1、第 1 页，共 17 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = | =4, ，集合 = | ，则 中元素的个数为()A. 3B. 5C. 7D. 92.设 =log32，则33333232的值为()A. 2110B. 2110C. 1710D. 13103.幂函数 = (21)3在定义域内为偶函数，则 = ()A. 1B. 2C. 1或 2D. 14.函数() = ln( +2+ 1)，若(2 + 5) + (4 + ) = 0，则2 + = ()A. 1B. 1C. 9D. 95.若等差数列的公差
2、 0， 且26+ 28+16 = 210+ 212， 则的前17项的和17= ()A. 17B. 18C. 30D. 326.已知 + = 15，则11 + tan + tan tan tan= ()A. 3B. 2 +3C. 2 3D. 337.函数() = 4+22的零点与()的零点之差的绝对值不超过14， 则()的解析式可能是()第 2 页，共 17 页A. () = 41B. () = (1)2C. () = 1D. () = ln(12)8.把函数 = 2的图象向右平移 t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 =23，则 t 的值为()A. 12B. log23C. log32D
3、. 39.设()是定义在 R 上的函数，若存在两个不相等实数1、2 ，使得(1+ 22) =(1) + (2)2，则称函数()为“创新函数”.则下列函数不是“创新函数”的是()() =1, 0,0, = 0,() = |() = |22|() = |21|A. B. C. D. 10.已知函数() =2 + 2 + |， ，则不等式(22) 0且 1， 0且 1，方程组5 + 8 = 458 = 1的解为 = 1 = 1或 = 2 = 2，则lg(1212) = _三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.设集合 = |23 + 2 = 0， 集合 = |2+(2 + 1) +
4、(25) = 0( )(1)若 = 1，求实数 a 的值；(2)若 = ，求实数 a 的取值范围18.“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资 120 万元，根据行业规定，每个城市至少要投资 40 万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()与投入(单位：万元)满足() = 4 6，乙城市收益()与投入(单位：万元)满足() =14 + 2，设甲城市的投入为(单位：万元)，两个城市的总收益为()(单位：万元)(1)求()及定义域；(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19.在三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为
5、 a，b，c，已知()( + ) = ()第 4 页，共 17 页(1)求角 C 的大小；(2)若 = 2， =2，O 为 的外心，且 = + ，求 + 的最大值20.设函数() = 2 2在定义域具有奇偶性(1)求 k 的值；(2)已知() = 4+ 42()在1, + )上的最小值为2，求 m 的值21.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足1= 21= 2，2+3= 10，3+2= 7(1)求数列，的通项公式；(2)若= (+1)(+1)，求数列的前 n 项和；(3)若=+ 1(+ ) ( + 1+ + 1)，数列的前 n 项和，且 恒成立，求的最小值第 5 页，共 17 页22.定义域
6、为 R 的奇函数()同时满足下列三个条件：对任意的 ，都有( + 2) = ()；(1) = 1；对任意 m， 0,1且 ， 都有( + 2) = (1) () + ()成立， 其中0 1(1)求 a 的值；(2)求(20192) + (20203) + (20214)的值第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解： 集合 = | =4, ，集合 = | ， = 34,2,4,0，4，2，34， 中元素的个数为 7故选：C由集合 = | =4, ，集合 = | ，先求出 ，由此能求出 中元素的个数本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，
7、是基础题2.【答案】A【解析】解： =log32， 3= 2，32= 4.33= 833333232=818414=2110故选：A =log32，可得：3= 2，32= 4.33= 8.代入即可得出本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：函数 = (21)3是幂函数，则21 = 1，即22 = 0，解得 = 1或 = 2；又函数 y 是定义域内的偶函数，则 = 1故选：A根据函数 y 是幂函数得21 = 1，解方程求出 m 的值，再验证函数 y 是偶函数即可本题考查了幂函数的定义与性质的问题，是基础题第 7 页，共 17 页4.【答案】C【
8、解析】解： () = ln( +2+ 1)， () + () = ln( +2+ 1) + ln( +2+ 1) = 1 = 0， () = ()，当 0时，()单调递增，根据奇函数的对称性可知，()在(,0)上单调递增，即函数在(, + )上单调递增，由(2 + 5) + (4 + ) = 0，可得(2 + 5) = (4 + ) = (4)， 2 + 5 = 4，则2 + = 9故选：C先判断函数的奇偶性及单调性，然后结合奇偶性及单调性即可求解不等式本题主要考查函数奇偶性的判断，及利用奇函数的性质及单调性解不等式，根据对数的性质结合分子有理化是解决本题的关键5.【答案】A【解析】解：等差数
9、列，由26+ 28+16 = 210+ 212，得：16 = 210+ 2122628= (106)(10+6) + (128)(12+8) = 8(6+12),所以6+12=1+17= 2，所以17=17(1+ 17)2= 17，故选：A等差数列，由26+ 28+16 = 210+ 212，得6+12=1+17= 2，代入即可考查等差数列的性质和前 n 项和公式的应用，基础题6.【答案】D【解析】解：设 =11 + tan + tan tan tan，变形可得11 + = + 1tan tan= tan( + )， + = 15， tan( + ) = 15 = tan(4530)第 8 页
10、，共 17 页=45301 + 4530=1331 +33，11 + =1331 +33，得 =3311 + tan + tan tan tan=33故选：D设 =11 + tan + tan tan tan，变形可得11 + = + 1tan tan= tan( + )，由已知求得tan( + )，进一步求解 x 值，则答案可求本题考查两角和与差的正切，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题7.【答案】A【解析】解：(14) =232接近 0， ()的零点比14稍大，() = 41的零点为 =14，与()的零点之差的绝对值显然不大于14， 选项 A 正确；() = (1)2的零点为 =
11、 1，() = 1的零点为 = 0，() = ln(12)的零点为 =32，这三个函数的零点和()的零点的差的绝对值都大于14， 选项 B，C，D 都错误故选：A可求出(14) =232 0，且 232接近 0，并且()是 R 上的增函数，从而可判断()的零点比14稍大，然后求每个选项的零点，看哪个选项的零点符合要求即可本题考查了指数函数、一次函数的单调性，函数零点的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题8.【答案】B【解析】解：把函数 = 2的图象向右平移 t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为 = 2=22=13 2， 2= 3， =log23，故选：B由题意利用函数()的平移变换规律
12、，即()的图象向右平移 t 个单位长度后得到()的图象，求得 t 的值第 9 页，共 17 页本题主要考查函数()的平移变换规律，即()的图象向右平移 t 个单位长度后得到()的图象，属于基础题9.【答案】D【解析】解：选择的两点关于原点对称即可，如图：(1)中的 A，B 两点符合，是”创新函数“同，选择的两点关于原点对称即可，如图(2)是”创新函数“如图， = 1与()的交点，满足题意，是”创新函数“没有满足的点对，假设存在1，2 ，使得(1+ 22) =(1) + (2)2，即(1+ 22)2=21+ 222得，1=2与12矛盾，故不存在，不是”创新函数“故选：D根据条件分别进行判断即可本
13、题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键10.【答案】A【解析】解：根据题意，函数() =2 + 2 + |=421, 01, 0，其图象大致为：若(22) (23)，则有22 022 23，解可得：1 2，第 10 页，共 17 页即不等式的解集为(1,2)；故选：A根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于22 022 0)的等差数列，=1+(1)，=1+(1)，所以=1+(1)22+2(1)1，所以=1=1+(1)22+2(1)11(2)222(2)1 = 21 + (23)2= 22+2132，所以2
14、 = 12132= 1，得 =12，1=14，所以=142故答案为：142由，均为公差为 d 的等差数列，=1+(1)，=1+(1)， 联立解方程组即可第 12 页，共 17 页考查了等差数列通项公式和前 n 项和公式的应用，中档题15.【答案】|5212 5 +212，且 1【解析】 解 ： 向量与的夹角为60， 且| = 1，| = 2， = 1 2 60 = 1实数k满足 +与 + 的夹角为钝角， ( +) ( + ) 0且( +)与( + )不共线 2+2+(2+1) 0，且11，即2+5 + 1 0，且 1求得5212 5 +212，且 1，故答案为：|5212 5 +212，且 1
15、由题意利用两个向量的数量积，先求得 的值，再根据( +) ( + ) 0且( +)与( + )不共线，求出 k 的取值范围本题主要考查两个向量的数量积，两个向量共线的性质，属于中档题16.【答案】6【解析】解：由原方程组得，5 + 8 = 41518= 1，由得，log5 = 4log8，带入并整理得，(8)2284 = 0，log81+log82= 2，12= 64 = 26，log51+log52= 82 = 6，12= 56，1212= 106， lg(1212) = 6故答案为：6可根据原方程组得到5 + 8 = 41518= 1，从而消去log5可得出(8)2284 = 0， 这样根
16、据韦达定理即可得出log81+log82= 2， 进而求出12= 26，12=56，这样即可求出答案本题考查了对数的换底公式，对数的运算性质，韦达定理，考查了计算能力，属于中档第 13 页，共 17 页题17.【答案】解：(1)由题可知： = 1,2， = 1， 1 . 12+(2 + 1) 1 + (25) = 0； 2+23 = 0，解得： = 1或 = 3当 = 1时， = 1,4，满足 = 1；当 = 3时， = 1,4，满足 = 1； = 1或 = 3(2)因为 = ； = 1,2； 若 = ，则方程2+(2 + 1) + (25) = 0无根，须 = (2 + 1)24(25) 0
17、解得： 32，舍去；当 32时，= 222+2 = 2，则2= 4，解得 = 2或 = 2(舍)； 当 = 1时， = 2；当 = 1时，() = (2+ 2)22(2+ 2)2，令 = 2+ 2，则 52， = 222，当 52时，=25452 = 2，解得 =54；当 52时，= 22 = 2，解得 = 0(舍)；综上，当 = 1时， = 2；当 = 1时， =54【解析】(1)分类讨论，当()为奇函数时，由(0) = 0可解得 k 的值，当()为偶函数时，由(1) = (1)可解得 k 的值；(2)按 = 1及 = 1两种情况分类讨论即可本题考查函数的奇偶性及函数的最值，考查换元思想及分
18、类讨论思想，考查运算求解能力，难度中等21.【答案】解：(1)等差数列的公差设为 d，公比 q 为正数的等比数列，1= 21= 2，2+3= 10，3+2= 7可得1 + + 22= 10，1 + 2 + 2 = 7，解得 = 1， = 2，则= 1 + 1 = ，= 2 21= 2；2+ 1( + 2)( + 1 + 2 + 1)(2)= (+1)(+1) = ( + 1)(1 + 2)，则前 n 项和= (2 + 3 + + + 1) + (2 2 + 3 4 + + ( + 1) 2)，设= 2 2 + 3 4 + + ( + 1) 2，2= 2 4 + 3 8 + + ( + 1) 2
19、 + 1，相减可得= 4 + 4 + 8 + + 2( + 1) 2 + 1第 16 页，共 17 页= 4 +4(121)12( + 1) 2 + 1，化为= 2 + 1，则=( + 3)2+ 2 + 1；(3)若=+ 1(+ ) ( + 1+ + 1)=2+ 1( + 2)( + 1 + 2 + 1)=1 + 21 + 1 + 2 + 1，则前 n 项和=1312 + 22+12 + 2213 + 23+ +1 + 21 + 1 + 2 + 1=131 + 1 + 2 + 1恒成立，可得 13，即的最小值为13【解析】(1)等差数列的公差设为 d，公比 q 为正数的等比数列，运用等差数列和
20、等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；(2)求得= (+1)(+1) = ( + 1)(1 + 2)， 运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；(3)求得=+ 1(+ ) ( + 1+ + 1)=2+ 1( + 2)( + 1 + 2 + 1)=1 + 21 + 1 + 2 + 1， 由数列的裂项相消求和，化简可得所求和，由不等式恒成立思想可得所求最小值本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分组求和、裂项相消求和和错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题22.【答案】解：(1) ()为定义域为 R
21、的奇函数； (0) = 0；又 (1) = 1，对任意 m， 0,1且 ，都有( + 2) = (1) () + ()成立，其中0 1 (0 + 12) = (1)(0) + (1) = (1) (12) = ；同理，(0 +122) = (1)(0) + (12) = (12). (14) = 2；(12+ 12) = (1)(12) + (1) = 2+ (34) = 22，第 17 页，共 17 页(14+342) = (1)(14) + (34). (12) = (1)2+(22) = (1)2+(22)；即223 + 1 = 0又 0 1 =12(2)(20192)= (2016 +
22、 32) = (1008 +32) = (4 252 +32) = (32) = (212) = (12) = (12). ( + 2) = () ( + 4) = () = 4由(1)可知(12) =12； (14) =14(20214) = (4 126 +54) = (54) = (234) = (34) =34(20203) = (4 168 +43) = (43) = (223) = (23).由于(13+ 12) =12(13) +12= (23). 12(13) = (23)12而(13+232) =12(13) +12(23) = (23)12) +12(23) =32(23)12 (12) =32(23)12=12； 解得(23) =23 (20192) + (20203) + (20214) = (12) + (23) + (34) =12+23+34=2312【解析】(1)根据给出的条件知，(0) = 0，(1) = 1， 结合条件， 可求出(0 + 12) = (12) = ；同理据需构造出等量关系，直到能够得出关于 a 的方程，解得 a 的值即可；(2)根据对任意的 ，都有( + 2) = ()；得出()的周期为 = 4；再利用(1)得出的结论及条件，求出结果即可本题考查了抽象函数求值问题，要根据给出条件合理构造方程求解，属于中档题
