1、数学新课标新旧对比变化具体变化四、课程内容小学部分（一）数与代数数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题.学段之间的内容相互关联，由浅入深，层层递进，螺旋上升，构成相对系统的知识结构.“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算.数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联.学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法.初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，
2、形成运算能力和推理意识.“数量关系”主要是用符号（包括数）或含有符号的式子表达数量之间的关系或规律.学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成模型意识和初步的应用意识.【内容要求】2022年版2011年版第一学段（1-2年级）1.数与运算（1）在实际情境中感悟并理解万以内数的意义，理解数位的含义，知道用算盘可以表示多位数（例1）.（2）了解符号,=, 的含义，会比较万以内数的大小；通过数的大小比较，感悟相等和不等关系（新增）（例2）o（3）在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系（例3）.（4）探索加
3、法和减法的算理与算法（新增），会整数加减法.（5）探索乘法和除法的算理与算法（新增），会简单的整数乘除法.（6）在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识.（新增）2.数量关系（1）在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题，能解释结果的实际意义，形成初步的应用意识.（2）探索用数或符号表达简单情境中的变化规律（例4和例5）.第二学段（3-4年级）1.数与运算（1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法；探索并掌握多位数的乘除法，感悟从未知到已知的转化（例8）.（2）结合具体情境，初步认识小数和分数，感悟分数单位（例9）；会同分母分数
4、的加减法和一位小数的加减法.（3）在解决简单实际问题的过程中，理解四则运算的意义，能进行整数四则混合运算.（4）探索并了解运算律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律，乘法对加法的分配律），能用字母表示运算律.（5）会运用数描述生活情境中事物的特征（例10），逐步形成数感、运算能力和初步的推理意识.（新增）2.数量关系（1）在实际情境中，运用数和数的运算解决问题；在解决实际问题的过程中，能结合具体情境，选择合适的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用（例11）.（2）能借助计算器进行计算，解决简单的实际问题，探索简单的规律（例12）.（3）在具体情境中，认识常见数量关系：总量=分量+分量（
5、例13）、总价=单价数量、路程=速度时间；能利用这些关系解决简单的实际问题.（4）能在具体情境中了解等量的等量相等.（5）能解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释，经历探索简单规律的过程（例14），形成初步的模型意识和应用意识.（新增）第三学段(5-6年级)1.数与运算（1）知道2, 3, 5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质数(或素数)和合数.（2）结合具体情境探索并理解小数和分数的意义，感悟计数单位.会进行小数、分数的转化，进一步发展数感和符号意识.（3）结合具体情境理解整数除法与分数的关系(例16).（4）能进行简单的小数、分数四
6、则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识.（新增）2.数量关系（1）根据具体情境理解等式的基本性质(例17).（2）在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算(例18）.（新增）（3）在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性（例19）.（4）在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题.（5）通过具体情境，认识成正比的量（如=5）（例20）；能探索规律或变化趋势（如y = 5x）（例21）.（6）能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力.（新增）
7、第一学段（1-3年级）1.数的认识（1）在现实情境中理解万以内数的意义，能认、读、写万以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置.（2）能说出各数位的名称，理解各数位上的数字表示的意义；知道用算盘可以表示多位数.（3）理解符号，的含义，能用符号和词语描述万以内数的大小.（4）在生活情境中感受大数的意义，并能进行估计.（删除）（5）能结合具体情境初步认识小数和分数，能读、写小数和分数.（6）能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小.（删除）（7）能运用数表示日常生活中的一些事物，并能进行交流.2.数的运算（1）结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）.（2）
8、能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数.（3）能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法.（4）认识小括号（删除），能进行简单的整数四则混合运算（两步）（删除）.（5）会进行同分母分数（分母小于10）（删除）的加减运算以及一位小数的加减运算.（6）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用.（7）经历与他人交流各自算法的过程.（8）能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释.3.常见的量（1）在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之
9、间的关系.（删除）（2）能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短.（删除）（3）认识年、月、日，了解它们之间的关系.（删除）（4）在现实情境中，感受并认识克、千克、吨，能进行简单的单位换算.（删除）（5）能结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题.（删除）4.探索规律探索简单情境下的变化规律.第二学段（4-6年级）1.数的认识（1）在具体情境中，认识万以上的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数.（2）结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计.（3）会运用数描述事物的某些特征，进一步体会数在日常生活中的作用.（4）知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公
10、倍数；在1100的自然数中，能找出10以内自然数的所有倍数，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数.（5）了解公因数和最大公因数；在1100的自然数中，能找出一个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数.（6）了解自然数、整数、奇数、偶数、质（素）数和合数.（7）结合具体情境，理解小数和分数的意义，理解百分数的意义；会进行小数、分数和百分数的转化（不包括将循环小数化为分数）.（8）能比较小数的大小和分数的大小.（9）在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量.（删除）2.数的运算（1）能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法.（2）认识中括
11、号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步）.（3）探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算.（4）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系.（5）能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）.（6）能解决小数、分数和百分数的简单实际问题.（7）在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价数量、路程=速度时间，并能解决简单的实际问题.（8）经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法.（删除）（9）在解决问题的过程中，能选择合适
12、的方法进行估算.（10）能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律.3.式与方程（1）在具体情境中能用字母表示数.（2）结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示.（3）能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+25，2x-x3），了解方程的作用.（删除）（4）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程.4.正比例、反比例（1）在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题.（2）通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量.（3）会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值.（4）能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例
13、，并进行交流.5.探索规律探索给定情境中隐含的规律或变化趋势.【学业要求】（新增）第一学段（1-2年级）1.数与运算能用数表示物体的个数或事物的顺序，能认、读、写万以内的数；能说出不同数位上的数表示的数值；能用符号表示数的大小关系（例6）,形成初步的数感和符号意识.能描述四则运算的含义，知道减法是加法的逆运算、乘法是加法的简便运算、除法是乘法的逆运算；能熟练口算20以内数的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内数的加减法；能计算两位数和三位数的加减法.形成初步的运算能力.2.数量关系能在熟悉的生活情境中运用数和数的运算，合理表达简单的数量关系，解决简单的问题.能在解决问题的过程中，体会解决问题
14、的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识.第二学段（3-4年级）1.数与运算能结合具体实例解释万以上数的含义，能认、读、写万以上的数，会用万、亿为单位表示大数.能计算两位数乘除三位数.能直观描述小数和分数，能比较简单的小数的大小和分数的大小；会进行同分母分数的加减运算和一位小数的加减运算.形成数感、符号意识和运算能力.能描述减法与加法的关系、除法与乘法的关系；能进行整数四则混合运算（以两步为主，不超过三步），正确运用小括号和中括号.能说出运算律的含义，并能用字母表示；能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力.2.数量
15、关系能在简单的实际情境中，运用四则混合运算解决问题，能选择合适的单位通过估算解决实际问题，形成初步的应用意识.能在真实情境中，发现常见数量关系，感悟利用常见数量关系解决问题；能借助计算器进行计算，并解释计算结果的实际意义；形成初步的模型意识、几何直观和应用意识.能在真实情境中，合理利用等量的等量相等进行推理，形成初步的推理意识（例15）.第三学段(5-6年级)1.数与运算能找出2，3，5的倍数.在1100的自然数中：能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数；能判断一个自然数是否是质数或合数.能用直观的方式
16、表示分数和小数，能比较两个分数的大小和两个小数的大小；会进行小数和分数的转化（不包括将循环小数转化成分数）.能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感.能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程.能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识.2.数量关系能在具体问题中感受等式的基本性质（例17）.能在解决实际问题中运用恰当的方法进行估算，并能描述估算的过程.能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性.能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决
17、按比例分配的简单问题.能在具体情境中描述成正比的量=k（k0），能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx （k0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量的值.能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力.【教学提示】（新增）第一学段（1-2年级）第一学段是学生进入小学学习的开始，要充分考虑学生在幼儿园阶段形成的活动经验和生活经验，遵循本阶段学生的思维特点和认知规律，为学生提供生动有趣的活动，更好地完成从幼儿园阶段到小学阶段的学习过渡.数与运算的教学.数的认识与数的运算具有密切的联系，既要注重各自的特征，也要关注二者的联
18、系.数的认识是数的运算的基础，通过数的运算有助于学生更好地认识数.数的认识教学应提供学生熟悉的情境，使学生感受具体情境中的数量，可以用对应的方法，借助小方块、圆片和小棒等表示相等的数量，然后过渡到用数字表达，使学生体会可以用一个数字符号表示同样的数量；知道不同数位上的数字表示不同的值.教学中应注意，10以内数的教学重点是使学生体验19从数量到数的抽象过程，通过9再加1就是十，体会十的表达与19的不同是在新的位置上写1,这个位置叫十位，十位上的1表示1个十，1个十用数字符号10表达.同理认识百以内数、万以内数.通过数量多少的比较，理解数的大小关系（例7）.在这样的教学活动中，帮助学生形成初步的符
19、号意识和数感.数的运算教学应让学生感知数的加减运算要在相同数位上进行, 体会简单的推理过程.引导学生通过具体操作活动，利用对应的方法理解加法的意义，感悟减法是加法的逆运算；在具体情境中，启发学生理解乘法是加法的简便运算，感悟除法是乘法的逆运算.在教学活动中，始终关注学生运算能力和推理意识的形成与发展.数量关系的教学.通过创设简单的情境，提出合适的问题，引导学生发现数量关系；利用画图、实物操作等方法，引导学生用学过的知识表达情境中的数量关系，体会几何直观，形成初步的应用意识.第二学段（3-4年级）数与运算的教学.在认识整数的基础上，认识小数和分数.通过数的认识和数的运算有机结合，感悟计数单位的意
20、义，了解运算的一致性.数的认识教学应为学生提供合理的情境，引导学生进一步经历整数的抽象过程，知道大数的意义和四位一级的表示方法，建立数感；通过学生熟悉的具体情境，引导学生初步认识分数，进行简单的分数大小比较，感悟分数单位；借助学生的生活经验，引导学生认识小数单位，进一步感悟十进制计数法.在这样的过程中，发展学生数感.数的运算教学应利用整数的乘法运算，理解算理与算法之间的关系；在进行除法计算的过程中，进一步理解除法是乘法的逆运算.在这样的过程中，感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识.通过小数加减运算、同分母分数加减运算，与整数运算进行比较，引导学生初步了解运算的一致性，培养运算能力.通过实
21、际问题和具体计算，引导学生用归纳的方法探索运算律、用字母表示运算律，感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维.数量关系的教学.在具体情境中，利用加法或乘法表示数量之间的关系，建立加法模型和乘法模型，知道模型中数量的意义.估算的重点是解决实际问题.常见数量关系的教学要在了解四则运算含义的基础上，引导学生理解现实问题中的加法模型是表示总量等于各分量之和，乘法模型可大体分为与个数有关（总价=单价数量）和与物理量有关（路程= 速度时间）的两种形式，感悟模型中量纲的意义.应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升
22、问题解决能力.利用现实背景，引导学生理解等量的等量相等这一基本事实，形成初步的推理意识（例15）.估算教学要引导学生在具体的问题情境中选择合适的单位进行估算，体会估算在解决实际问题中的作用，了解估算的实际意义.第三学段(5-6年级)数与运算的教学.通过整数的运算，感悟整数的性质；通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性.数的认识教学要引导学生根据数的意义，用列举、计算、归纳等方法，探索2, 3, 5的倍数的特征，理解公因数和公倍数、奇数和偶数、质数和合数，形成推理意识.在初步认识小数和分数的基础上，引导学生在具体情境中，理解小数和分数的意义，感悟计数单位.
23、在教学过程中，可以让学生体验与小数有关的数学文化（例22），理解、描述各数位上数字的意义，进一步提升数感.数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性.例如，在分数加减运算的过程中，引导学生理解通分的目的是得到同样计数单位，进一步理解计数单位对分数表达的重要性，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性.数量关系的教学.理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维.用字母表示的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律.例如：用 字母表达常见数量关系及其变形，“路程=速度时间
24、”表示为s=vt，这个关系的变式表示为v=st，t=sv；还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感受字母表达的一般性.运用数和字母表达数量关系，通过运算或推理解决问题（例23），形成与发展学生的符号意识、推理意识和初步的应用意识.估算教学要借助真实情境，引导学生在选择合适单位估算的基础上，感悟选择合适的方法估算的重要性，提高解决问题的能力，发展初步的应用意识.比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系.例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题.成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变
25、化规律，引导学生理解可以把这个规律表示为=k（k0）的形式，也可以表示为y=kx（k0）的形式，感悟这两个表达式的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验.例1 用算盘表示多位数【说明】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5,每个下珠代表1.每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数，可以任意选定某档为个位，不拨珠空档表示0.例如，513和602在算盘上表示如图1.图1更大的数可用同样的方法表示.让学生感受用算盘表示数的同时，向学生介绍算盘的历
26、史，引导学生体会算盘是我国的优秀文化遗产.例2 感悟大小关系小阳和小冬用边摆边说.数一数，想一想，看看他们说的话对吗？图2【说明】相等和不等是数的两个基本关系.在数量一样多、较多和较少的具体情境中，引导学生感悟数的相等和不等关系；知道可以用符号=，分别表示数与数之间的相等、大于和小于关系；感悟大小关系的传递性：如果86, 63,那么83.对于关系传递性，只要求学生感悟，为将来理解代数基本事实作感性铺垫，不作为学业要求.例3运算与运算之间的关系二年级（3）班有8个学习小组，每组5人，这个班一共有多少人?【说明】如图3，针对问题背景，让学生经历用图形表示数量关系的过程，理解乘法运算以及乘法与加法的
27、关系.图3还可以用类似的方法，让学生感悟减法运算以及减法是加法的逆运算，感悟除法运算以及除法是乘法的逆运算.例4用不同符号表示变化规律在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由.1,1,2；1,1,2;，.A, A, B；A, A, B;，.口，口，日；口，口，日；，.【说明】启发学生在解决问题的过程中探索规律.引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同.例5借助图形发现运算规律在表4中，标出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再分别标出相加等于6, 9的格子，你能发现什么规律？表4987654321+123456789【说明】
28、通过这样的活动，不仅可以帮助学生熟练20以内数的加法，还可以让学生感悟加数与和之间的关系，让学生感悟数值与图形的结合，有利于为后续学习图形的位置等内容做准备.教师可以根据实际情况灵活地设计教学活动.例如，可以根据上表，让学生判断：出现次数最多的和是几？最少的是几？例6根据大小关系排序将数50, 98, 38, 10, 51排序，用符号，表示.用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步表示它们之间的关系.【说明】数的最基本的关系是大小关系，通过排序可以考查学生对大小关系及其传递性的理解.可以用不同的排序方法，让学生经历选择方法的过程，引导学生表述排序方法的操作过程，帮助学生积累思维的经验和做事
29、的经验；引导学生用恰当的语言表述大小关系的程度，体会大小关系的传递性，培养思维的逻辑性.例7通过对应理解大小关系图4第（1）题是小华完成的，你能像她一样完成其他两道题吗？图4【说明】通过两个集合中元素之间一一对应的方法判断集合中元素的多少.这种对应的方法是数学的基本方法.通过对应的方法，学生可以感受由数量抽象到数、由数量的多少关系抽象为数的大小关系.在这个例子中，学生通过“连一连比较两个集合中元素的多少，进一步感知用一一对应的方法能够进行数量多少的比较，建立数感.例8感悟从未知到已知的转化学校图书馆为同学们购买图书，其中数学绘本每本14元，如果买12本，需要付多少元？【说明】在知道两位数乘一位
30、数的基础上，引导学生探索两位数乘两位数的方法，感悟从未知到已知的转化.重点是理解从一位数乘法到两位数乘法算理和算法的迁移.学生已知1410的计算方法和142的计算方法，探索1412的计算方法.可以引导学生将12分解成(10+2),然后利用横式体现算理，1412=14(10+2)=1410+ 142,就可以把未知转化为已知；在分析的基础上建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法.在这样的过程中，发展学生的运算能力和推理意识.此外，可以引导学生借助面积表述运算的道理，培养几何直观.例9感悟分数单位比较的大小.【说明】把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，通过比较各自1份面积大小的方法，引导学生直观理
31、解分数的大小.然后，进一步把两个圆都平均分成为6份，通过，所以，帮助学生理解分数单位之间的关系，知道只有在相同单位下才能比较分数的大小，这个法则与整数比较大小的法则是一致的.例10 生活中的数某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生.例如，202103321表示“2021年入学的（3）班的第32号同学，该同学是男生”，那么202104302表示什么？【说明】这个例子启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息.例如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生.同时, 可以引导学生设计本校的学生编号方案.例11现实生活中的估算学校组织987名学生去公园游玩.如果公园的门票每张8元，
32、8000元够不够？【说明】在日常生活中，许多问题并不需要精确的答案.这个例子可以让学生了解在什么样的情境中需要估算，认识到能结合具体情境选择适当的单位是估算的关键.例如，在此例中把987人看成 1000人，8000元是够的，这里适当的单位是“1000人”.在估计长度、质量和其他度量值时也需要选择合适的单位.一般来说，估计教室的长度时以“米”为单位，估计书本的长度时以“厘米”为单位.此外，还可以引导学生选用自己熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等.例12 利用计算器探索规律利用计算器计算1515, 2525,，9595,并探索规律.【说明】引导学生利用计算器进行重复性的计算，从中发现一些有趣的
33、规律.例如，在下面计算中观察结果与因数的关系，发现以下规律：1515=225=12100+25,2525=625=23100+25,3535=1225=34100+25,.这个规律在实际运算中是有意义的.例13 利用数据提出问题某展览中心周六和周日有一个艺术展，图5记录了参观人数.图5根据记录的参观人数，你能提出哪些问题？【说明】通过这个例子讨论“总量=分量+分量”的数量关系，例如，周六上午57人、下午64人都是中小学生参观人数的分量，分量和57+64=121 （人）是周六的中小学生参观人数总量.周六的中小学生参观人数总量又是周六参观人数的分量.启发学生提出许多类似问题，关注学生思维的逻辑.通
34、过这个例子，学生也可以提出相应的减法问题，即“分量=总量-分量”的数量关系，只需要把其中的一个分量作为未知量.例14寻找规律进行推断联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室.你知道第16个气球是什么颜色吗？【说明】在例4借助符号表示规律的基础上，感知通过规律可以进行推断.在解决这个问题时，学生可以有多种方法.例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，排列顺序可以表示为AAABBCAAABBC从中找出第16个字母，由此推断第16个气球的颜色.例15曹冲称象的故事通过具体情境认识物体的质量，感悟质量的度量方法，掌握度量单位的换算，感悟等量的概念，尝试运
35、用等量的等量相等进行推理, 知道常见数量关系：总量等于各分量之和.【说明】通过“称重”等具体活动，结合学生生活中对物体质量的认识经验，帮助学生认识克、千克、吨，了解它们之间的关系，积累数学活动经验，发展量感.此主题活动可作如下设计.（1）我也来称象通过“曹冲称象”的故事引导学生思考下列问题，引发对“质量单位、称量工具”的学习：在古代为什么大象的体重难称量？要称量 大象的体重，需要哪些条件？充分结合学生生活中对各种物品质量的经验，帮助学生感受“物体轻、物体重”需要规定合适的单位来表示，进而理解克、千克、吨 这些常用质量单位的意义及其关系，并尝试利用等量的等量相等进行推理.（2）各种各样的秤组织学
36、生收集各种称量物体质量的工具，如生活中常见的秤、实验室中用的天平等，扩展学生对称量工具及质量单位的认识.（3）都来称一称学生组建小组，使用某些秤或者已经称量好的物品作为称量工具，如用一袋盐作“秤”，去估一估、称一称，想办法得到教室内、生活中各类物品的质量，经历度量的过程，体会误差，归纳估测的方法，丰富并发展量感.例16除法可以写成分数的形式为什么42可以写成？【说明】首先，可以通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系.前者可以表示把4个苹果分给2个人，每人分到2个；后者可以表示4个苹果的，等价于2个苹果.其次，通过算理进行一般性说明.怎样知道“42=”中的“ ” 是多少，由于除法是
37、乘法的逆运算，它等价于“4=2”.根据等式的基本性质，等号两边同乘后等式不变，计算得到4=.根据基本事实“等量的等量相等”，所以42=4成立.最后，因为4表示4个相加，所以写成.即42=.这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数.例17等式的基本性质观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现.【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质.第一组是等式的基本性质I,即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”.第二组是等式的基本性质,即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”.这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方程时会用到.例18
38、估算的上界和下界李阿姨去商店购物，带了100元，她买了 2袋面，每袋30.4元; 又买了 1块牛肉，用了 19.4元.她还想买1条鱼，大一些的每条 25.2元，小一些的每条15.8元.请帮助李阿姨估算一下，她此时剩余的钱够不够买小鱼？够不够买大鱼？【说明】对于给定的数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界.为此，需要对给定的数量进行适当放大或缩小，凑整计算.此例中两个问题的核心都是估计用100元购物后的剩余金额，但两种估计 方法有所不同.第一问“够不够买小鱼”需要估计剩余金额的下界（至少剩余多少元），如果下界超过15.8元，就够买小鱼.对于估计下界的问题, 购物金额要适当地放大.例如，买1袋面
39、不超过31元，买2袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；总共不超过62+20=82（元），至少还剩100-82=18（元）.所以，李阿姨剩余的钱买1条小鱼是够用的.第二问“够不够买大鱼”需要估计剩余金额的上界（至多剩余多少元），如果上界不到25.2元，就不够买大鱼.对于估计上界的问题，购物金额要适当地缩小.例如，买1袋面至少要30元，买2袋 面至少要60元；买牛肉至少要19元；总共至少要60+19=79（元），至多还剩100-79=21（元）.所以，李阿姨剩余的钱不够买1条大鱼.例19用字母表示数量关系或规律（1）小华比小明多5张漫画卡.如果小明有8张，小华有几张? 如果小明有12张呢？如果小
40、明有若干张，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡？（2）我们学习过一些图形面积的计算公式，还学过加法和乘法的运算律，你能用字母表示这些计算公式和运算律吗？（3）如图6, 1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3 张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐多少人？【说明】这三个问题涉及用字母表示数量关系或规律.（1）教学时，可以先从具体数量入手：小明有8张、12张时, 小华的漫画卡数量应如何表示？如果小明有不知道具体数量的若干张时，小华的漫画卡数量可以表示为（5+a）,其中的字母a表示小明的漫画卡数量，是一个变化的值.（2）让学生探索用字母表示面积计算公式和运算律的过程，感悟用
41、字母表示所得到的结果具有一般性.（3）让学生经历用字母表示变化规律的过程，培养符号意识.1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可 坐8人，以此类推，n张餐桌拼在一起可坐（2n+2）人.例20认识成正比的量王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，如果购买2千克、3千 克分别需要多少元？【说明】可以借助列表或者画图象的方法分析问题，例如，把计算的结果记录在表5中.表5买苹果的数量及总价数量/千克12345总价/元510152025观察表5可以发现，随着购买苹果数量的增多，总价也增多，这两个量变化的最基本特征是：总价与数量的比值保持不变.可以把这个关系表示为,或者用符号表示为,这时
42、称y和x为成正比的量.例21探索数量之间的变化规律王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，购买2千克、3千克分别需要多少元？探索其中的规律.【说明】这是例20的延续.从例20的说明中可以知道，为了保证两个数量的比值保持不变，这两个数量必须一起变化.显然，也可以把这个表达式转化为y =5x的形式.这样的表达能够更好地体现“随着购买苹果数量的增多，总价也増多”的变化规律，这就是初中将要学习的正比例函数.例22圆周率的故事通过讲述祖冲之计算圆周率的故事，让学生感知圆周率的逼近过程，同时，也理解小数的十进制名称的表达，感受中国古代数学家的杰出贡献.【说明】据隋书卷十六志第十一律历记载，南北朝时期的祖冲之得
43、到圆周率的结果是：以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间.密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五.约率，圆径七，周二十二所著之书，名为缀术，学官莫能究其深奥，是故废而不理.因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926和3. 1415927之间；根据不同的需要，可近似取作（约率）或（密率）.由此可以看到，祖冲之得到的圆周率精确到小数点后第6位，这个结果领先世界约1 000年之久.特别值得指出，类似自然数的单位（如个、十、百、千、万等），祖冲之清晰地表达、定义了十进制的小数单位尺、寸、分、厘、 毫、秒、忽，表述到小数点后七位.由此可见，中国古代人民对于小数的理解和表达都是深刻的.例23用字母表示数量关系回顾例19 （3）的情境，请用字母表示餐桌数与人数之间的关系.【说明】引导学生用不同的字母分别表示餐桌数和人数，建立二者之间的关系.例如，用a表示餐桌数，b表示人数.根据问题的背景，可以建立关系式：b =2a + 2.引导学生理解，如果知道两个量中的一个量，就可以通过对关系式的四则运算得到另一个量.在上式中，如果a =2,那么b=6；如 果a =3,那么b=8.反之亦然.在这样的过程中，启发学生进一步感悟可以用字母表示数量关系，让学生初步经历通过具体数值的计算归纳一般关系的过程.
