1、金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 要点梳理要点梳理 1.1.正态曲线及性质正态曲线及性质 (1)(1)正态曲线的定义正态曲线的定义 函数函数 , , x x(-,+),(-,+),其中实数其中实数和和 ( (0)0)为参数，我为参数，我 们称们称 的图象的图象( (如图如图) )为正态分布密度曲线为正态分布密度曲线, , 简称正态曲线简称正态曲线. . 12.7 12.7 正态分布正态分布22221 )(e x)(,x)(,x 基础知识基础知识 自主学习自主学习金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 (2)(2)正态曲线的性质：正态曲线的性质： 曲线位于曲线位于x x轴轴_,_,与与x x轴
2、不相交；轴不相交； 曲线是单峰的曲线是单峰的, ,它关于直线它关于直线_对称；对称； 曲线在曲线在_处达到峰值处达到峰值 曲线与曲线与x x轴之间的面积为轴之间的面积为_； 当当一定时一定时, ,曲线随着曲线随着_的变化而沿的变化而沿x x轴平移轴平移, , 如图甲所示；如图甲所示； ;21上方上方x x= =x x= =1 1金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 当当一定时一定时, ,曲线的形状由曲线的形状由确定确定, ,_，曲线，曲线 越越“瘦高瘦高”, ,表示总体的分布越集中表示总体的分布越集中; ;_, ,曲线曲线 越越“矮胖矮胖”, ,表示总体的分布越分散表示总体的分布越分散, ,
3、如图乙所示如图乙所示. . 越小越小越大越大金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2.2.正态分布正态分布 (1)(1)正态分布的定义及表示正态分布的定义及表示 如果对于任何实数如果对于任何实数a a, ,b b ( (a a b b),),随机变量随机变量X X满足满足P P( (a a X Xb b)= ,)= ,则称则称X X的分布为正态分布的分布为正态分布, ,记作记作 _._. (2) (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P P( (- - X X+ +)=_;)=_; P P( (-2-2 X X+2+2)=_;)=_; P P( (-3
4、-3 X X+3+3)=_. )=_. xxbad)(, N N( (, ,2 2) )0.682 60.682 60.954 40.954 40.997 40.997 4金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 基础自测基础自测1.1.正态分布函数正态分布函数 其中其中0 c c+1)=+1)=P P( (X X 2) 2) 的值为的值为 ( ) ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 解析解析 根据正态曲线的对称性根据正态曲线的对称性, , P P(-2(-22)=22)=2P P(-2(-20)=0.8.0)=0.8. 1 .
5、028 . 01)2(PA金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 5.5.某班同学共有某班同学共有4848人，数学测验的分数服从正态分人，数学测验的分数服从正态分 布布, ,其平均分是其平均分是8080分分, ,标准差是标准差是10,10,则该班同学中成绩则该班同学中成绩 在在7070 9090分之间的约有分之间的约有_人人. . 解析解析 =80,=80,=10.=10. P P(70(7090)=90)=P P( (- - + +)=0.682 6,)=0.682 6, 约有约有48480.682 6=32.764 833(0.682 6=32.764 833(人人). ). 3333金太阳
6、新课标资源网金太阳新课标资源网 题型一题型一 正态曲线的性质正态曲线的性质【例例1 1】若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函 数数, ,且该函数的最大值为且该函数的最大值为 (1)(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)(2)求正态总体在求正态总体在(-4,4(-4,4的概率的概率. . 要确定一个正态分布的概率密度函数的要确定一个正态分布的概率密度函数的 解析式解析式, ,关键是求解析式中的两个参数关键是求解析式中的两个参数, ,的值的值, ,其其 中中决定曲线的对称轴的位置决定曲线的对称轴的位置, ,则与
7、曲线的形状和则与曲线的形状和 最大值有关最大值有关. . 思维启迪思维启迪.241题型分类题型分类 深度剖析深度剖析金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 解解 (1)(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函 数数, ,所以其图象关于所以其图象关于y y轴对称轴对称, ,即即=0.=0.故该正态分布的概率密度函数的解析式是故该正态分布的概率密度函数的解析式是(2)(2)P P(-4(-4X X4)=4)=P P(0-4(0-4X X0+4)0+4)= =P P( (- - X X+ +)=0.682 6.)=0.682 6. 解决此类问题的关键是正确理解
8、函数解解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系析式与正态曲线的关系, ,掌握函数解析式中参数的取掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响值变化对曲线的影响. . 探究提高探究提高,442121 得得由由).,(,e241)(32,2xxx金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 知能迁移知能迁移1 1 如图是一个正态如图是一个正态 曲线曲线. .试根据该图象写出其正试根据该图象写出其正 态曲线函数解析式态曲线函数解析式, ,求出总体求出总体 随机变量的期望和方差随机变量的期望和方差. . 解解 从给出的正态曲线可知从给出的正态曲线可知, ,该正态曲线关于直线该正态曲线关于直线 x
9、x=20=20对称对称, ,最大值是最大值是 所以所以=20.=20. 于是正态分布密度函数的解析式是于是正态分布密度函数的解析式是 总体随机变量的期望是总体随机变量的期望是=20,=20,方差是方差是,21.,22121 解得解得).,(,e)()( xxfx420221. 2)2(22金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 题型二题型二 服从正态分布的概率计算服从正态分布的概率计算【例例2 2】设设XNXN(5,1),(5,1),求求P P(6(6X X7).7). 确定确定, , ,根据正态曲线的对称性知根据正态曲线的对称性知 P P( (- - X X + +) )、P P( (-2-2
10、 X X +2+2) )的概率的概率, , 进行求解进行求解. . 解解 由已知由已知=5,=5,=1.=1. P P(4(4X X6)=0.682 6.6)=0.682 6. P P(3(3X X7)=0.954 4.7)=0.954 4. P P(3(3X X4)+4)+P P(6(6X X7)7) =0.954 4-0.682 6=0.271 8. =0.954 4-0.682 6=0.271 8. 思维启迪思维启迪金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 如图如图, ,由正态曲线的对称性可得由正态曲线的对称性可得 P P(3(3X X4)=4)=P P(6(6X X7)7) 求服从正态分布
11、的随机变量在某个区间求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率取值的概率, ,只需借助于正态曲线的性质只需借助于正态曲线的性质, ,把所求问题把所求问题转化为已知概率的三个区间上转化为已知概率的三个区间上. . . 9135. 028271. 0)76(XP探究提高探究提高金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 知能迁移知能迁移2 2 设设XNXN(1,2(1,22 2),),试求试求 (1)(1)P P(-1(-1X X3);3); (2) (2)P P(3(3X X5);5); (3) (3)P P( (X X5).5). 解解 XNXN(1,2(1,22 2),),=1,=1,=2.=2
12、. (1) (1)P P(-1(-1X X3)=3)=P P(1-2(1-2X X1+2)1+2) = =P P( (- - X X+ +) ) =0.682 6. =0.682 6. 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 (2)(2)P P(3(3X X5)=5)=P P(-3(-3X X-1)-1)P P(3(3X X5)= 5)= P P(-3(-3X X5)-5)-P P(-1(-1X X3)3)= = P P(1-4(1-4X X1+4)-1+4)-P P(1-2(1-2X X1+2)1+2)= = P P( (-2-2 X X+2+2)-)-P P( (- - X X+ +) )=
13、 = (0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.21212121金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 (3)(3)P P( (X X5)=5)=P P( (X X-3),-3),P P( (X X5)= 5)= 1-1-P P(-3(-3X X5)5)= 1-= 1-P P(1-4(1-4X X1+4)1+4)= 1-= 1-P P( (-2-2 X X+2+2)= (1-0.954 4)=0.022 8. = (1-0.954 4)=0.022 8. 21212121金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 题型三题型三 正态分布的应
14、用正态分布的应用【例例3 3】 (12(12分分) )设在一次数学考试中设在一次数学考试中, ,某班学生的分某班学生的分 数服从数服从XNXN(110(110，20202 2),),且知满分且知满分150150分分, ,这个班的学这个班的学 生共生共5454人人. .求这个班在这次数学考试中及格求这个班在这次数学考试中及格( (不小于不小于 9090分分) )的人数和的人数和130130分以上的人数分以上的人数. . 要求及格的人数要求及格的人数, ,即求出即求出P P(90(90X X 150), 150),而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值而求此概率需将问题化为正态变量几种特殊值 的
15、概率形式的概率形式, ,然后利用对称性求解然后利用对称性求解. . 思维启迪思维启迪金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 解解 因为因为XNXN(110,20(110,202 2), ), 所以所以=110,=110,=20. 2=20. 2分分P P(110-20(110-20130130的概率为的概率为 8 8分分所以所以, ,X X9090的概率为的概率为0.682 6+0.158 7=0.841 3.0.682 6+0.158 7=0.841 3. 10 10分分及格的人数为及格的人数为54540.841 345(0.841 345(人人),),130130分以上的人数为分以上的人数为
16、54540.158 79(0.158 79(人人). 12). 12分分.).(7158066820121 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 探究提高探究提高 (1)(1)正态分布的特点可结合图象记忆正态分布的特点可结合图象记忆, ,并并 可根据可根据和和的不同取值得到不同的图象的不同取值得到不同的图象. .(2)(2)解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间区间( (- -, ,+ +),(),(-2-2, ,+2+2),(),(-3-3, ,+ +3 3) )上的概率值上的概率值, ,同时又要根据已知的正态分布确定同时又要根据已知的正态分
17、布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个所给区间属于上述三个区间中的哪一个. . 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 知能迁移知能迁移3 3 某年级的一次信息技术测验成绩近似服某年级的一次信息技术测验成绩近似服 从正态分布从正态分布N N(70(70，10102 2) )，如果规定低于，如果规定低于6060分为不及分为不及 格格, ,则成绩不及格的人数占多少？则成绩不及格的人数占多少？ 解解 设学生的得分情况为随机变量设学生的得分情况为随机变量X X, ,XNXN(70,10(70,102 2),), 则则=70,=70,=10.=10. P P(60(60X X80)=80)=P P(70
18、-10(70-10X X70+10)=0.682 6.70+10)=0.682 6. P P( (X X60)= 1-60)= 1-P P(60(60X X80)80) = = (1-0.682 6)=0.158 7.(1-0.682 6)=0.158 7. 即不及格学生占即不及格学生占15.87%. 15.87%. 2121金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 1.1.熟练地掌握正态密度曲线的解析式熟练地掌握正态密度曲线的解析式 x x R R. .注意结构特点注意结构特点, ,特别是参数特别是参数 的一致性的一致性. .2.2.理解正态曲线的形状特征理解正态曲线的形状特征, ,如对称轴、顶
19、点变化趋如对称轴、顶点变化趋 势等势等. .3.3.若若XNXN( (, ,2 2),),则则P P( (- - X X+ +)=0.682 6,)=0.682 6, P P( (-2-2 X X+2+2)=0.954 4,)=0.954 4, P P( (-3-3 X X+3+3)=0.997 4. )=0.997 4. 方法与技巧方法与技巧,e)(22221 x )(,x 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 在实际问题中进行概率、百分比计算时在实际问题中进行概率、百分比计算时, ,关键是把正关键是把正 态分布的两个重要参数态分布的两个重要参数, ,求出求
20、出, ,然后确定三个区间然后确定三个区间( (范围范围) )：( (- -, ,+ +),(),(-2-2, ,+2+2),),( (-3-3, ,+3+3) )与已知概率值进行联系求解与已知概率值进行联系求解. . 失误与防范失误与防范金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 一、选择题一、选择题1.1.(2008(2008重庆理重庆理,5),5)已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布 N N(3,(3,2 2),),则则P P( (3)3)等于等于 ( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由正态分布图象知由正态分布图象知, ,=3=3为该图象的对称轴为
21、该图象的对称轴, , P P( (3)=3)=3)=51413121.21D定时检测定时检测金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 2.2.(2008(2008安徽理安徽理,10),10)设两个正态分布设两个正态分布N N( (1 1, ) , ) ( (1 10)0)和和N N( (2 2, ) (, ) (2 20)0)的密度函数图象如的密度函数图象如 图所示图所示, ,则有则有 ( )( ) A. A.1 1 2 2, ,1 1 2 2 B.B.1 1 2 2 C. C.1 1 2 2, ,1 1 2 2, ,1 1 2 2 解析解析 由正态分布由正态分布N N( (, ,2 2) )性质
22、知性质知, ,x x= =为正态密为正态密 度函数图象的对称轴度函数图象的对称轴, ,故故1 1 2 2. .又又越小，图象越越小，图象越 高瘦高瘦, ,故故1 1 2 2. . 2122A金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 3.3.某市组织一次高三调研考试某市组织一次高三调研考试, ,考试后统计的数学成考试后统计的数学成 绩服从正态分布绩服从正态分布, ,其密度函数为其密度函数为 ( (x xR R),),则下列命题不正确则下列命题不正确 的是的是 ( ) ( ) A. A.该市这次考试的数学平均成绩为该市这次考试的数学平均成绩为8080分分 B.B.分数在分数在120120分以上的人数与
23、分数在分以上的人数与分数在6060分以下的人数分以下的人数 相同相同 C.C.分数在分数在110110分以上的人数与分数在分以上的人数与分数在5050分以下的人数分以下的人数 相同相同 D.D.该市这次考试的数学成绩标准差为该市这次考试的数学成绩标准差为10102008021021)(,e)( xx 金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 解析解析 由密度函数知由密度函数知, ,均值均值( (期望期望) )=80,=80,标准差标准差= =10,10,又曲线关于直线又曲线关于直线x x=80=80对称对称, ,故分数在故分数在100100分以上的分以上的人数与分数在人数与分数在6060分以下的人
24、数相同分以下的人数相同, ,所以所以B B是错误的是错误的. .答案答案 B B金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 4.4.已知随机变量已知随机变量NN(3,2(3,22 2),),若若=2=2+3,+3,则则D D( () )等等 于于 ( ) ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 A.0 B.1 C.2 D.4 解析解析 由由=2=2+3,+3,得得D D( ()=4)=4D D( (),), 而而D D( ()=)=2 2=4,=4,D D( ()=1. )=1. 5.5.标准正态总体在区间标准正态总体在区间(-3,3)(-3,3)内取值的概率为内取值的概率为( ) ( ) A.0.
25、998 7 B.0.997 4 C.0.944 D.0.841 3 A.0.998 7 B.0.997 4 C.0.944 D.0.841 3 解析解析 标准正态分布标准正态分布N N(0,1),(0,1),=1,=1,区间区间(-3,3),(-3,3), 即即(-3(-3,3,3),),概率概率P P=0.997 4. =0.997 4. BB金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 6.6.已知随机变量已知随机变量服从正态分布服从正态分布N N(2,(2,2 2),),P P( (4) 4) =0.84, =0.84,则则P P( (0)0)等于等于 ( ) ( ) A.0.16 B.0.32
26、 C.0.68 D.0.84 A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 解析解析 P P( (0)=4)=1-4)=1-P P( (4)4) =1-0.84=0.16. =1-0.84=0.16.A金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 二、填空题二、填空题 7.7.(2009(2009安徽理安徽理,11),11)若随机变量若随机变量XNXN( (, ,2 2),),则则 P P( (X X)=_.)=_. 解析解析 由于随机变量由于随机变量XNXN( (, ,2 2),),其概率密度曲线其概率密度曲线 关于关于x x= =对称对称, ,故故P P( (X X)=)=.2121金太
27、阳新课标资源网金太阳新课标资源网 8.8.已知正态分布总体落在区间已知正态分布总体落在区间(0.2(0.2，+)+)的概率为的概率为 0.5,0.5,那么相应的正态曲线那么相应的正态曲线 在在x x=_=_时达到时达到 最高点最高点. . 解析解析 P P( (X X0.2)=0.5,0.2)=0.5, P P( (X X0.2)=0.5,0.2)=0.5, 即即x x=0.2=0.2是正态曲线的对称轴是正态曲线的对称轴. . 当当x x=0.2=0.2时时, , 达到最高点达到最高点. . )(,x)(,x0.20.2金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 9.9.在某项测量中在某项测量中,
28、,测量结果测量结果服从正态分布服从正态分布N N(1,(1,2 2) ) ( (0).0).若若在在(0,1)(0,1)内取值的概率为内取值的概率为0.40.4，则，则在在 (0,2)(0,2)内取值的概率为内取值的概率为_._. 解析解析 服从正态分布服从正态分布(1,(1,2 2),), 在在(0,1)(0,1)与与(1,2)(1,2)内取值的概率相同均为内取值的概率相同均为0.4.0.4. 在在(0,2)(0,2)内取值概率为内取值概率为0.4+0.4=0.8. 0.4+0.4=0.8. 0.80.8金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 三、解答题三、解答题10.10.设设XNXN(10
29、,1).(10,1). (1) (1)证明：证明：P P(1(1X X2)=2)=P P(18(18X X19);19); (2) (2)设设P P( (X X2)=2)=a a, ,求求P P(10(10X X18).18). (1) (1)证明证明 因为因为XNXN(10,1),(10,1),所以正态曲线所以正态曲线 关于直线关于直线x x=10=10对称对称, ,而区间而区间1,21,2和和18,1918,19关于直线关于直线 x x=10=10对称对称, ,)(,x金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 所以所以 即即P P(1(1X X2)=2)=P P(18(18X X19). 19
30、). (2)(2)解解 P P(10(10X X18)=18)=P P(2(2X X10)10) = =P P( (X X10)-10)-P P( (X X2)= 2)= ,d)(d)(,xxxx 191821 .21a金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 11.11.工厂制造的某机械零件尺寸工厂制造的某机械零件尺寸X X 服从正态分布服从正态分布 问在一次正常的试验中问在一次正常的试验中, ,取取1 0001 000个零件时个零件时, , 不属于区间不属于区间(3,5)(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？这个尺寸范围的零件大约有多少个？ 解解 不属于区间不属于区间(3,5)(3,5)的
31、概率为的概率为 P P( (X X3)+3)+P P( (X X5)=1-5)=1-P P(3(3X X5)5) =1- =1-P P(4-1(4-1X X4+1)=1-4+1)=1-P P( (-3-3 X X +3+3) ) =1-0.997 4=0.002 60.003, =1-0.997 4=0.002 60.003, 1 000 1 0000.003=3(0.003=3(个个),), 即不属于区间即不属于区间(3,5)(3,5)这个尺寸范围的零件大约有这个尺寸范围的零件大约有3 3个个. .),(914N.31, 4),91, 4(NX金太阳新课标资源网金太阳新课标资源网 12.12
32、.某人乘车从某人乘车从A A地到地到B B地，所需时间地，所需时间( (分钟分钟) )服从正态服从正态 分布分布N N(30,100),(30,100),求此人在求此人在4040分钟至分钟至5050分钟到达目的分钟到达目的 地的概率地的概率. . 解解 由由=30,=30,=10,=10,P P( (- - X X+ +)=0.682 6)=0.682 6 知此人在知此人在2020分钟至分钟至4040分钟到达目的地的概率为分钟到达目的地的概率为 0.682 6,0.682 6,又由于又由于P P( (-2-2 X X+2+2)=0.954 4 ,)=0.954 4 , 所以此人在所以此人在1010分钟至分钟至2020分钟和分钟和4040分钟至分钟至5050分钟到达分钟到达 目的地的概率为目的地的概率为0.954 4-0.682 6=0.271 8,0.954 4-0.682 6=0.271 8,由正态由正态 曲线关于直线曲线关于直线x x=30=30对称得此人在对称得此人在4040分钟至分钟至5050分钟到分钟到 达目的地的概率为达目的地的概率为0.135 9. 0.135 9. 返回返回
