyarcsin xyar
10、csin 反反正正弦弦函函数数xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函数数xyarctan xyarctan 反正切函数反正切函数xycot 反余切函数反余切函数arcxycot arc五、小结 思考题1.1.基本初等函数：基本初等函数： 幂函数、指数与对数函数、幂函数、指数与对数函数、三角函数与反三角函数的图象与简单性质三角函数与反三角函数的图象与简单性质.2.2.初等函数的定义：初等函数的定义：四、初等函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. 由常数和基本由常数和基本初等函数经过有限次
11、的四则运算和有限次的函初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为数，称为初等函数初等函数.思考题思考题)(,1sec)(tan2xfxxf求求已知已知 解解:21)1()(1)1(tan)(tan222 xxxfxxf思考题思考题分段函数一定不是初等函数吗？分段函数一定不是初等函数吗？解答解答不一定不一定考察函数考察函数 00 xxxxy它是一个分段函数，它是一个分段函数，2xxy ，但是但是根据定义，它是一个初等函数根据定义，它是一个初等函数.练练 习习 题题.)()()(111011)(3图图形形，并并作
12、作出出它它们们的的，求求，、设设xfgxgfexgxxxxfx 练练 习习 题题 1 1、2xey ； 2 2、xvvuuy2,ln,sin ； 3 3、 0, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,11, 11,)(xexxexfg. . 练习题答案练习题答案.sin的图形”作函数二、应用图形的“叠加xxy三、火车站行李收费规定如下：20千克以下不计费，2050千克每千克收费0.20元，超出50千克超出部分每千克0.30元，试建立行李收费f(x)(元)与行李质量x(千克)之间的函数关系，并作出图形 一、一、1.1.基本初等函数；基本初等函数； 2.2.,3ee； 3. 3.- -1,1,1,1, kk2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . . 练习题答案练习题答案
