1、第 1 页，共 17 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.抛物线 = 22的焦点坐标为()A. (1,0)B. (14,0)C. (0,14)D. (0,18)2.若,构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()A. + ，B. ， + ，C. + ，D. + ， + + ，3.方程22= + 表示的曲线是()A. 一个点B. 一条直线C. 两条直线D. 双曲线4.如图， 在平行六面体1111中， AC 与 BD的交点为.设11= ，11= ，1 = ，则下列向量中与21相等的向量是()A. + +2B.
2、+ +2C. +2D. + +25.曲线225+29= 1与曲线225+29= 1( 0, 0)的离心率 = 2，若 A，B，C 是双曲线上任意三点，且 A，B 关于坐标原点对称，则直线 CA，CB 的斜率之积为()A. 2B. 3C. 3D. 612.已知空间直角坐标系中，P 是单位球 O 内一定点，A，B，C 是球面上任意三点，且向量，两两垂直，若 = + + 2(注 ： 以 X 表示点 X 的坐标)，则动点 Q 的轨迹是()A. O 为球心， 22为半径的球面B. O 为球心， 322为半径的球面C. P 为球心， 22为半径的球面D. P 为球心， 322为半径的球面二、填空题（本大题
3、共 3 小题，共 15.0 分）13.双曲线422+64 = 0上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1， 则点 P 到另一个焦点的距离等于_第 3 页，共 17 页14.已知 PA、PB、PC 是从 P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是_15.已知椭圆24+29= 1，一组平行直线的斜率是32，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）16.已知空间三点(0,2，3)，(2,1，6)，(1,1,5)()求以 AB、AC 为边的平行四边形的面积；()若向量分别与、垂直，
4、且| =3，求的坐标17.设抛物线2= 2( 0)上的点 M 与焦点 F 的距离为52，到 y 轴的距离为2 (1)求抛物线的方程和点 M 的坐标；(2)若点M位于第一象限， 直线 = 2与抛物线相交于A， B两点， 求证 ： 18.如图，在三棱锥中，G 是 的重心(三条中线的交点)，P 是空间任意一点(1)用向量，表示，并证明你的结论；第 4 页，共 17 页(2)设 = + +，x，y， ，请写出点 P 在 的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明)19.已知动点 M 与定点(,0)的距离和 M 到定直线 l： =2的距离的比是定值(其中 0， 0)(1)求动点 M 的轨迹方程；(
5、2)当 a，c 变化时，指出(1)中轨迹方程表示的曲线形状20.如图，四边形 ABCD 为梯形，四边形 CDEF 为矩形，平面 平面 CDEF， = = 90， = = =12，M 为 AE 的中点第 5 页，共 17 页(1)证明：/平面 MDF；(2)求平面 MDF 与平面 BCF 的夹角的大小21.已知直线 l： + 2 = 0经过椭圆 E：22+22= 1( 0)右焦点，且与椭圆相交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，OM 的斜率为13(为坐标原点)(1)求椭圆的方程；(2)若直线 l 与圆 C：2+ 2= 2( 0)相切，且圆 C 的动切线与椭圆 E 相交于 P，Q两点，求 面积
6、的最大值第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得2=12 焦点在 y 轴， =14 焦点坐标为(0,18)故选：D先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和 p，进而求得焦点坐标本题主要考查了抛物线的简单性质求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向2.【答案】C【解析】解：由平面向量基本定理得：对于 A 选项， =12( + ) +12()，所以 + ，三个向量共面；对于 B 选项，同理：， + ，三个向量共面；对于 D 选项， + + = ( + ) + ()，所以三个向量共面；故选：C由平面向量基本定理判断本
7、题考查平面向量基本定理，属于基础题3.【答案】C【解析】解：因为：22= + ； 22( + ) = 0，即( + )(1) = 0； + = 0或者1 = 0； 方程22= + 表示的曲线是两条直线故选：C先把已知条件转化，再根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 即可求出结论本题考查曲线与方程，重点是对于方程的理解，属于基础题第 7 页，共 17 页4.【答案】A【解析】解：由题意得，平行六面体1111中，21 = 2(1 + ) = 2(1 +12) = 21 + + = 2111+ 11= + +2；故选：A在平行六面体1111中，根据空间向量的加法合成法则，对向量1进行线性表
8、示即可本题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题5.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【解答】解：曲线225+29= 1表示焦点在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6，离心率为45，焦距为8 的椭圆曲线225+29= 1( 9)表示焦点在 x 轴上，长轴长为2 25，短轴长为2 9，离心率为425，焦距为 8 的椭圆对照选项，可知 D 正确故选：D6.【答案】B【解析】解：平面，的法向量分别为1和2，若两个平面的夹角为，两平面夹角范围是0,2，则 =|1 2|1|2|
9、故选：B直接利用已知条件写出二面角的余弦值即可本题考查空间向量的数量积求解二面角的公式，是基本知识的考查，基础题第 8 页，共 17 页7.【答案】D【解析】解：由2+ 28 + 12 = 0，得(4)2+ 2= 4，画出圆2+ 2= 1与(4)2+ 2= 4的图象如图，设圆 P 的半径为 r， 圆 P 与圆 O 和圆 M 都外切， | = + 2，| = + 1，则| = 1 4， 点在以 O、M 为焦点的双曲线的左支上，故选：D化圆的一般方程为标准方程，画出图形，由动圆与两定圆圆心距及半径的关系结合双曲线定义得答案本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，考查双曲线的定义，是基础题8.【答案】
10、A【解析】解： (4,1，9)，(10,1,6)，(2,4，3)， = (6,2,3)， = (2,3，6)， = (8,5，3)， | =36 + 4 + 9 = 7，| =4 + 9 + 36 = 7，| =64 + 25 + 9 = 7 2， | = |，且|2+|2= |2， 以点(4,1，9)，(10,1,6)，(2,4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形故选：A分别求出 = (6,2,3)， = (2,3，6)， = (8,5，3)，再求出模，由此能求出结果本题考查三角形形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用9.【答案】B【解析】解：设与直线 = +
11、3平行且与抛物线相切的直线为 = + ，联立 = + 2= 4消去 x 得24 + 4 = 0， = (4)216 = 0 = 1第 9 页，共 17 页则|的最小值是312=2故选：B设与直线 = + 3平行且与抛物线相切的直线为 = + ，则可知|的最小值即为两直线的距离直线方程 = + 与抛物线方程联立，消去 x 根据判别式等于 0 求得b，根据距离公式求得答案本题考查了直线与抛物线的综合问题，以及判别式来判断直线与圆锥曲线的关系属于基础题10.【答案】B【解析】解： 直三棱柱111， = 90， 以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 点
12、1，1分别是11，11的中点， = = 1， 设 = = 1= 2，则(2,0，0)，1(1,1，2)，(0,2，0)，1(0,1，2)，1= (1,1，2)，1= (0,1,2)，设1与1所成角为，则 =|1 1|1| |1|=356=3010 1与1所成角的余弦值为3010故选：B第 10 页，共 17 页以 C 为原点，CB 为 x 轴，CA 为 y 轴，1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出1与1所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用11.【答案】B【解析】解：由题意，设(1,1)，(2,2)，则(1,1)，则2
13、12212= 1，222222= 1，两式相减可得21222122=22，=12121+ 21+ 2=21222122=22=222= 21 = 3故选：B设出点 A，B、C 的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，两式相减，再结合=21222122=22=222= 21.即可求得结论本题考查双曲线的几何性质：离心率的求解，考查了点差法，属中档题12.【答案】B【解析】解 ： 由 = + + 2得， = () + () + ()，即 = + + 又，两两垂直，所以 Q 是以 PA，PB，PC 为三条相邻棱的长方体中与顶点 P 相对的顶点由 = + + + ，得2=2+2+2+2+2 ( + +
14、).( )又 = + ，所以1 =2=2+2+2 ，同理1 =2=2+2+2 ，1 =2=2+2+2 三式相加，得3 = 32+2+2+2+2 ( + + )，代入( )式，得2= 322，即| =322(定值)所以，动点 Q 的轨迹是以 O 为球心， 322为半径的球面故选：B第 11 页，共 17 页利用已知条件推出2= 322，| =322然后说明结果即可本题考查空间几何体的特征，空间向量的应用，距离公式的应用，是中档题；本题也可以采用排除法分别考虑 P 与 O 重合和点 P 在球面上两种极端情形，研究即得答案13.【答案】17【解析】解：将双曲线422+64 = 0化成标准形式：264
15、216= 1 2= 64，2= 16P 到它的一个焦点的距离等于 1，设1= 1 |12| = 2 = 16 2= 1 16 = 17(舍负)故答案为：17首先将双曲线方程化成标准方程，从而得出参数 a、b 的值，然后根据双曲线的定义得出|12| = 2，根据题中的已知数据，可以求出点 P 到另一个焦点的距离本题考查了双曲线的定义与标准方程，属于基础题利用圆锥曲线的第一定义解题，是近几年考查的常用方式，请同学们注意这个特点14.【答案】33【解析】 解 ： 在 PC 上任取一点 D 并作 平面 APB， 则就是直线 PC 与平面 PAB所成的角 过点 O 作 ， ，因为 平面 APB，则 ，
16、， = ， ，因为 = = 60，所以点 O 在的平分线上，即 = 30设 = 1， = 30 =130=233在直角 中， = 60， = 1，则 = 2在直角 中， =233， = 2.则cos =33即直线 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是33过 PC 上一点 D 作 平面 APB，则就是直线 PC 与平面 PAB 所成的角能证明点 O 在的平分线上，通过解直角三角形 PED、DOP，求出直线 PC 与平面 PAB第 12 页，共 17 页所成角的余弦值本题考查直线与平面所成角的求法， 直线与直线的垂直的证明方法， 考查空间想象能力，计算能力、转化能力15.【答案】 = 32( 2
17、 2)【解析】解：设这组平行直线的方程为 =32 + ，联立 =32 + 24+29= 1，整理得182+12 + 4236 = 0，则1+2= 23，所以它们与椭圆交点的中点坐标为(13,12)，即这些点均在 = 32( 2 2)上，故答案为： = 32( 2 2).运用中点坐标公式和参数方程，消去 m，即可得到所求的结论本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题16.【答案】解：() = (2,1,3), = (1,3,2),| =14,| =14cos = | |=12， = 60(4分) = 2 1214
18、1460 = 7 3(6分)()设 = (,y，)， , ,且| =3(8分)2 + 3 = 03 + 2 = 02+ 2+ 2= 3,解得 = 1 = 1 = 1或 = 1 = 1 = 1(11分) = (1,1，1)或 = (1,1,1)(12分)【解析】(1)以 AB、AC 为边的平行四边形的面积我们选择 = | |，其中是,的夹角(2)设出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程组，解出即可本题考查向量背景下平行四边形的面积及向量垂直的充要条件17.【答案】解：(1)由抛物线的定义知，点 M 到准线 = 2的距离为52即有2+2 =52解之，得( 1)( +5) = 0， = 1第 13
19、 页，共 17 页所以，抛物线的方程为2= 2，点 M 的坐标为(2,2)或(2,2)(2)证明：联立直线 = 2与抛物线2= 2的方程， = 22= 2解之，得 = 3 +5 = 15或 = 35 = 1 +5，即(3 +5,1 5)，(3 5,1 +5)或(3 5,1 +5)，(3 +5,1 5)又(2,2)，所以=351 +53 +515=(3)2515= 1故 【解析】(1)由抛物线的定义知2+2 =52.解得 = 1.即可(2)联立直线 = 2与抛物线2= 2的方程， = 22= 2.解之得即(3 +5,1 5)，(3 5,1 +5)或(3 5,1 +5)，(3 +5,1 5)即可得
20、=351 +53 +515=(3)2515= 1.即可证明本题考查了抛物线性质，斜率公式，考查了运算能力，属于中档题18.【答案】解：(1) =13( + + )证明如下： = + = +23= +2312( + ) = +13() + () =13( + + )(2)设 = + +，x，y， ，则点 P 在 的内部(不包括边界)的充分必要条件是： + + = 1，且0 1，0 1，0 1【解析】(1)由题意根据空间向量的加法法则推出向量，使得它用基底,表示即可；(2)设 = +，x， ，则点 P 在直线 AB 上的充分必要条件是： + = 1，且0 1，0 0， 0，所以当 = 0时，()2
21、+ 2=22(2)2化为 = 0，它表示的曲线是直线 x 轴；当 0时，()2+ 2=22(2)2化为22+222= 1，它表示中心在原点，焦点在x 轴上，长半轴长为 a，短半轴长为 22的椭圆；当 0时，()2+ 2=22(2)2化为22222= 1， 它表示中心在原点， 焦点在 x轴上，实半轴长为 a，虚半轴长为 22的双曲线【解析】(1)设出 M 的坐标利用已知条件列出方程，化简求解即可(2)通过 a，c 的大小关系，化简方程，然后推出结果即可本题考查圆锥曲线的轨迹方程的求法，考查转化思想以及计算能力20.【答案】证明：(1)(法1)连结 CE 与 DF 相交于 N，连结 MN因为四边形
22、 CDEF 为矩形，所以 N 为 CE 中点又 M 为 AE 的中点，所以，在 中，/ 平面 平面/平面 MDF(法2)因为四边形 CDEF 为矩形，且 M 为 AE 的中点，所以 = = ()(2) = 2，从而与，是共面向量又 /平面 MDF，所以/平面 MDF解：(2)因为四边形 CDEF 为矩形，所以 又平面 平面 CDEF， 平面 CDEF，平面 平面 = ，所以 平面 ABCD第 15 页，共 17 页而 = 90，所以，以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图设 = ，由已知，得 = (2,0,2)， = (0,2,)， =
23、(,0)，= (0,0,)设平面 MDF 的一个法向量为1= (,y，)，则1 ，且1 ，所以1 = 0，且1 = 0，即2 +2 = 02 + = 0，取 = 2，得 = 2， = 1，即1= (2,1，2)同理，可求得平面 BCF 的一个法向量为2= (1,1，0)cos1,2 =1 2|1|2|=2 1 + 1 1 + (2) 022+ 12+ (2)212+ 12+ 02=22所以，平面 MDF 与平面 BCF 的夹角为45【解析】(1)(法1)连结 CE 与 DF 相交于 N，连结.说明/.推出/平面MDF(法2)说明 = = 2，推出与，是共面向量即可证明/平面 MDF(2)以 D
24、 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DE 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 = ，求出平面 MDF 的一个法向量，求出平面 BCF 的一个法向量，通过空间向量的数量积求解平面 MDF 与平面 BCF 的夹角即可本题考查空间向量的数量积的应用，二面角以及直线与平面平行的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理计算能力，是中档题21.【答案】解：(1)设(1,1)，(2,2)，则212+212= 1222+222= 1，第 16 页，共 17 页两式相减并整理，得12121+ 21+ 2= 22，即= 22所以22= 1 13= 13.又直线 l： + 2 = 0与 x 轴的交点为
25、( 2,0)，由已知，得22= 2.联立，解得2= 3，2= 1所以，椭圆的方程为23+ 2= 1(2)由直线 l： + 2 = 0与圆 C：2+ 2= 2( 0)相切，得|0 + 02|12+ 12= ，所以 = 1，圆 C：2+ 2= 1又设动切线 PQ： = + ，(注：如果设为斜截式，需分斜率存在和不存在两种情况讨论，若未讨论酌情扣分)由 = + 23+ 2= 1，消去 x，得(2+3)2+2 + 23 = 0所 以 | =1 + 2|12| =1 + 2(2)24(2+ 3)(23)2+ 3=1 + 223 22+ 32+ 3又直线 PQ： = + 与圆 C：2+ 2= 1相切，所以
26、|1 + 2= 1，即2= 1 + 2 1，从而| = 2 6|2+ 2所以， 面积 =12| 1 =6 |2+ 2=6| +2|62 | 2|=32令| =2|，解得| =2 1，相应的| = 1所以，使 面积最大的直线 PQ 共有四条： +2 = 0和 2 = 0故 面积的最大值为32【解析】(1)设(1,1)，(2,2)，利用平方差法求出直线的斜率，得到直线方程，转化求解 a，b 推出结果(2)由直线 l： + 2 = 0与圆 C：2+ 2= 2( 0)相切，得|0 + 02|12+ 12= ，求出圆的方程， 设动切线 PQ： = + ， 由 = + 23+ 2= 1， 消去 x， 得(2+3)2+2 +23 = 0.利用弦长公式转化求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可本题考查直线与题意的方程的位置关系的综合应用，题意的简单性质的应用，考查转化第 17 页，共 17 页思想以及计算能力，是中档题
