北师大版九年级上册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

· ??? · ·北京· 主 编 马 复 副 主 编 史炳星 章 飞 本册主编 刘晓玫 ·北京· 基础教育教材网址 http：// 出版发行：北京师范大学出版社 北京新街口外大街19号 邮政编码：100875 印 刷： 经 销：全国新华书店 开 本：184 mm × 260 mm 印 张：11.75 字 数：284千字 版 次：2014 年 6 月第 1 版 印 次：2014 年 6 月第 1 次印刷 定 价：7.95 元 ISBN 978-7-303- 责任编辑：王永会 兰小银 装帧设计：王 蕊 责任校对：李 菡 责任印制：李 啸 版权所有 侵权必究 反盗版、侵权举报电话：010-58800697 北京读者服务部电话：010-58808104 本书如有印装质量问题，请与印制管理部联系调换。 印制管理部电话：010-58800825 外埠邮购电话：010-58808083 走进数学新天地 亲爱的同学，祝贺你步入义务教育的最后一个学年！ 七年级和八年级的数学学习生活使我们接触到许多数学对象，经历了许多 有意义的数学活动，还学到了一些重要的数学方法，并且能够用它们去解决问 题．更重要的是，我们看到了身边的数学，掌握了一些学习数学的基本方法， 有了学好数学的信心…… 我们已经研究了三角形、平行四边形的许多性质，在本册教科书中我们将 继续探究并证明几种特殊平行四边形的性质，相信会使你对如何研究图形有更 深刻的认识． 我们学习过一次方程（组）与分式方程，一元二次方程则是一个新的数学 模型，它所表示的数量关系更为复杂，当然也能更好地体现数学的重要价值． 生活中我们常常可以见到“相似”的图形， “相似”是图形之间的一种特 殊关系，与全等不一样，但又有着关联．数学里“相似”意味着什么？我们怎 样从数学的角度去研究相似现象？ 物体在灯光下、太阳光下都有影子，物体的这些影子有什么特点和规 律？从数学的角度如何来认识它们？学完第四章你将发现“数学会使我们看 得更深刻” ． 我们已经学习了一次函数，反比例函数是另一种函数模型，学习反比例函 数以后，我们对函数的认识会更丰富． 对概率的进一步研究，会使我们对随机现象有更深刻的认识．我们再一次 感受到身边存在大量的数学，甚至游戏中也有数学，原来学数学不一定是很 “枯燥”的事情． 学好数学当然不是轻而易举就能做到的，但也不是高不可攀的．自己想一 想、做一做，与同伴们议一议，读一读教科书，听一听老师的讲解，并在日常 生活中尝试使用数学．事实上，对数学了解得越多，就越能体会到她的意义与 趣味． 让我们一起走进数学新天地！ 第一章 特殊平行四边形 1 菱形的性质与判定2 2 矩形的性质与判定.11 3 正方形的性质与判定.20 回顾与思考26 复习题26 目 录 MULU 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程.31 2 用配方法求解一元二次方程.36 3 用公式法求解一元二次方程.41 4 用因式分解法求解一元二次方程.46 5 一元二次方程的根与系数的关系.49 6 应用一元二次方程.52 回顾与思考56 复习题56 1 第三章 图形的相似 1 成比例线段.60 2 平行线分线段成比例.66 3 相似多边形.70 4 探索三角形相似的条件.73 5 相似三角形判定定理的证明.83 6 利用相似三角形测高.87 7 相似三角形的性质.90 8 图形的位似.97 回顾与思考.103 复习题.103 第四章 投影与视图 1 投影 .109 2 视图 .118 回顾与思考.128 复习题.128 第 三 章 图形的相似 色彩斑斓的世界中有许多形状相同的图形，这就是相似图形．你知道如何 刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图 形放大或缩小吗？ 本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质， 并利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 2 第五章 反比例函数 1 反比例函数.133 2 反比例函数的图象与性质.136 3 反比例函数的应用.142 回顾与思考145 复习题145 第六章 概率的进一步认识 1 用树状图或表格求概率148 2 用频率估计概率157 回顾与思考.160 复习题.160 3 综合与实践 ⊙ 制作视力表.163 综合与实践 ⊙ 猜想、证明与拓广.166 综合与实践 ⊙ 池塘里有多少条鱼.171 总复习 173 4 1 第一章 特殊平行四边形 第 一 章 特殊平行四边形 将平行四边形的边或角进行适当变化，就会得到一些特殊的平行四边形： 菱形、矩形、正方形．你知道它们有哪些特殊的性质吗？你对此有兴趣进行探 究吗？你能证明这些特殊平行四边形的相关性质吗？ 本章将对菱形、矩形、正方形进行更深入的认识，进一步丰富认识图形的 经验． 学 习 目 标 进一步获得对图形的性质进行探索、猜测和证明的 经验 获得对菱形、矩形、正方形的基本认识 能够掌握综合法的证明方法 能证明菱形、矩形、正方形的性质定理和判定定理 体会菱形、矩形、正方形与平行四边形的关系 进一步理解一般与特殊的关系 2 1 菱形的性质与判定 下面几幅图片中都含有一些平行四边形．观察这些平行四边形，你能发现 它们有什么样的共同特征？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（rhombus） ． 你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流． 想一想 （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能 列举一些这样的性质吗？ （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流． 做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么 位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 通过上面的折纸活动，我们可以 发现菱形的四条边相等，对角线互相 垂直．下面我们证明这些结论． 菱形是轴对称图形． 3 第一章 特殊平行四边形 已知：如图 1-1，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O． 求证： （1）AB = BC = CD = AD； （2）AC ⊥ BD． 证明： （1）∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等） ． 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD． （2）∵ AB = AD， ∴ △ABD 是等腰三角形． 又∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分） ． 在等腰三角形 ABD 中， ∵ OB = OD， ∴ AO⊥ BD ， 即 AC ⊥ BD ． 定理 菱形的四条边相等． 定理 菱形的对角线互相垂直． 如图 1-2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = AD（菱形的四条边相等） ， AC ⊥ BD（菱形的对角线互相垂直） ， OB = OD = 1 2 BD = 1 2 i 6 = 3（菱形的对角线 互相平分） ． 在等腰三角形 ABD 中， ∵ ∠BAD = 60°， ∴ △ABD 是等边三角形． ∴ AB = BD = 6． 例1 A B O C D 图 1-1 图 1-2 A B O C D 4 数学 九年级 上册 在 Rt △AOB 中，由勾股定理，得 OA 2 + OB 2 = AB 2， ∴ OA = AB 2 - OB 2 = 62 - 32 = 3 3． ∴ AC = 2OA = 6 3（菱形的对角线互相平分） ． 随堂练习 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O． 已知 AB = 5 cm，AO = 4 cm，求 BD 的长． 习题 1.1 知识技能 1．已知：如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD = 2 ∠B．求证：△ABC 是等边三角形． 2．如图，在菱形 ABCD 中，BD = 6，AC = 8，求菱形 ABCD 的周长． A B C D A B O C D A B O C D （第 1 题） （第 2 题）（第 3 题） 3．已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．求证：AC 平分 ∠BAD 和 ∠BCD，BD 平分 ∠ABC 和 ∠ADC． A B C D O 5 第一章 特殊平行四边形 数学理解 4． 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O， 图中有多少个等腰三角形和直角三角形？ 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认 为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流． 可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论． 已知：如图 1-3，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC ⊥ BD． 求证：□ ABCD 是菱形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC． 又∵ AC ⊥ BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线． ∴ BA = BC． ∴ 四边形 ABCD 是菱形（菱形的定义） ． 定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 议一议 已知线段 AC ，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD ，使 AC 为菱形 的一条对角线吗？ （第 4 题） A B O C D 图 1-3 A B O C D 6 数学 九年级 上册 如图 1-4，分别以 A，C 为 圆心，以大于 1 2 AC 的长为半径 作弧，两条弧分别相交于点 B， D，依次连接 A，B，C，D，四边 形 ABCD 看上去是菱形． 图 1-4 A B C D 你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流． 定理 四边相等的四边形是菱形． 请你完成这个定理的证明． 做一做 你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！ 先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚 线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形． 对折再对折沿虚线剪下 你能说说小颖这样做的道理吗？ 已知：如图 1-5，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AB = 5，OA = 2，OB = 1． 例2 7 第一章 特殊平行四边形 求证：□ ABCD 是菱形． 证明：在 △AOB中， ∵ AB = 5，OA = 2，OB = 1， ∴ AB2 = AO2 + OB2． ∴ △AOB 是直角三角形，∠ AOB 是直角． ∴ AC ⊥ BD． ∴ □ ABCD 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形） ． 随堂练习 画一个菱形，使它的两条对角线的长分别为 4 cm 和 6 cm． 习题 1.2 知识技能 1．已知：如图，在 □ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线分别与 AD，AC ，BC 相交于 点 E，O，F．求证：四边形 AFCE 是菱形． （第 1 题） A B O C DE F （第 2 题） O AB CD H G F E 2．已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E，F，G，H 分别 是 OA，OB，OC，OD 的中点．求证：四边形 EFGH 是菱形． 数学理解 3．如图，在四边形纸片 ABCD 中，AD∥BC，AD CD，将纸 片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，折 痕 DE 交 BC 于点 E，连接 C′E．你能确定四边形CDC′E 的 形状吗？证明你的结论． 图 1-5 A B O C D A B E C D C ′ （第 3 题） 8 数学 九年级 上册 如图 1-6，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角 线 BD 长 10 cm． 求： （1）对角线 AC 的长度； （2）菱形 ABCD 的面积． 解： （1）∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC 与 BD 相交 于点 E， ∴ ∠ AED = 90°（菱形的对角线互相垂直） ， DE = 1 2 BD = 1 2 i 10 = 5（cm） （菱形的对角 线互相平分） ． ∴ AE = AD 2 - DE 2 = 132 - 52 = 12（cm） ． ∴ AC = 2 AE = 2 i 12 = 24（cm） （菱形的对角线互相平分） ． （2）菱形 ABCD 的面积 = △ABD 的面积 + △CBD 的面积 = 2 i △ABD 的面积 = 2 i 1 2 i BD i AE = 2 i 1 2 i 10 i 12 = 120（cm2）. 做一做 如图 1-7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分 ABCD 是菱形 吗？为什么？ A BC D 图 1-7 例3 A B E C D 图 1-6 9 第一章 特殊平行四边形 随堂练习 1．菱形 ABCD 的周长为 40 cm，它的一条对角线长 10 cm． （1）求这个菱形的每一个内角的度数； （2）求这个菱形另一条对角线的长． 2．已知：如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB = 90°，∠ BAC = 60°， BC 的垂直平分线分别交 BC 和 AB 于点 D，E，点 F 在 DE 的 延长线上，且 AF = CE．求证：四边形 ACEF 是菱形． A B E F C D （第 2 题） 习题 1.3 知识技能 1．已知：如图，在菱形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC 上的点，且 BE = BF． 求证： （1）△ADE ≌ △CDF； （2）∠ DEF = ∠ DFE． （第 1 题） ABE F CD 2．证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 3．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC = 16，BD = 12，求菱 形 ABCD 的高 DH． （第 3 题） ABH O DC （第 4 题） A G B E H F C D 4．已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD = BC，点 E，F，G，H 分别是 AB，CD，AC， BD 的中点．求证：四边形 EGFH 是菱形． 10 数学 九年级 上册 问题解决 5．如图，你能用一张锐角三角形纸片 ABC 折出一个菱形，使 ∠A 为菱形的一个内角吗？ A B C （第 5 题） 11 2 矩形的性质与判定 下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形， 你能发现它们有什么样的共同特征？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（rectangle） ． 矩形是生活中常见的图形，你还能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴 交流． 想一想 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能 列举一些这样的性质吗？ （2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流． 通过观察，可以发现矩形的四个角都是直角，对角线相等．下面我们证明 这些结论． 已知：如图 1-8，四边形 ABCD 是矩形， ∠ ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O． 求证： （1）∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 90°； （2）AC = DB． 证明： （1）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ ABC = ∠ CDA，∠ BCD = ∠ DAB（矩形的对角相等） ， AB ∥ DC（矩形的对边平行）. A B D O C 图 1-8 12 数学 九年级 上册 ∴ ∠ ABC + ∠ BCD = 180°. 又∵ ∠ ABC = 90°， ∴ ∠ BCD = 90°． ∴ ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 90°． （2）∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC（矩形的对边相等） ． 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB， ∴ △ABC ≌ △DCB． ∴ AC = DB． 定理 矩形的四个角都是直角． 定理 矩形的对角线相等． 想一想 矩形是轴对称图形吗？如果是， 它有几条对称轴？ 议一议 如图1-9，矩形ABCD的对角线 AC与 BD 交于 点 E，那么 BE 是 Rt △ABC 中一条怎样的特殊线段？它 与 AC 有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 请你完成这个定理的证明． 矩形是轴对称图形． A B D E C 图 1-9 13 第一章 特殊平行四边形 如图1-10，在矩形 ABCD 中，两条对角线 相交于点O，∠ AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩 形对角线的长． 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AC = BD （矩形的对角线相等） ， OA = OC = 1 2 AC ，OB = OD = 1 2 BD （矩形的对角线互相平分） ． ∴ OA = OD． ∵ ∠ AOD = 120°， ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = 1 2 （180°- 120°） = 30°． 又∵ ∠ DAB = 90°（矩形的四个角都是直角） ， ∴ BD = 2 AB = 2 i 2.5 = 5． 随堂练习 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AB = 6，OA = 4．求 BD 与 AD 的长． A B D O C 习题 1.4 知识技能 1．一个矩形的对角线长为 6，对角线与一边的夹角是 45°，求这个 矩形的各边长． 2．一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长为 15，求 这个矩形较短边的长． 3．如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB = 90°，D 为 AB 的中点，AE∥CD， CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论． 例1 你还有其他解法吗？ A B D O C 图 1-10 A E D B C （第 3 题） 14 数学 九年级 上册 数学理解 4．证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 做一做 图 1-11是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四 边形的形状会发生变化． 图 1-11 αα α （1）随着 ∠ α 的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ （2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到 一个怎样的猜想？ 定理 对角线相等的平行四边形是矩形． 已知：如图 1-12，在 □ ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC = DB． 求证：□ ABCD 是矩形． 证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = DC，AB∥DC． 又∵ BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC ≌△DCB． ∴ ∠ ABC = ∠DCB． ∵ AB∥DC， ∴ ∠ABC + ∠DCB = 180°． ∴ ∠ABC = ∠DCB = 1 2 i 180°= 90°． ∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义） ． A B D C 图 1-12 15 第一章 特殊平行四边形 想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是 直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理 有三个角是直角的四边形是矩形． 议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一 根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流． 如图 1-13，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4，求 □ ABCD 的面积． 解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD． 又∵ △ ABO 是等边三角形， ∴ OA = OB = AB = 4，∠ BAC = 60°． ∴ OA = OB = OC = OD = 4． ∴ AC = BD = 2OA = 2 i 4 = 8． ∴ □ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形） ． ∴ ∠ ABC = 90°（矩形的四个角都是直角） ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AB 2 + BC 2 =AC 2， ∴ BC = AC 2 - AB 2 = 8 2 - 4 2 = 43． ∴ S □ ABCD = AB · BC = 4 i 4 3 = 163． 例2 图 1-13 A B D C O 16 数学 九年级 上册 随堂练习 已知：如图，在□ ABCD 中，M 是 AD 边的 中点，且 MB = MC． 求证：四边形 ABCD 是矩形． A B M D C 习题 1.5 知识技能 1．如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE． （1）试判断四边形 ABEC 的形状； （2）当 △ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？ A B D C E （第 1 题） A B D O MN C （第 2 题） 2．如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别交 ∠ ABM 的平分线 和 ∠ ABN 的平分线于点 C，D．试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论． 问题解决 3．如图，已知菱形 ABCD，作一个矩形，使得 A，B，C，D 四 点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形 ABCD 面积 的 2 倍． 如图 1-14，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O，AE⊥ BD ，垂足为 E，ED = 3BE．求 AE 的长． 例3 A B D C （第 3 题） 17 第一章 特殊平行四边形 解：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = DO = 1 2 BD （矩形的对角线相 等且互相平分） ， ∠ BAD = 90°（矩形的四个角都是直角） ． ∵ ED = 3BE， ∴ BE = OE． 又∵ AE⊥BD ， ∴ AB = AO． ∴ AB = AO = BO， 即 △ABO 是等边三角形． ∴ ∠ ABO = 60°． ∴ ∠ ADB = 90°- ∠ ABO = 90°- 60°= 30°． 在 Rt△AED 中， ∵ ∠ ADE = 30°， ∴ AE = 1 2 AD = 1 2 i 6 = 3． 如图 1-15，在 △ABC 中，AB = AC，AD 是 △ABC 的一条角平分线，AN 为 △ABC 的外角 ∠ CAM 的平 分线，CE⊥AN，垂足为 E．求证：四边形 ADCE 是矩形． 证明：∵ AD 平分 ∠ BAC ，AN 平分 ∠ CAM， ∴ ∠ CAD = 1 2 ∠ BAC ，∠ CAN = 1 2 ∠ CAM． ∴ ∠ DAE = ∠ CAD + ∠ CAN = 1 2 （∠ BAC + ∠ CAM） = 1 2 i 180° = 90°． 在△ABC 中， 例4 A B M E D C N 图 1-15 E 图 1-14 A B D C O 18 数学 九年级 上册 ∵ AB = AC ，AD 为 ∠BAC 的平分线， ∴ AD⊥BC． ∴ ∠ ADC = 90°． 又∵ CE⊥AN， ∴ ∠ CEA = 90°． ∴ 四边形 ADCE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） ． 想一想 在例 4 中，连接 DE，交 AC 于点 F（如图 1-16） ． （1）试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论． （2）线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论． 随堂练习 已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角 形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点． 求证：四边形 BMDN 是矩形． A B M D C N 习题 1.6 知识技能 1．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ ACB = 30°，BD = 4，求 矩形 ABCD 的面积． F A B M E D C N 图 1-16 19 第一章 特殊平行四边形 A B D C O （第 1 题） （第 2 题） A B D C O E 2． 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 BD 的垂线，垂足为E． 已知 ∠ EAD = 3 ∠ BAE，求 ∠ EAO 的度数． 3．已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形． 求证：四边形 ADCE 是矩形． AB D C E （第 3 题） 问题解决 4． 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm， BC = 8 cm，将矩形纸片折叠，使点 C 与 点 A 重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长． 联系拓广 5．如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 4， P 是 AD 上不与 A 和 D 重合的一个动点，过 点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 E，F． 求 PE + PF 的值． ※ （第 5 题） A B D P O C F E （第 4 题） A B D C 20 3 正方形的性质与判定 图 1-17 中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形， 你能发现它们有什么样的共同特征？ 2 2 2.5 2.5 3 3 图 1-17 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（square） ． 议一议 （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流． 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质． 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等． 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分． 请你完成这两个定理的证明． 想一想 正方形有几条对称轴？ 21 第一章 特殊平行四边形 如图 1-18，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线 上一点，且 CE = CF．BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由． 解：BE = DF，且 BE⊥DF．理由如下： （1）∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC = DC，∠ BCE = 90°（正方形的四条边相等，四个角都是直角） ． ∴ ∠ DCF = 180°- ∠ BCE = 180°- 90°= 90°． ∴ ∠ BCE = ∠ DCF． 又∵ CE = CF， ∴ △BCE ≌ △DCF． ∴ BE = DF． （2）延长 BE 交 DF 于点 M（如图 1-19） ． ∵ △BCE ≌ △DCF， ∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°， ∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°． ∴ BE⊥DF． 议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地 表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 随堂练习 1． 如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，图中有多少个等腰三角形？ A B D O C （第 1 题） AB C D F （第 2 题） 2． 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF，DF．你能找出 图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明． 例1 A B C D F E 图 1-18 A B C D M F E 图 1-19 22 数学 九年级 上册 习题 1.7 知识技能 1．对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？ 2．如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形，求 ∠ AEB 的度数． 数学理解 3．如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个 角上．仓库 P 和 Q 分别位于AD 和 DC上，且 PD = QC．证 明两条直路 BP = AQ 且 BP ⊥ AQ． 问题解决 4．在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条 直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路 的宽度） ．你有几种方法？ （至少说出三种） 如图 1-20，将一张长方形纸对折两次，然后剪下 一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？ 议一议 满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的 菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流． 定理 对角线相等的菱形是正方形． 定理 对角线垂直的矩形是正方形． 定理 有一个角是直角的菱形是正方形． ※ 图1-20 A B C D P Q （第 3 题） A BC D E （第 2 题） 23 第一章 特殊平行四边形 如图 1-21，在矩形 ABCD 中，BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB， BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形 BECF 是正方形． 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ ABC = 90°，∠ DCB = 90°． 又∵ BE 平分 ∠ ABC，CE 平分 ∠ DCB， ∴ ∠ EBC = 1 2 ∠ ABC = 45°，∠ ECB = 1 2 ∠ DCB = 45°． ∴ ∠ EBC = ∠ ECB． ∴ EB = EC． ∴ □ BECF是菱形（菱形的定义） ． 在 △EBC 中， ∵ ∠ EBC = 45°，∠ ECB = 45°， ∴ ∠ BEC = 90°． ∴ 菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形） ． 做一做 我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为 顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正 方形（如图1-22） ，以四边的中点为顶点可以组成一 个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明． 议一议 （1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜， 再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？ （2）以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关 系？有怎样的关系？ 例2 A A1 B B1 C C1 D D1 图 1-22 图 1-21 A B C D F E 24 数学 九年级 上册 随堂练习 证明： （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线垂直的矩形是正方形． 读一读 四边形的对称性 我们知道，一般的四边形既不一定是轴对称图形，也不一定是中心对 称图形；平行四边形都是中心对称图形，却不一定是轴对称图形；所有的 菱形和矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，而且它们至少都有两条 对称轴. 请你想一想、画一画，什么情况下菱形和矩形只有两条对称轴？ 什么情况下它们有两条以上的对称轴？ 通过想象或实际画图，可以发现，当菱形有一个角为直角时，它的对 称轴的数量就增加了；当矩形有一组邻边相等时，它的对称轴的数量也 增加了. 换句话说，当菱形或矩形成为正方形时，它的对称轴就不止两条 了. 由此我们看到，当图形从一般情况向特殊情况变化时，它的对称性也 随之发生了变化. 图1-23 此外，我们还知道，如果把一个图形绕着某一点旋转一定角度（小于 360°）后，能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形. 请 你想一想、试一试，平行四边形是旋转对称图形吗？菱形呢？矩形呢？正 方形呢？ 25 第一章 特殊平行四边形 实际上，一般的平行四边形、菱形和矩形都是以180°为最小旋转角的 旋转对称图形，而正方形则是以90°为最小旋转角的旋转对称图形，它们 的对称中心都是对角线的交点. 习题 1.8 知识技能 1．证明：对角线相等的菱形是正方形． 2．已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点， 且 BE = DF． 求证：四边形 AECF 是菱形． 数学理解 3．如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上， 且 AE = BF = CG = DH．四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你 是如何判断的？ 4．判定一个四边形是正方形，你有哪些方法？ 联系拓广 5．如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 A' B' C' O 与正 方形 ABCD 的边长相等．在正方形 A' B' C' O 绕点 O 旋转的过程 中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么 关系？请证明你的结论． A B CD F E （第 2 题） （第 3 题） A B D E G C F H （第 5 题） A A' B' B O C C' D 26 数学 九年级 上册 回顾与思考 1．说说平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系，它们各有哪些性质？ 2．在菱形、矩形、正方形中，哪些图形是轴对称图形？哪些图形是中心对称图形？ 3．分别说说判定一个四边形是菱形、矩形、正方形的条件． 4．梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流． 复习题 知识技能 1．一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求它的边长． 2．如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O, 且 OA = OB = OC = OD = 2 2 AB，则四边形 ABCD 是正方 形吗？ 3．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称 轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？ 4．一个菱形的周长是 200 cm，一条对角线长 60 cm，求： （1）另一条对角线的长度； （2）菱形的面积． 5．证明：如果四边形两条对角线垂直且相等，那么以它的四 边中点为顶点可组成一个正方形． 6．如图，四边形 ABCD 是一个正方形，E 是 BC 延长线上 一点，且 AC = EC，求 ∠ DAE 的度数． 7． （1） 如果一个菱形绕对角线的交点旋转90°后，所得 图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形 吗？为什么？ （2） 如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么 这个四边形是正方形吗？为什么？ A B D O C （第 2 题） A B D E C （第 6 题） 27 第一章 特殊平行四边形 8． 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 分别 作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F．求证： 四边形 AEDF 是菱形． 9． 已知：△ABC 的两条高分别为 BE，CF，点 M 为 BC 的中点． 求证：ME = MF． 10． 已知正方形的对角线的长为l，求这个正方形的周长和面积． 11． 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于 点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两 线相交于点 P．求证：四边形 CODP 是菱形． （第 11 题） A DC B P O A B D C O Q N M P （第 12 题） 12． 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 M，P，N，Q 分 别在 AO，BO，CO，DO 上，且AM = BP = CN = DQ．求证：四边形 MPNQ 是矩形． 13． 已知：如图，在 Rt △ABC 中，∠ ACB = 90°，CD 是△ABC 的角平分线，DE⊥BC， DF⊥ AC ，垂足分别为 E，F．求证：四边形 CEDF 是正方形． （第 13 题） A B D E F C （第 14 题） AB D Q P C 14． 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm，BC = 4 cm．动点 P 从点 A 开始沿 AB 边 以 4 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度运动．点 P 和 点 Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． 设动点的运动时间为 t s，则当 t 为何值时，四边形 APQD 是矩形？ ※ A B D E F C （第 8 题） 28 数学 九年级 上册 数学理解 15．如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形？试说明理由． A B D C A B F E D C （第 15 题） 16