1、第 1 页，共 18 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知命题 p： 0，总有( + 1) 1，则为()A. 0 0，使得(0+1)0 1B. 0 0，使得(0+1)0 1C. 0，总有( + 1) 1D. 0，总有( + 1) 12.一直平面内的定点 A，B 和动点 P，则“动点 P 到两定点 A，B 的距离之和为为一定值”是动点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3.直线 l 经过(2,1)，(3,2)( )两点，则
2、直线 l 的倾斜角的取值范围是()A. 0,4B. 0,C. 0,2) 34,D. 0,4 (2,)4.已知直线 = + 沿 x 轴负方向平移 3 个单位长度， 再沿 y 正方向平移 1 个单位长度后，又回到原来位置，则斜率 = ()A. 13B. 3C. 13D. 35.已知椭圆22+22= 1( 0)的短轴长为 4，上顶点 A，左顶点 B，焦点1，2分别是椭圆左右焦点，且 1的面积为42 3，则椭圆的焦距为()A. 3B. 2 3C. 4 3D. 8 36.已知实数 x，y 满足 0 03+4 1，则 + 2 + 3 + 1的取值范围是()第 2 页，共 18 页A. 23,11B. 3,
3、11C. 32,11D. 1,117.过点(4,2)作圆2+ 2= 4的两条切线，切点分别为 A，B，O 为原点，则 的外接圆方程是()A. (2)2+(1)2= 5B. (4)2+(2)2= 20C. ( + 2)2+( + 1)2= 5D. ( + 4)2+( + 2)2= 208.椭圆22+22= 1( 0)的左右焦点分别是1、2，以2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆2相切于点 P，则椭圆的离心率为()A. 31B. 3+ 12C. 22D. 5129.唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”
4、的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为2+ 2 1，若将军从(2,0)出发，河岸线所在直线方程 + 4 = 0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为()A. 10B. 2 51C. 2 5D. 10110.设 ，过定点 A 的动直线 + = 0和过定点 B 的动直线 + 3 = 0交于点(,)，(点 P 与点 A，B 不重合)，则 的面积最大值是()A. 2 5B. 5C. 52D. 511.设椭圆 C：216+212= 1上的一点 P 到两条直线 = 4和 = 8的
5、距离分别是1，2，则21+2的最小值()A. 5B. 6C. 7D. 812.已知椭圆 C：22+22= 1( 0)的左、右焦点分别为1，2，点 P 是椭圆 C 上一点，椭圆 C 内一点 Q 满足：点 Q 在2的延长线上1 .若sin1 =35，则该椭圆离心率的取值范围是()第 3 页，共 18 页A. (13,22)B. (13,1)C. (1010,1)D. (2626,22)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知直线 l 过点(1,2)，且原点到直线 l 的距离为 1，则直线 l 方程为_14.若椭圆24+2= 1的焦距为 1，则 = _15.已知 O 为坐标原点，
6、椭圆 T：22+22= 1的离心率为22，一个顶点为(0,1)，过椭圆上一点 P 的两条直线 PA，PC 分别与椭圆交于 A，C，设 PA，PC 的中点分别为 D，E，直线 PA，PC 的斜率分别是1，2(1,2 0)的离心率33，连接椭圆的四个顶点得到的菱形 的面积为2 6(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图所示，该椭圆 C 的左、右焦点1，2作两条平行的直线分别交椭圆于 A，B，C，D 四个点，试求平行四边形 ABCD 面积的最大值22.已知 的两个顶点为(0,2)，(0,2)， 平面内 P， Q 同时满足 + + = 0；| = | = |；/(1)求顶点 A 的轨迹 E 的方程；(2)
7、过点(2 2,0)作两条互相垂直的直线1，2，直线1，2被点 A 的轨迹 E 截得的第 6 页，共 18 页弦分别为11，22，设弦11，22的中点分别为 M，.试问：直线 MN 是否恒过一个顶点？若过定点，请求出该顶点，若不过定点，请说明理由第 7 页，共 18 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题，属于基础题.据全称命题的否定为特称命题可写出命题 p 的否定【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，为0 0，使得(0+1)0 1故选 B2.【答案】A【解析】解：若点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，则根据
8、椭圆的定义可知动点 P 到两定点 A，B 的距离之和| + | = 2 ( 0，且 a 为常数)成立是定值若动点P到两定点A， B的距离之和| + | = 2 ( 0， 且a为常数)， 当2 |，此时的轨迹不是椭圆 “动点 P 到两定点 A，B 的距离之和为为一定值”是动点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆的必要不充分条件故选：A结合椭圆的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的定义是解决本题的关键3.【答案】C【解析】解：由题意可得，直线的斜率 = 21 1，故 1，根据正切函数的性质可知，0 12或34 0)的短轴长为 4，可得 = 2
9、，上顶点 A，左顶点 B，焦点1，2分别是椭圆左右焦点，且 1的面积为42 3，可得12() = 42 3，即12() 2 = 42 3，所以 = 42 3，22= 4，可得 = 4， = 2 3，椭圆的焦距为：4 3故选：C利用椭圆的简单性质结合三角形的面积求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题6.【答案】C【解析】解：目标函数目标函目标函数 + 2 + 3 + 1= 1 + 2 + 1 + 1，表示动点(,)与定点(1,1)连线斜率 k 的两倍加 1，由图可知，当点 P 在(0,4)点处时，k 最大，最大值为：11；当点 P 在(3,0)点处时，k 最小，第 9
10、页，共 18 页最小值为：32；从而 + 2 + 3 + 1的取值范围是32,11故选：C画可行域明确目标函数几何意义，目标函数 + 2 + 3 + 1= 1 + 2 + 1 + 1，表示动点(,)与定点(1,1)连线斜率 k 的 2 倍加1过 M 做直线与可行域相交可计算出直线 PM 斜率，从而得出所求目标函数范围本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想7.【答案】A【解析】【分析】由题意知 ， ，四边形 AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是 OP， 外接圆就是四边形 AOBP 的外接圆本题考查圆的标准方程的求法，把求 外接圆方
11、程转化为求四边形 AOBP 的外接圆方程，体现了转化的数学思想【解答】解：由题意知， ， ， 四边形 AOBP 有一组对角都等于90， 四边形 AOBP 的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是 OP， 的中点为(2,1)， = 2 5， 四边形 AOBP 的外接圆的方程为 (2)2+(1)2= 5， 外接圆的方程为(2)2+(1)2= 5故选：A8.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题第 10 页，共 18 页利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆22+22= 1( 0)的左右焦点分别是1、2，以2为圆心
12、的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆2相切于点 P，可得(2)2+ 2= 42，可得222 = 2，所以2+22 = 0， (0,1)，解得 =2 +122=31故选：A9.【答案】B【解析】解：设点 A 关于直线 + = 4的对称点(,)，=2，的中点为( + 22,2)，故2= 1 + 22+2= 4解得 = 4， = 2，要使从点 A 到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为 4 + 161 = 2 51，故选：B先求出点 A 关于直线 + = 4的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位
13、置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题动直线 + = 0过定点(0,0).动直线 + 3 = 0过定点(1,3).分类讨论： = 0时，两条直线分别为 = 0， = 3，交点(0,3)，可得 =32. 0时，两条直线相互垂直当 = 时， 的面积取得最大值即可得出【解答】解：动直线 + = 0，令 = 0，解得 = 0，因此此直线过定点(0,0)第 11 页，共 18 页动直线 + 3 = 0，即(1)
14、 + 3 = 0，令1 = 0，3 = 0，解得 = 1， = 3，因此此直线过定点(1,3) = 0时，两条直线分别为 = 0， = 3，交点(0,3)， =12 1 3 =32 0时，两条直线的斜率分别为：1，m，则1 = 1，因此两条直线相互垂直则2+2= 2= 12+ 32= 10，则 =12 2+ 24=52，当且仅当 = =5时等号成立；综上可得： 的面积最大值是52故选 C11.【答案】D【解析】解：设(4,2 3)，0 2，由题意可得：21+2= 2|42 3| + |84| = 164 34 = 168( +6) 168 = 8当且仅当8( +6) = 1时取等号 21+2的
15、最小值为 8故选：D设(4,2 3)，0 2，由题意可得：21+2= 2|42 3| + |84|，利用三角函数的单调性、和差公式即可得出结论本题考查了椭圆的标准方程及其参数方程、三角函数的单调性、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12.【答案】A【解析】解： 1 ， 点 Q 在以12为直径，原点为圆心的圆上， 点 Q 在椭圆的内部， 以12为直径的圆在椭圆内， ； 2 22， 22 2，故0 13综上可得：13 22故选：A由1 ，可得点 Q 在以12为直径，原点为圆心的圆上，由点 Q 在椭圆的内部，可得以12为直径的圆在椭圆内， 可得 ； 于是 ，根据题意 =2， = 1， =
16、 1，故椭圆的方程为22+2= 1，设(1,1)，(2,2)，据点差法214+ 21= 1224+ 22= 1，得1= 12，2= 12，= 121，= 122，由直线 OD，OE 的斜率之和为 2，得11+12= 4，故(41+2)(1112) (2 + 1)2= 9，当且仅当21=2取等号，则41+2的最大值为94，故答案为：94利用点差法求出斜率关系，根据柯西不等式求出即可考查点差法求斜率关系式，进而利用柯西不等式求最值，中档题16.【答案】(3 2, 2 2,3 2)【解析】解：设 AB 中点为 D，则 ， | + | 24， |2| 24|， | 42|. |2+14|2= 9， |
17、2 1 直线 + = 0与圆2+ 2= 9交于不同的两点 A、B，第 14 页，共 18 页 |2 9 1 |2 9，则1 (|2)2 9 3 2 2或 2 3 2即实数 b 的取值范围是(3 2, 2 2,3 2).故答案为：(3 2, 2 2,3 2).利用平行四边形法则，借助于直线与圆的位置关系，利用直角三角形，即可求得结论本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题17.【答案】解：(1)联立2 + 1 = 0 + 2 = 0，解得交点 P 的坐标为(1,1)，1与3垂直， 的斜率 = 13= 43， 的方程为1 = 43(1)，即4 + 37 = 0
18、；(2) 为 AB 的中点，已知(2,0)，(0,2)，即 = = 2， 12 =12 2 2 = 2【解析】(1)联立方程组求得 P 点坐标，再由两直线垂直与斜率的关系求得所求直线的斜率，再由直线方程点斜式求解；(2)由题意可得 A，B 的坐标，再由直角三角形面积公式求解本题考查直线的一般方程与直线垂直的关系，考查三角形面积的求法，是基础题18.【答案】解：(1)方程2+ 2+2 + 22+ + 2 = 0可化为( + 1)2+( + )2= 221；若 P 为真命题，则 0，解得 1；所以为真命题时，实数 m 的取值范围是(,1；(2)命题 q：方程32+2= 1表示焦点在 y 轴上的椭圆
19、，若 q 为真命题时，0 1 0或 3，即 3；第 15 页，共 18 页当 p 假 q 真时， 10 3，即0 4)，()2+ 229对0 4恒成立即 ()2+ 25(4)229，对0 4恒成立()整理得：(82) + 217 0，对0 4恒成立().(10分)令() = (82) + 220 4， 82 4(4) = (82) 4 + 220 0，解得 6，即校址选在距 O 最近 6km 的地方【解析】(1)建立坐标系，利用圆心在弦的垂直平分线上求圆心坐标，再求半径，进而写出圆的方程(2)据条件列出不等式，运用函数单调性解决恒成立问题本题主要考查求点的轨迹方程的方法，函数的恒成立问题，利用
20、二次函数在闭区间上的单调性求函数的值域，属于中档题第 17 页，共 18 页21.【答案】解：(1)由题意， =33，则222=13，即 =62又12 2 2 = 2 6， =3， =2 椭圆 C 的方程为23+22= 1；(2)由(1)知，1(1,0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 = 1，(1,1)，(2,2)，联立 = 123+22= 1，消去 x 得：(22+3)244 = 0得1+2=422+ 3，12=422+ 3 四边形= 4 = 4 12|1| |12| = 2 (1+ 2)2412= 2 (422+ 3)2+1622+ 3= 83(2+ 1)(22+
21、3)2令 = 2+1，则 1，四边形= 83(22+ 1)2= 834 +1+ 4 1，且函数 = 4 +1+4在1, + )上单调递减， 当 = 1，即 = 0时，平行四边形 ABCD 面积的最大值为833【解析】(1)由题意离心率可得 =62，再结合面积求解 a，b 的值，则椭圆方程可求；(2)由(1)知，1(1,0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 = 1，联立直线方程与椭圆方程，把平行四边形 ABCD 的面积用三角形 OAB 的面积表示，然后利用换元法结合单调性求最值本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法与函数的单调性求最值，是中档
22、题22.【答案】解：(1) + + = 0， 为三角形 ABC 的重心，设(,)，则(3,3)，由| = | = |，知 Q 是三角形 ABC 的外心， 在 x 轴上，又/， (3,0).由| = |，得 (3)2+ 4 =(3)2+ 2，整理得212+24= 1 ，B，C 三点不共线，第 18 页，共 18 页 顶点 A 的轨迹方程为212+24= 1( 0)；(2)由(1)知，(2 2,0)为 A 的轨迹 E 的右焦点，设1(1,1)，1(2,2)，由 = + 22212+24= 1，得(2+3)2+4 24 = 0则1+2=422+ 3，12=42+ 3，1+2= (1+2) + 4 2
23、 =1222+ 3由中点坐标公式得(622+ 3,222+ 3)，同理可求得(62232+ 1,2232+ 1).则当2 1时，=2232+ 1+222+ 362232+ 1622+ 3=43(21) 直线 MN 的方程为222+ 3=43(21)(622+ 3)即 =43(21)(4321)622+ 3+222+ 3) =43(21)(322) 直线 MN 过定点(322,0).【解析】(1)由已知向量等式可知 P 为三角形 ABC 的重心， 设(,)， 则(3,3)， 再由| = | = |，知 Q 是三角形 ABC 的外心，结合/得(3,0).由| = |列式求解顶点 A 的轨迹 E 的方程；(2)设出直线1的方程，与椭圆方程联立求得 M 的坐标，同理求得 N 的坐标，求得 MN的斜率，写出直线方程的点斜式，整理后利用线系方程说明直线 MN 过定点(322,0).本题考查圆锥曲线方程的求法，考查平面向量的应用，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题
