1、为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数xxXPxF),()(一、定义一、定义)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP注用分布函数计算X落在(a,b里的概率：2.32.3、随机变量的分布函数及其性质随机变量的分布函数及其性质( )XF x1定理定理1.1.（分布函数的特征性质）（分布函数的特征性质）(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即)()(,2121xFxFxx(3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt0( ) 1,F xlim( )0,xF x(2)(有界性)lim( )1
2、,xF x即F(+)=1,F(-)=0.2证明证明 （1）12xx2112()()0F xF xP xXx12()()F xF x（2） ( ),F xP Xx0( )1F x1 nPXP nXn (1)() (1)( )nnP XnP XnF nF n lim( )lim( ) 1nnF nF n0)(lim, 1)(limxFxFxx3（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一列单调下降的数列12*nxxxx成立*lim()()nnF xF x1*11111()() () ( )()iiiiiiF xF xP xXxPxXxF xF x1()lim()nnF xF x*lim()()
3、nnF xF x4用分布函数表示概率用分布函数表示概率)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请请填填空空5注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为：F ( x )满足上述三条性质。 注1 分布函数也可定义为xXPxF)(应改为左连续性。这样定义的分布函数仍满足性质13，但性质3例 F(x), G(x)为两个分布函数, , 10)()1 ()(xGxF为一分布函数。证明6例例1 1 设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 P0.2 0
4、.5 0.3（1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形；（2）求 11PX 3,XP二、举例7,( )0XxF xP Xx解解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故当x0时,当0 x1时,当1x2时,当2x时, 0 ,( )0.2XxXF x 101 0XXXxX或7 . 0)(xXPxF,( )1XxF xP Xx 从而归纳上述结果得 80,00.2,01( )0.7,121,2xxF xP Xxxx0, 10, 0)(xxxU0.2 ( )0.5 (1)0.3 (2)U xU xU x(2)11(1)( 1 0)0.7PXFF 3 1PX或11010.7PXP Xor 9
5、0.20.71满足分布函数的三条基本性质。一般地，若离散型随机变量X的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，10X x1 x2 xk P p1 p2 pk 0 10 0)(xxxUxxiixx其中表示对满足的一切下标i求和。称为单位阶梯函数，也称为Heavyside函数。则其分布函数为1)()(iiixxixxUppxXPxFi11值得注意的是, F(x)是(-,+ )上的分段阶梯函数, 开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间. 间断点就是随机变量X的取值点, 除最左边那段是1)( CXP)( 1 0)(cxUcxcxxF特别地，若随机变量以概率1取常数，即则称这个分布为单点分布或退化分布，它的分布函数为12例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数. xX0)(xXPxF xXxX02( )F xP Xxkx,( )1XxF xP Xx 解解 当 x1时,13综上所述, X的分布函数为1 110 0 0)(2xxxxxF1114总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk0 10 0)(xxxU则其分布函数为1)()(iiixxixxUppxXPxFi称为单位阶梯函数.15
