华东师大版九年级九年级下册《数学》电子课本教材（全册pdf电子书）-免费下载.pdf

书 书 书 义务教育教科书 数学 九年级?下册 主??编?王建磐 责任编辑?平?萍 装帧设计?卢晓红 出??版?华东师范大学出版社 社??址?上海市中山北路? ? ? ?号?邮编? ? ? ? ? ? 网??址?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? 电??话?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?传真? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 客服电话?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 印 刷 者????????????? 开??本?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?开 印??张?? ? ? ? 字??数?? ? ?千字 版??次?? ? ? ?年?月第一版 印??次?? ? ? ?年?月第一次 书??号?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 定??价????元 出 版 人?朱杰人 ?如发现本版图书有印订质量问题?请寄回本社客服中心调换或电话? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?联系? 致亲爱的同学 亲爱的小伙伴?欢迎你? 你现在拿在手中的是依据?国家中长期教育改革和发展规划纲要??????????年??与国 家?义务教育数学课程标准?????年版???为你们提供的初中阶段六册数学教科书中的第 六本? 这是你初中阶段学习的最后一本数学教科书?它与你学过的前五本数学教科书一样?从你 所熟悉的情境入手?呈现一些最基本的?丰富多彩的数学内容?并穿插一些阅读材料?设置一些 让你思考?实践与自主探索的栏目?不同层次的习题?应用性?探索性和开放性的各种形式的问 题及综合与实践等?都为你提供了充分展示你聪明才智与数学能力的机会? 现在?请你翻开这本书?与我们一起继续漫游这奇妙的数学世界?去探索发现更多?更具魅 力的数学奥秘? 给你一定的材料?怎样设计一个矩形花圃?使它的面积最大?一个物体从空中下落时?它 的速度会越来越快?你知道它下落的距离是如何随着时间的变化而变化的吗?这些问题都可 以在?二次函数?中得到解决?在这里?你将尝试解决许多这样的问题?你会发现你的能力又变 强了?你将成为解决问题的能手? ?圆?是一切平面图形中最完美?最谐调匀称的图形?你瞧?从各个方向看?它都是对称的? 无论处于哪个位置?它都具有相同的形状?古今中外的许多建筑?装饰品等都有圆形的痕迹?进 入圆的世界?去感受它的魅力吧? 我们已经学习了许多统计与概率的知识?那么如何既有效又简洁地对某些问题做出有意 义的判断与决策呢? ?样本与总体?将告诉你如何使用科学的抽样调查方法?利用收集到的数 据?进行数据分析?对总体的特征作出较为可靠的估计?这是你今后可能会经常用到的一种通 过样本估计总体的方法?它会为你有效地作出某些决策提供帮助?怎么样?亲自试试看? 我们相信?初中这三年?通过在丰富多彩的数学世界里漫游与探索?你一定结识了许多好 朋友?你的聪明才智与数学能力也一定有了充分的长进? 无论你走到哪里?数学世界将一如既往地欢迎你?为你打开更多神秘的大门?带你探索更 多的数学奥秘? 编者 目?录 第? ?章?二次函数 ? ? ? ? ?二次函数? ? ? ? ? ? ?二次函数的图象与性质? ? ? ?二次函数???? ? 的图象与性质? ? ? ?二次函数???? ? ?? ???的图象与性质? ? ? ?求二次函数的表达式? ? ? 阅读材料?生活中的抛物线? ? ? ? ? ? ? ?实践与探索? ? ? 小结? ? ? 复习题? ? ? 第? ?章?圆 ? ? ? ? ?圆的认识? ? ? ? ?圆的基本元素? ? ? ? ?圆的对称性? ? ? ? ?圆周角? ? ? ? ? ? ? ?与圆有关的位置关系? ? ? ? ?点与圆的位置关系? ? ? ? ?直线与圆的位置关系? ? ? ? ?切线? ? ? 阅读材料?圆与圆的位置关系? ? ? ? ? ? ? ?圆中的计算问题? ? ? 阅读材料?古希腊人对大地的测量? ? ? ? ? ? ? ?正多边形和圆? ? ? 阅读材料?圆周率?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? 小结? ? ? 复习题? ? ? 综合与实践?硬币滚动中的数学? ? ? 第? ?章?样本与总体 ? ? ? ? ?抽样调查的意义? ? ? ? ?普查和抽样调查? ? ? ? ?这样选择样本合适吗? ? ? 阅读材料?空气污染指数?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?用样本估计总体? ? ? ? ?简单随机抽样? ? ? ? ?简单随机抽样调查可靠吗? ? ? 阅读材料?漫谈收视率? ? ? ? ? ? ? ?借助调查做决策? ? ? ? ?借助调查做决策? ? ? ? ?容易误导读者的统计图? ? ? 小结? ? ? ? 复习题? ? ? ? 综合与实践?改进我们的课桌椅? ? ? ? 数学实验附图 方格图? ? ? ? 格点图? ? ? ? 书 书 书 ????? ?第? ?章?二次函数 26.1 ?二次函数 问题? ?本章导图中的问题?用总长为?? ?的围栏材料? 一面靠墙?围成一个矩形花圃?怎样围才能使花圃的面积 最大? 我们先列举一些不同的围法?观察矩形花圃的面积 是怎样变化的?如图??? ?? ??设围成的矩形花圃为 ? ? ? ? ?靠墙的一边为? ? ?垂直于墙面的两边分别为? ? 和? ? ?给出矩形一边? ?长的一些值?? ?? ??????可 以求出? ?的长?从而可得矩形的面积?试将计算结果填 入下表的空白处? ? ?的长?? ?????????? ? ?的长?? ??? 面积?? ?? ?? ??从所填的表格中?你能发现什么?能作出怎样的 猜想? ? 分析我们看到?对于一边? ?长的每一个确定值 ?? ?? ??????矩形的面积有唯一确定的值与它对应? 也就是说?面积是一边? ?长的函数?问题就归结为?当 变量? ?的长取何值时?矩形面积的值最大?为此?我们 先求出这个函数关系式? 设? ?的长为?? ?矩形的面积为?? ???是 ?的函 数?试写出这个函数关系式? 图? ? ? ? ? ? 第? ?章?二次函数?????? ??????????????????????????? ? ? ? ? ??????????????????????????? ???? ? 问题? 某商店将每件进价为?元的某种商品按每件??元 出售?一天可售出???件?该店想通过降低售价?增加销 售量的办法来提高利润?经过市场调查?发现这种商品单 价每降低?? ?元?其销售量可增加??件?将这种商品的 售价降低多少时?其每天的销售利润最大? ? 分析在这个问题中?销售商品的利润与其降价的 数量有关?设每件商品降价?元?? ? ? ????销售该商 品每天的利润为?元?则?是?的函数?问题就归结为? 当?为何值时?函数取得最大值?为此?我们先求出这个 函数关系式? 试写出这个函数关系式? ??????????????????????????? ? ? ? ? ??????????????????????????? ???? ? 由上面两个问题的分析?我们可以得到? 问题?中的函数关系式为 ??? ??? ??? ?? ?? ??????? 即????? ? ???? ? ?? ??????? 问题?中的函数关系式为 ?????? ????????? ????? ?? ?? ? ? ? ??? 即??????? ? ???????????? ? ? ? ??? 探索 观察所得的两个函数关系式?它们有什么共同特点? ??销售利润??售 价?进价? ?销售量? ??为什么要限定 ? ? ? ? ?? ????? ?第? ?章?二次函数 概括 形如???? ? ?? ??? ??? ? ? ?是常数?? ???的函 数叫做二次函数???? ?? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??? 练?习 ??已知直角三角形两条直角边的长的和为?? ? ? ? ???当它的一条直角边的长为?? ? ? ?时?求这个直角三角形的面积? ???设这个直角三角形的一条直角边的长为? ? ? ?面积为? ? ? ??求 ?与?之间的 函数关系式? ??已知正方体的棱长为? ? ? ?表面积为? ? ? ??体积为 ?? ? ?? ???分别写出?与? ? ?与?之间的函数关系式? ???这两个函数中?哪一个是?的二次函数? ??习题? ? ? ? ?第?题? ??设圆柱的高为? ? ? ?底面半径为? ? ? ?底面周长为?? ? ?体积为?? ? ?? ???分别写出?与? ? ?与? ? ?与?之间的函数关系式? ???这三个函数中?哪些是二次函数? ??正方形的边长为??当边长增加?时?面积增加? ?求?与?之间的函数关系式?这 个函数是二次函数吗? ??已知二次函数???? ? ?? ?当???时?????当????时??????求?? ? 的值? ??一条隧道的截面如图所示?它的上部是一个半圆? 下部是一个矩形?矩形的一边长为?? ? ??求? ???隧道截面的面积??? ??与上部半圆的半径 ? ?? ?之间的函数关系式? ???当上部半圆的半径为? ?时的截面面积?精 确到?? ? ? ??? 第? ?章?二次函数?????? 26.2 ?二次函数的图象与性质 回顾 上一节所提出的两个问题?都归结为有关二次函数 的问题?为了解决这类问题?需要研究二次函数的性质? 在研究一次函数时?曾借助图象了解了一次函数的 性质?对二次函数的研究?我们也从图象入手? ????二次函数? ? ???的图象与性质 我们知道?一次函数的图象是一条直线?那么?二次 函数的图象是什么?它有什么特点?反映了二次函数的 哪些性质? 让我们先来研究最简单的二次函数???? ? 的图象 与性质? ? 例?画出二次函数??? ? 的图象? ? 解列表? ??? ?? ?? ?????? ?????????? 图? ? ? ? ? ? ??在平面直角坐标系中描点?然 后用光滑的曲线顺次连结各点?得 到函数??? ? 的图象?如图??? ?? ? 所示? 这样的曲线通常叫做抛物线 ??? ? ? ?? ? ? ??它是轴对称图形??轴是 它的对称轴?抛物线与它的对称轴 的交点叫做抛物线的顶点?? ? ? ? ? ? ?? ??这个函数的 图象有什么特点? ????? ?第? ?章?二次函数 ???在同一个平面直角坐标系中?画出函数??? ? 与???? ? 的 图象?观察并比较这两个函数的图象?它们有什么共同点?又有什么 区别? ???在同一个平面直角坐标系中?画出函数? ? ?? ? 与? ?? ?? ? 的图 象?观察并比较这两个函数的图象?你能发现什么? ???将所画的四个函数的图象作比较?你又能发现什么? 概括 函数???? ??? ? ?? 的图象是一条抛物线?它关于 ?轴对称?顶点坐标是??? ??? 观察? ? ? ? 与? ? ?? ? 的图象?可以看出? 若? ???抛物线???? ? 开口向上?在对称轴的左 边?曲线自左向右下降?在对称轴的右边?曲线自左向右 上升?顶点是抛物线上位置最低的点? 图象的这些特点表明?函数???? ??? ??? 具有这 样的性质?当???时?函数值?随?的增大而减小?当?? ?时?函数值?随?的增大而增大?当???时?函数?? ?? ? 取得最小值?最小值???? 思考 观察函数? ?? ? ? 与? ?? ?? ? 的图象?试作出类似 的概括?即思考?若? ? ??抛物线? ? ?? ? 有什么特点?它 反映了函数? ? ?? ??? ? ??具有哪些性质? 将你思考的结果填在下面方框内?并与同伴交流? ??图象的这些 特点反映了函数 的什么性质? 第? ?章?二次函数?????? ??????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????? ??????????????? ? 练?习 ??画出下列函数的图象? ??? ???? ?? ?????????????? ???? ? ? ?? ??根据上题所画的函数图象填空? ???抛物线? ? ?? ? 的对称轴是?????顶点坐标是?????当? ????时? 抛物线上的点都在?轴的上方? ???抛物线? ??? ? ? ? 的开口向?????除顶点外?抛物线上的点都在?轴的 ????方?它的顶点是抛物线上的最????点? ??不画图象?说出抛物线? ?? ?? ? 和? ?? ? ? ? 的对称轴?顶点坐标和开口方向? ??设圆的半径为? ?面积为?? ???试写出?与?之间的函数关系式? ???画出这个函数的图象? ????二次函数? ? ???? ?? ? ?的图象与性质 我们已经研究了二次函数???? ??????的图象和 性质?现在我们来研究一般的问题? ????? ?第? ?章?二次函数 问题? 试研究二次函数?? ? ? ? ? ?????的图象? ? 分析将函数关系式配方?得 ?? ? ? ????????? 我们设法寻求它与函数??? ? ? ?的联系?为此?先看 几个简单的例子? ? 例?在同一个平面直角坐标系中?画出函数?? ? ? ? ? 与?? ? ? ? ? ??的图象? ? 解列表? ??? ?? ?? ?????? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??描点?连线?画出这两个函数的图象?如图??? ?? ?所示? 图? ? ? ? ? ? ??这个二次函数的 关系式比???? ? 复 杂些?它与?? ? ? ? ? 之间有什么联系吗? 第? ?章?二次函数?????? 探索 当自变量?取同一数值时?这两个函数的函数值之 间有什么关系?反映在图象上?相应的两个点之间的位 置又有什么关系? 观察这两个函数的图象?分别说出它们的开口方向? 对称轴和顶点坐标?它们有哪些是相同的?又有哪些 不同? 概括 当自变量?取同一数值时?函数??? ? ? ? ? ?的值都 比函数?? ? ? ? ? 的值大??反映在图象上?函数?? ? ? ? ? ??的图象上的每一点都在函数?? ? ? ? ? 的图象上 相应点的上方一个单位? 函数??? ? ? ? ? ?的图象可以看成是将函数??? ? ? ? 的图象向上平移一个单位得到的?这两个函数图象的开 口方向相同?对称轴相同?但顶点坐标不同?函数?? ? ? ? ? ??的图象的顶点坐标是??? ??? 据此?可以由函数??? ? ? ? 的性质?得到函数?? ? ? ? ? ? ?的一些性质? 当? ????时?函数值?随?的增大而减小?当 ? ?? ? ?时?函数值?随?的增大而增大?当? ????时?函数取得最????值?最????值 ? ?????? ??请思考?并完 成填空? ? ???? ?第? ?章?二次函数 先在同一个平面直角坐标系中画出函数??? ? ? ? ? ?与函数??? ? ? ? 的图象?再作比较?指出它们的联系和区别?函数??? ? ? ? ? ?的图象可以 看成是由函数?? ? ? ? ? 的图象经过怎样的平移得到的?试说出它的开口 方向?对称轴和顶点坐标?并讨论这个函数的性质? 思考 在同一个平面直角坐标系中?函数? ??? ? ? ? ? ?的 图象与函数? ??? ? ? ? 的图象有什么关系?你能说出函 数? ??? ? ? ? ? ?的图象的开口方向?对称轴和顶点坐标 吗?这个函数有哪些性质? 练?习 ??已知函数???? ? ? ? 和???? ? ? ? ??? ???在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象? ???说出各个图象的开口方向?对称轴和顶点坐标? ??试说明?通过怎样的平移?可以由抛物线? ??? ? ? ? 得到抛物线? ??? ? ? ? ? ??如 果要得到抛物线? ??? ? ? ? ? ??应将抛物线? ??? ? ? ? 作怎样的平移?试说出函 数? ??? ? ? ? ? ?的图象的开口方向?对称轴和顶点坐标? 第? ?章?二次函数?? ???? ??试说出函数? ? ?? ? ? ???? ?是常数?????的图象的开口方向?对称轴和顶点坐 标?并填写下表? ???? ? ?? 开口方向对称轴顶点坐标 ? ?? ? ?? ???例?在如图??? ?? ?所示的平面直角坐标系中? 画出函数?? ? ? ? ? 和?? ? ? ??????的图象? ? 解列表? ??? ? ? ? ? ? ??????? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ???????? ??描点?连线?画出这两个函数的图象? 图? ? ? ? ? ? ??请你在如图 ??? ?? ?所示的平 面直角坐标系中 画出这两个函数 的图象? ? ???? ?第? ?章?二次函数 探索 根据所画出的图象?说出这两个函数的图象的开口 方向?对称轴和顶点坐标?并填写下表? 开口方向对称轴顶点坐标 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ??这两个函数的图象之间有什么关系? 概括 函数?? ? ? ??????与??? ? ? ? 的图象的开口方向 相同?但对称轴和顶点坐标不同? 函数?? ? ? ??????的图象可以看作是将函数?? ? ? ? ? 的图象向右平移?个单位得到的?它的对称轴是直 线????顶点坐标是??? ??? 据此?可以由函数?? ? ? ? ? 的性质?得到函数?? ? ? ??????的性质? 当? ????时?函数值?随?的增大而减小?当? ????时?函数值?随?的增大而增大?当? ???? 时?函数取得最? ? ? ?值?最? ? ? ?值?? ????? ??它们有哪些 相同点?有哪些 不同点? ??请思考?并完成 填空? 第? ?章?二次函数?? ???? 在同一个平面直角坐标系中画出函数??? ? ?? ? ???与函数??? ? ? ? 的图象?比较它们的联系和区别?说出函数?? ? ? ??????的图象可以看 成是由函数?? ? ? ? ? 的图象经过怎样的平移得到的? 由此讨论函数?? ? ? ??????的性质? 思考 在同一个平面直角坐标系中?函数? ??? ? ?? ? ??? 的图象与函数? ??? ? ? ? 的图象有什么关系?试说出函 数? ??? ? ?? ? ???的图象的开口方向?对称轴和顶点坐 标?并讨论这个函数的性质? 练?习 ??已知函数?? ? ? ? ?? ??? ? ??????和?? ? ? ??????? ???在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象? ???说出各个函数图象的开口方向?对称轴和顶点坐标? ???讨论各个函数的性质? ??试说明?分别通过怎样的平移?可以由抛物线?? ? ? ? ?得到抛物线??? ? ?? ? ??? 和?? ? ? ??????? ? ???? ?第? ?章?二次函数 ??试说出函数? ? ??? ? ?????? ?是常数?????的图象的开口方向?对称轴和顶点 坐标?并填写下表? ????????? 开口方向对称轴顶点坐标 ? ?? ? ?? 在本节例?及例?的基础上?我们再来研究第?页 的问题??即研究函数? ?? ? ?? ? ???? ?的图象和性质? ? 分析我们已经知道函数??? ? ?? ? ???的图象与 函数?? ? ? ? ? 的图象之间的关系?也容易知道函数?? ? ? ??? ???? ?的图象与函数??? ? ?? ? ???的图象之间 的关系? 由此可以得到函数? ?? ? ?? ? ???? ?的图象与函数 ? ?? ? ? ? 的图象之间的关系? ???填写下表? ?? ?? ? ? ? ? 的图象 向右平移 ? ?? ? ? ? 个单位 ?? ? ? ?????? 的图象 向??平移 ? ?? ? ? ? ? 个单位 ?? ? ? ???????? 的图象 开口方向向上 对称轴?轴 顶点??? ?? ??回顾本节例 ??你能发现它们 之间的关系吗? 第? ?章?二次函数?? ???? ?????从上表中?你能找到函数??? ? ?? ? ???? ?的 图象与函数?? ? ? ? ? 的图象之间的关系吗?在图??? ?? ? 中?画出函数?? ? ? ????????的图象? ???进一步?你能发现函数??? ? ?? ? ???? ?有哪 些性质? ??????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????? ???????????????? ? ???在图??? ?? ?中?再画出函数??? ? ??? ???? ?的图象?并将它 与函数?? ? ? ??????的图象作比较? ???试说出函数???? ? ????????的图象与函数???? ? ? ? 的图 象之间的关系?由此进一步说明函数???? ? ?? ? ???? ?的图象的开口方 向?对称轴和顶点坐标? ??将你的发现 填在方框内?并与 同伴交流? ? ???? ?第? ?章?二次函数 练?习 ??已知函数?? ? ? ? ?? ??? ? ????????和?? ? ? ????????? ???在同一个平面直角坐标系中画出这三个函数的图象? ???分别说出这三个函数的图象的开口方向?对称轴和顶点坐标? ???试讨论函数? ?? ? ?? ? ???? ?的性质? ??试说明?分别通过怎样的平移?可以由抛物线? ?? ? ? ? 得到抛物线? ?? ? ?? ? ???? ? 和抛物线? ?? ? ?? ? ???? ??如果要得到抛物线? ?? ? ?? ? ???? ??那么应该将 抛物线? ?? ? ? ? 作怎样的平移? ??试说出函数? ? ??? ? ???? ???? ?? ?是常数?????的图象的开口方向?对称轴 和顶点坐标?并填写下表? ??????????? 开口方向对称轴顶点坐标 ? ?? ? ?? ??不画出图象?直接说出函数? ?? ?? ? ? ?? ? ?的图象的开口方向?对称轴和顶点坐标? ?提示?将??? ? ?????配方?把函数关系式化为???????????的形式? ? 例?画出函数???? ? ? ? ?? ?? ? 的图象?并说明 这个函数具有哪些性质? ? 分析因为?? ? ? ? ???? ? ??? ? ????????? 所以函数即为 ???? ? ????????? 因此这个函数的图象开口向下?对称轴为直线????顶 点坐标为??? ???? 根据这些特点?我们容易画出它的图象? ??先配方?将 函数关系式化为 ? ? ??? ?????? 的形式? 第? ?章?二次函数?? ???? ???解列表? ??? ?? ??????? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??画出的图象如图??? ?? ?所示? 图? ? ? ? ? ? 由图象可知?这个函数具有如下性质? 当???时?函数值?随?的增大而增大?当???时? 函数值?随?的增大而减小?当???时?函数取得最大 值?最大值????? ???试按照上面的方法?画出函数? ?? ? ? ? ? ?? ? ??的图象?由图象 你能发现这个函数具有哪些性质? ???通过配方?说出函数? ?? ?? ? ? ?? ? ?的图象的开口方向?对称 轴和顶点坐标?这个函数有最大值还是最小值?这个值是什么? ? ???? ?第? ?章?二次函数 思考 对于任意一个二次函数???? ? ? ? ? ? ? ??????如 何确定它的图象的开口方向?对称轴和顶点坐标?你能 把结果写出来吗? ??????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ??????????????????????????? ??????? ? 练?习 ??说出下列抛物线的开口方向?对称轴和顶点坐标? ??? ???????????? ?????????? ????????????? ??? ?? ? ? ???????????? ???? ? ????????? ?? ??通过配方?写出下列抛物线的开口方向?对称轴和顶点坐标? ??? ???? ? ??? ???? ????? ? ??? ? ??? ????? ? ????????? ?? ? ? ? ? ?????? ??先确定下列抛物线的开口方向?对称轴和顶点坐标?再描点画出图象? ??? ???????????????? ? ?? ? ?? ? ???? ?? ??? ???? ? ? ? ????????? ??? ? ?????? 应用 现在让我们应用二次函数的有关知识去解决本章 第?节中提出的两个问题? ??回顾本节例? 的研究过程?从中 可得到什么启示? 第? ?章?二次函数?? ???? 问题??实际上是需要求出自变量?为何值时?二 次函数 ????? ? ???? ??? ?????? 取得最大值? 将这个函数关系式配方?得 ?????????????? 显然?这个函数的图象开口向下?顶点坐标是 ??? ????这就是说?当???时?函数取得最大值?最大 值????? 这时? ? ????? ?? ? ???? ???????? ?? 因此?当围成的花圃与墙垂直的一边长? ? ?与墙平 行的一边长?? ?时?花圃的面积最大?最大面积为 ?? ? ?? 问题??实际上是需要求出自变量?为何值时?二 次函数 ??????? ? ???????????? ? ? ? ?? 取得最大值? 请同学们自己完成这个问题的解答? ? 例?用长为? ?的铝合金型材做一个形状如图 ??? ?? ?所示的矩形窗框?窗框的长?宽各为多少时?它的 透光面积最大?最大透光面积是多少? ?铝合金型材宽 度不计? ? 解设矩形窗框的宽为? ? ?则长为? ??? ? ? ?这 里应有????且? ??? ? ???故? ????? 矩形窗框的透光面积?与?之间的函数关系式是 ??? ?? ??? ? ? 即???? ? ? ? ??? ? ??试从函数表 达式来说明?当 ???时?函数取 得最大值的道理? 图? ? ? ? ? ? ? ???? ?第? ?章?二次函数 配方得???? ? ???????? ? ? 所以当???时?函数取得最大值?最大值???? ?? ???满足? ?????这时 ? ??? ? ??? ?? 因此?所做矩形窗框的宽为? ? ?长为?? ? ?时?它 的透光面积最大?最大面积是?? ? ? ?? ???如图??? ?? ??要搭建一个矩形的自行车棚?一 边靠墙?另外三边围栏材料的总长为??米?怎样围才能 使车棚的面积最大? ???在???中?如果可利用的墙壁长为??米?怎样 围才能使车棚的面积最大? 题???与题???的解答完全相同吗?试比较并作出 正确的解答?和同学交流? 练?习 ??求下列函数的最大值或最小值? ??? ??? ? ?????? ???????????? ??? ????? ?? ??? ???? ? ??槡???? ? ???? ????? ??? ?? ??? ????? ? ???? ???? ???? ? ? ? ?????? ??有一根长为?? ? ?的铁丝?把它弯成一个矩形框?当矩形框的长?宽各是多少时? 矩形的面积最大?最大面积是多少? ??已知两个正数的和是???它们的积最大是多少? ?提示?设其中的一个正数为? ? 将它们的积表示为?的函数? ??先分析问 题中的数量关系? 列出函数关系式? 再研究所得的函 数?解决问题? ?图? ? ? ? ? ? 第? ?章?二次函数?? ???? ????求二次函数的表达式 问题? 如图?某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形 ?曲线? ? ? ?的薄壳屋顶?它的拱宽? ?为? ? ?拱高? ? 为?? ? ? ?施工前要先制造建筑模板?怎样画出模板的轮 廓线呢? ? 分析为了画出符合要求的模板?通常要先建立适 当的平面直角坐标系?再写出函数表达式?然后根据这个 函数表达式画出图形? 如图??? ?? ??以点?为原点?以? ?的垂直平分 线为?轴?以?为单位?建立平面直角坐标系?这时? 屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点?对称轴是? 轴?开口向下?所以可设抛物线对应的二次函数表达 式为 ???? ??? ???? ??? 因为? ?与?轴相交于点? ?所以? ??? ? ? ?? ? ?又 因为? ???? ? ? ?所以点?的坐标为??? ??? ??? 因为点?在抛物线上?将它的坐标代入????得 ??? ? ?? ???? 所以? ???? ?? 因此?函数表达式是????? ?? ?? 根据这个函数表达式?容易画出模板的轮廓线? 在解决一些实际问题时?往往需要根据某些条件求 出函数表达式? 图? ? ? ? ? ? ??请你自己画 一画? ? ???? ?第? ?章?二次函数 ???例?一个二次函数的图象经过点??? ???它的顶 点坐标为??? ???求这个二次函数的表达式? ? 分析因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 ??? ???因此?可以设函数表达式为 ???????????? 根据它的图象经过点??? ???容易确定?的值? ? 例?一个二次函数的图象经过??? ??? ??? ??? ??? ???三点?求这个二次函数的表达式? ? 解设所求二次函数的表达式为? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 由这个函数的图象经过点??? ???可得? ? ??又由于其 图象经过??? ??? ??? ???两点?可得 ?? ????? ??? ?? ????? ??? { ? 解这个方程组?得 ? ? ? ? ? ???? ? ? 因此?所求二次函数的表达式为??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 待定系数法 根据一定的条件求某些函数的表达式?常运用待定系数法?回顾 一下本节的问题?和例??例?以及八年级下学期第??章相关例题的 分析和解答?我们是怎样做的呢? 用待定系数法求函数表达式?通常分三步? 第一步?根据已知函数的特征?种类??写出适当的形式?其中含 有待定系数?例如? ??图象顶点坐 标为??? ? ?的二 次函数表达式有 怎样的形式? ??请完成本例 的解答? 第? ?章?二次函数?? ???? ?如果要求一次函数的表达式?通常设其形式为??? ? ? ? ?? ? ???其中? ? ?是待定系数? ?如果要求反比例函数的表达式?通常设其形式为?? ? ??? ? ???其中?是待定系数? ?如果要求二次函数的表达式?通常设其形式为???? ? ?? ??? ?? ????其中?? ? ? ?是待定系数? ?如果要求二次函数的表达式?并且还知道其图象的顶点坐标 为??? ? ??通常设其形式为????? ??? ? ?? ??????其中? 是待定系数? 第二步?根据其他已知条件?求出待定系数的值?例如已知函数 的一对或几对对应值?或函数的图象过某一个或几个已知点??可以 将对应值?或图象上点的坐标?代入设定的形式?得到关于待定系数 的方程或方程组?解之便可得到待定系数的值? 第三步?将求得的待定系数的值?代入设定的形式?便得所求的 函数表达式? 待定系数法是一种重要的数学方法?不仅用于求函数表达式?而 且在许多数学领域都有十分重要的应用? 练?习 ??求图象为下列抛物线的二次函数的表达式? ???抛物线的顶点在原点?且抛物线经过点??? ??? ???抛物线的顶点坐标为? ? ?? ? ???且抛物线经过点??? ???? ???抛物线经过三点???? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??已知抛物线???? ? ?? ???经过三点?? ??? ???? ??? ???? ??? ??? ???求这条抛物线所对应的二次函数的表达式? ???写出它的开口方向?对称轴和顶点坐标? ???这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? ??将抛物线? ??? ? ? ? ? ? ? ?向下平移?个单位?再向右平移?个单位?求所得抛物 线的开口方向?对称轴和顶点坐标? ? ???? ?第? ?章?二次函数 ??习题? ? ? ? ??在同一个平面直角坐标系中?画出下列各组中两个二次函数的图象? ??? ?? ? ? ? ? ??与?? ? ? ? ? ??? ??? ???? ? ??????与???? ? ??????? ??? ??????????与????????????? ??? ???????????与???????????? ??写出下列抛物线的开口方向?顶点坐标和对称轴? ??? ??? ? ?????? ??????????? ??? ????? ?? ??? ?? ? ? ? ? ????????? ???? ? ? ? ?????? ??? ???? ? ??? ???? ????? ? ?????? ??下列抛物线有最高点还是最低点?写出这些点的坐标? ??? ???? ? ????????? ????? ? ??? ??? ????? ? ??? ???? ???? ? ?????? ??求图象为下列抛物线的二次函数的表达式? ???抛物线的顶点在原点?且抛物线经过点??? ? ???? ???抛物线的顶点坐标为??? ? ???且抛物线经过点??? ??? ???抛物线经过三点?? ? ?? ??? ??? ??? ??? ? ??? ??有一个截面的边缘为抛物线的拱形桥洞?桥洞壁离水面的最大高度为? ? ?跨度 为?? ? ?把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中? ???求这条抛物线所对应的函数表达式? ???如图?在对称轴右边? ?的点?处?对应的桥洞壁离水面的高是多少? ? ?第?题? 第? ?章?二次函数?? ???? 图? 生活中的抛物线 你可能在生活中或在电视里看到过广场中的喷水池?如图???那随着音乐 声此起彼伏的水线?一会儿高高跃起?一会儿盘旋而下?令人心旷神怡? 你注意过吗?那水线的形状与你所知道的二次函数的图象? ? ?抛物线是多 么地相似? 有一种镜面是由抛物线绕对称轴旋转而形成的?如图???它可以将某一点 ?称为抛物线的焦点?如图?中的点? ?发出的光变成一束平行光线?你看到的探 照灯就运用了这个原理?把光线照得远远的?这样人们就可以很清楚地观察?给 军事和我们的生活带来方便? 图? ???? 图? ? ???? ?第? ?章?二次函数 ??用橡皮泥做一个圆锥?用刀沿着与其倾斜程度相一致的方向切下去?就 可以得到抛物线?如图???若改变切的方向?你就会得到双曲线?椭圆或圆 ?如图???在以后的学习中?你将会认识这些?圆锥曲线??并理解其中的 道理? 图? ?? 图? 26.3 ?实践与探索 生活中?我们常会遇到与二次函数及其图象有 关的问题?请与同伴共同研究?尝试解决下面的 问题? 问题? 某公园要建造一个圆形的喷水池?在水池中央垂直 于水面竖一根柱子?在柱子的顶端?处安装一个喷头向 外喷水?柱子在水面以上部分的高度为?? ? ? ?水流在各个 方向上沿形状相同的抛物线路径落下?如图??? ?? ???? 所示? 第? ?章?二次函数?? ???? 图? ? ? ? ? ? 根据设计图纸已知?在图??? ?? ????所示的平面直 角坐标系中?水流喷出的高度? ?? ?与水平距离? ?? ?之 间的函数关系式是????