1、第 1 页，共 15 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 1,2，3， = 2,3，4，5，则 = ()A. 2,3B. 2,3C. 4,5D. 1,2，3，42.函数 =1 + 1的定义域是()A. (1, + )B. 1, + )C. (0, + )D. R3.已知函数() =24, 22, 2，若() = 8，则 = ()A. 4 或2 3B. 4 或2 3C. 3 或2 3D. 3 或2 34.下列函数中为奇函数的是()A. = |B. = +1C. =D. = 225.若 = 20.
2、5， =log3， =log222，则有()A. B. C. D. 6.方程2+ 2=2的解的个数为()A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个7.函数 = 的图象()A. 与 = 的图象关于 y 轴对称B. 与 = 的图象关于坐标原点对称第 2 页，共 15 页C. 与 = 的图象关于 y 轴对称D. 与 = 的图象关于坐标原点对称8.已知函数() = 53+2，若(2019) = 0，则(2019) = ()A. 4B. 0C. 2D. 29.函数 =1的图象可以看成由幂函数 =12的图象变换得到，这种变换是()A. 向左平移一个单位B. 向右平移一个单位C. 向上平移一个单位D.
3、 向下平移一个单位10.当 1,4时，函数() = 23 + 2的值域为()A. 1,6B. 0,6C. 14,6D. 54,611.已知定义在 R 上的函数()满足( + 1) = 3 + 1，则() = ()A. 3xB. 3 + 1C. 31D. 3212.若直线 = 2与函数 = |1|( 0且 1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是()A. (0,1)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.(278)2384 = _14.当 0且 1时，函数() = 1+1的图象经过的定点的坐标为_15.已知幂函数()的图象经
4、过点(2,14)，则(12)的值为_ 16.如图， 是边长为 2 的正三角形，记 位于直线 = (0 2)左侧的图形的面积为()，现给出函数()的四个性质，其中说法正确的是_(12) =34()在(0,2)上单调递增第 3 页，共 15 页当 = 1时，()取得最大值对于任意的 (0,2)，都有() + (2) =3三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.设全集 = ，集合 = |2 3， = |0 0，函数() = 22 + 1 + 在区间2,3上的最小值为 1，最大值为4(1)求 a，b 的值；(2)若 = ()在区间1,2上是单调函数，求实数 m 的取值范围第 4 页，共
5、 15 页19.定义 ： 区间, = | ，且 0且 1，函数() =1+ 1(1)解关于 x 的不等式() 0； (2)当 = 2时，求证：方程() = 在区间(1,2)内至少有一个根第 5 页，共 15 页22.对于在区间,上有意义的两个函数()与()，如果对任意的 ,.均有|()()| 1，则称()与()在,上是接适的，否则称()与()在,上是非接近的现有两个函数1() =log(2)与2() = 1( 0,且 1)，给定区间 + 1, + 2(1)若1()与2()在区间 + 1, + 2上都有意义，求 a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，讨论1()与2()在区间 + 1, + 2上
6、是否是接近的第 6 页，共 15 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为集合 = 1,2，3， = 2,3，4，5，所以 = 2,3，故选：B由交集的运算和题意直接求出 本题考查交集及其运算，属于基础题2.【答案】A【解析】解： 函数 =1 + 1， + 1 0， + 1 0；解得 1， ()的定义域是(1, + )故选：A根据函数 y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可本题考查了求函数定义域的应用问题，是基础题目3.【答案】C【解析】解：由于函数() =24, 22, 2，() = 8， 224 = 8， 22= 8解得 = 2 3，解可得 = 3，故选：C由题
7、意可得 224 = 8， 22= 8.分别解解、，求得 a 的值本题主要考查函数的零点的求法，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题4.【答案】B第 7 页，共 15 页【解析】解：由于函数 = () = |的定义域为 R，且满足() = | = | = ()，故函数为偶函数，故排除 A由于函数 = () = +1的定义域为(,0) (0, + )，且满足() = +1= ()，故函数为偶函数，满足条件由于函数 = () =的定义域为0, + )， 不关于原点对称， 故函数为非奇非偶函数，故排除 C由于函数 = () = 22的定义域为 R，且满足() = 2()2= 22= ()，故函数为偶函
8、数，故排除 D，故选：B再根据函数的奇偶性的定义作出判断本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，先看函数的定义域是否关于原点对称，再看()与()的关系，再根据函数的奇偶性的定义作出判断，属于中档题5.【答案】A【解析】解： = 20.5 20= 1，0 =log3 log = 1， = 222 故选：A利用对数和指数函数的单调性即可得出本题考查了对数和指数函数的单调性，属于基础题6.【答案】C【解析】解： 2+ 2=2， 得2=22，分别作出函数 = 2和 =22的图象如图：由图象可知两个图象的交点个数为 2 个，故方程根的个数为 2 个故选：C由2+ 2=2得2=22，分别作出函数 = 2和 =
9、22的图象，利用数形结合即可得到方程根的个数本题主要考查方程根的个数的判断，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象第 8 页，共 15 页的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想7.【答案】D【解析】【分析】函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题函数 = 与 = 相同时，y 互为相反数，故可考虑点(,)和点(,)的对称问题；同理 = 的图象与 = 的图象的对称问题考虑点(,)和点(,)的对称本题考查函数图象的对称问题，函数图象的对称问题，往往转化为点的对称问题处理【解答】解：因为点(,)和点(,)关于 x 轴对称，所以 = 的图象与 = 的图象关于 x 轴对称，故
10、 A 和 B 错误；因为点(,)和点(,)关于原点对称，所以 = 的图象与 = 的图象关于坐标原点对称故选：D8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的应用，解题的关键是发现() + () = 4的规律由已知可得，() + () = 4，结合(2019) = 0可求(2019)【解答】解：() = 53+2， () = 5+3+2， () + () = 4， (2019) = 0，则(2019) = 4故选：A9.【答案】B【解析】解： 函数 =1 = (1)12， 函数 =1的图象可以看成由幂函数 =12的图象向右平移 1 个单位得到第 9 页，共 15 页故选：B化根式为分数指
11、数幂，再由函数图象的平移法则(左加右减)得答案本题考查函数图象的平移变换，函数图象的平移变换满足“左加右减”，是基础题10.【答案】C【解析】解： 函数 = 23 + 2的对称轴 =32，开口向上， ()在1,4上先减后增，故当 = 4时，函数取得最大值为 6，当 =32时，函数取得最小值为14，故函数的值域为14,6，故选：C由条件利用二次函数的性质求得函数 = 23 + 2在1 4上的最值即可求解本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，属基础题11.【答案】D【解析】解： ( + 1) = 3 + 1 = 3( + 1)2，则() = 32，故选：D由( + 1) =
12、 3 + 1 = 3( + 1)2，然后利用配凑法即可求解本题主要考查了利用配凑法求解函数解析式，属于基础试题12.【答案】B【解析】解： = |1|的图象由 = 的图象向下平移一个单位，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方得到，分 1和0 1时不合题意；0 1时，需要0 2 1，即0 1和0 1两种情况分别作图本题考查指数函数的变换，形如 = |()|的图象的作法：先做出 = ()的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方13.【答案】29【解析】解：原式 = (23)3 (23)2428=4923= 29故答案为：29利用指数与对数函数的运算性质即可得出本题考查了指数与对数函数的
13、运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.【答案】(1,2)【解析】解：当 = 1时，(1) = 11+1 = 0+1 = 2， 函数() = 1+1的图象一定经过定点(1,2)故答案为：(1,2)利用0= 1( 0)，取 = 1，得(1) = 2，即可求函数()的图象所过的定点本题考查了含有参数的函数过定点的问题， 自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点15.【答案】4【解析】解：设幂函数() = = (为常数)，则14= 2，解得 = 2 () =12 (12) =1(12)2= 4故答案为：4设幂函数() = = (为常数)，则14= 2，解得即可得出本题考查了幂函数的定义
14、及其函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题第 11 页，共 15 页16.【答案】【解析】解：由图形知，当0 1时，此时满足条件的图形面积为：() =12 tan3=322；当1 2时，此时满足条件的图形面积为：() =12 2 1 tan312 (2) (2) tan3=332(2)2； 函数() =322,0 132(2)2+3,1 2 (12) =32(12)2=38，故错误； ()在(0,1上单调递增，()在(1,2上单调递增，且图象是连续不断的； ()在(0,2上单调递增，正确；由于()在(0,2上单调递增， ()在 = 2时有最大值；故错误；对于任意的 (0,2)，() +
15、 (2)表示了整个正三角形的面积 3， () + (2) =3正确；故正确故答案为：结合图形，求出0 1时和1 2时满足条件的图形的面积，用分段函数表示()的解析式；本题考查分段函数的解析式的求法，考查求分段函数的单调性，最值，以及运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题17.【答案】解：(1) 全集 = ，集合 = |2 3， = |0 5， = |2 5， = | 0或 5，则 () = |2 0；(2) = |2 5， = |0 3， = | 且 = |2 0或3 0， () = 22 + 1 + 的开口向上，对称轴 = 1，故函数在区间2,3上单调递增， 最小值为(2) = + 1
16、 = 1，最大值(3) = 3 + + 1 = 4， = 0， = 1，(2)由(1)可知 = () = 2( + 2) + 1的对称轴 = + 22， ()在区间1,2上是单调函数， + 22 2或 + 22 1， 2或 4，故 m 的范围为2, + ) (,4/【解析】(1)由已知可知，() = 22 + 1 + 的开口向上，对称轴 = 1，然后结合函数在区间2,3上的单调性，可判断函数取得最值的情况，即可求解，(2)由(1)可知 = () = 2( + 2) + 1的对称轴 = + 22，然后由()在区间1,2上是单调函数，可判断对称轴与区间的位置，即可求解本题主要考查了二次函数闭区间上
17、的最值求解， 解题的关键是确定二次函数的对称轴与已知区间的位置关系19.【答案】解：(1) 区间 A 的“长度”为 3，log22 = 3，即log2 = 5，解得： = 32；(2)由1 04 0，解得：1 4， = 1,4，若 = ，则 ，则log2 4，解得：0 01 0得，1 1且 0， ()的定义域为|1 1，且 0，定义域关于原点对称，又() = 1lg(1) + lg(1 + ) = 1lg(1 + ) + lg(1) = ()， ()是奇函数；(2)设1，2 (0,1)，且12，则：(1)(2) =11lg(1 + 1) + lg(11)12+ lg(1 + 2)lg(12)=
18、2112+lg(1 +2)lg(1 +1) + lg(11)lg(12)， 0 12 0，12 0，1 +2 1 +1 0，11 12 0，2112 0,lg(1 +2)lg(1 +1) 0，lg(11)lg(12) 0， (1)(2) 0，即(1) (2)， ()在(0,1)上单调递减，且()在(1,0) (0,1)上是奇函数， ()在(1,0)上单调递减【解析】(1)容易求出()的定义域为|1 1，且 0，并且可求出() = ()，从而得出()为奇函数；(2)根据单调性的定义，设1，2 (0,1)，并且1 0，即1+ 1 0， +1 0， 不等式转化为：1 0 1 = 0，当 1时， 0；
19、当0 1时， 1时，不等式的解集：| 0；当0 1时，不等式的解集为：| 0，(2) =22122+ 12 =353 0，通过转化为指数不等式求解即可；(2)令() = ()，根据(1) 0、(3) 0 + 22 0 + 1 0 + 2 0，即 1 2， 0 1 的取值范围是(0,1)(2)设() =1()2() =log(2)1=log(2)()，若() =1()2()在区间 + 1, + 2上是接近的，则|log(2)()| 1，即 (2)() 1， 0 1 2 + 1 + 2， = (2)()在 + 1, + 2上单调递增，= 42，= 1， 满足1 42 1，即 12 2 +22或 222， 0 222，即当0 222时，1()与2()在区间 + 1, + 2上是接近的，当222 1时，1()与2()在区间 + 1, + 2上不接近第 15 页，共 15 页【解析】(1)根据1()与2()在区间 + 1, + 2上都有意义， 利用对数函数成立的条件即可求 a 的取值范围；(2)根据函数接近的定义进行判断即可本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用综合性较强，难度较大
