1、第 1 页，共 16 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 11 小题，共 55.0 分）1.已知全集 = 1,0，1，2， = 1,1，则集合 = ()A. 0,2B. 1,0C. 0,1D. 1,22.命题“ (0, + )， +1 3”的否定是()A. (0, + )， +1 3B. (0, + )， +1 3C. (0, + )， +1 3D. (0, + )， +1 33.设 ，则“|3| 2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知()是定义在 R 上的偶函数，且在(0, +
2、)是增函数，设 = (3)， = ()， = (1)，则 a，b，c 的大小关系是()A. B. C. D. 0恒成立，则实数 m 的取值范围是()A. 2,6B. 2,6) 2C. (,2) 2，6)D. 2,6)7.读书能陶冶我们的情操，给我们知识和智慧我国古代数学名著算法统宗中有以下问题 ： 毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本，要分每样几多书，就见学生多少数，请君布算莫踌躇由此可推算，学生人数为()A. 120B. 130C. 150D. 1808.已知 a，b 为正实数，则下列判断中正确的个数是()若1；若 + = 1，则1+4的最小值是 1
3、0；( +1)( +1) 4；函数 = +1 + 1的最小值为 1A. 1B. 2C. 3D. 49.定义在 R 上的奇函数()在0, + )是减函数，且(2) = 1，则满足1 (1) 1的 x 的取值范围是()A. 2,2B. 2,1C. 1,3D. 0,210.关于 x 的方程52( + 9) + 22 = 0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则实数 a 的取值范围是()A. (3,1)B. (1 7,1) (3,1 +7)C. (2,1) (2,3)D. (2,6)11.已知函数()满足(2) + (2 + ) = 6，() =312，且()与()的图象交点为(1,1)，(2,
4、2)，(8,8)，则1+2+ +8+1+2+ +8的值为()A. 20B. 24C. 36D. 40二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）第 3 页，共 16 页12.函数() = + 2 +11的定义域为_13.已知函数()是定义域为 R 的奇函数，当 0时，() = (1)，则(2) =_14.已知不等式2+ + 0的解集为|2 6，则不等式2+ + 0)，若不等式() 1的解集为(,1) 0， +)(1)求实数 a 的值；(2)证明函数()在0, + )上是增函数第 4 页，共 16 页18.已知函数() =2 + 3,(0 2)24 + 3,( 2)，() = (|)(1)
5、判断()的奇偶性，在给定的平面直角坐标系中，画出函数()的大致图象；并写出该函数的单调区间；(2)若函数() = ()有两个零点，求 t 的取值范围19.已知函数() = 2+(1)( )(1)解关于 x 的不等式() 0；(2)若 1,1，() 0恒成立，求实数 x 的取值范围20.第二届中国国际进口博览会于 2019 年 11 月 5 日至 10 日在上海国家会展中心举行，来自 151 个国家和地区的 3617 家企业参展，规模和品质均超过首届更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”，专(业)精(品)尖(端)特(色)产品精华荟萃某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲
6、企业计划在 2020年与该跨国公司合资生产此款空调 生产此款空调预计全年需投入固定成本 260 万第 5 页，共 16 页元， 每生产x千台空调， 需另投入资金()万元， 且() =102+ ,0 4090129450 + 10000, 40.经测算生产 10 千台空调需另投入的资金为 4000 万元由调研知，每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完(1)求 2020 年的企业年利润()(万元)关于年产量(千台)的函数关系式；(2)2020年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少？注：利润 = 销售额成本21.已知二次函数 = ()满足 ： ， 有(1)
7、 = (1 + )；(0) = 3； = ()的图象与 x 轴两交点间距离为 4(1)求 = ()的解析式；(2)记() = () + + 5， 1,2()若()为单调函数，求 k 的取值范围；()记()的最小值为()，讨论(24) = 的零点个数第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为全集 = 1,0，1，2， = 1,1，所以： = 0,2，故选：A直接求补集本题考查补集，属于基础题2.【答案】C【解析】解：命题“ (0, + )， +1 3”的否定是：否定限定量词和结论，故为： (0, + )， +1 3，故选：C命题的否定是：否定限定量词和结论考查命题
8、的否定，基础题3.【答案】A【解析】解：由|3| 1， 1 3 1，解得2 4则由“2 2”，由“ 2”推不出“2 4”，则“|3| 2”的充分不必要条件；故选：A由| + 3| 1，化为1 + 3 1，即可解出，根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】D【解析】解： ()是定义在 R 上的偶函数，且在(0, + )是增函数， ()在(,0)上单调递减，距对称轴越远，函数值越大，第 7 页，共 16 页 (1) (3) ()，则 0恒成立，当24 = 0且 + 2 0，即 = 2时，14
9、 0对 恒成立， = 2满足题意；当 2且 2时，则有24 0= (2)24(2) 0，解得2 6综合，可得2 6，故实数 m 的取值范围为2,6)，故选：D对 m 进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可得到实数 m 的取值范围本题考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，同时考查了二次函数的相关性第 8 页，共 16 页质，研究二次函数时，要抓住开口方向，对称轴以及判别式等属于中档题7.【答案】A【解析】解：本题的大意为：毛诗、春秋和周易共 94 本，3 个人读毛诗一册，4 个人读春秋一册，5 个人读周易一册，问由多少个学生？94 (13+14+15)= 94 4760=
10、 120(人)故选：A本题的大意为 ：毛诗、春秋和周易共 94 本，3 个人读毛诗一册，4 个人读春秋一册，5 个人读周易一册，问由多少个学生？本题考查简单的逻辑推理，属于基础题8.【答案】B【解析】解：已知 a，b 为正实数，1 ，所以正确；1+4= (1+4) ( + ) = 1 + 4 +4+1 5 + 24= 9，所以不正确； +1 2 1= 2，同理 +1 2， ( +1)( +1) 4，所以正确； = +1 + 1= + 1 +1 + 11 2 ( + 1) 1 + 11 = 1，当且仅当 + 1 =1 + 1，即 = 0时取等号，而 0，所以 1，不能取等号，所以不正确故选：B由
11、大前提及均值不等式可分别判断所给命题的真假考查均值不等式的应用属于简单题9.【答案】C【解析】解：由奇函数()在0, + )是减函数，可知()在(,0)是减函数，从而可得，()在 R 上单调递减，由(2) = 1，可知(2) = 1， (2) = 1 (1) 1 = (2)， 2 1 2，解可得，1 3，即解集为1,3 第 9 页，共 16 页故选：C由已知可得，可得，()在 R 上单调递减，然后结合(2) = 1，(2) = 1，从而可求本题主要考查了利用奇函数的性质及函数的单调性求解不等式，属于基础试题10.【答案】B【解析】解：设函数() = 52( + 9) + 22， 方程52( +
12、 9) + 22 = 0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内， 函数() = 52( + 9) + 22的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，(0) 0(1) 0，即22 0226 0，解得：1 7 1或3 1 +7，故选：B由方程52( + 9) + 22 = 0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，得到函数() = 52( + 9) + 22的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，根据函数()的图象列出不等式组，即可解出 a 的取值范围本题主要考查了二次方程与二次函数的关系，以及二次函数的图象和性质，是基础题11.【答案】D【解析】解：函数()满足(2) + (2 +
13、 ) = 6的对称中心为(2,3)，函数() =312= 3 +52也关于(2,3)中心对称，则若交点为(1,1)时，(41,61)也为交点， 若交点为(2,2)时，(42,62)也为交点，所以1+2+ +8+1+2+ +8= (1+1) + (2+2) + + (8+8)=12(1+1) + (41+61) + (2+2) + (42+62) + + (8+8) + (48+68) = 40故选：D利用条件可知()，()均时关于(2,3)中心对称，则若交点为(1,1)时，(41,61)也为交点，进而可求和本题考查抽象函数的运用 ： 求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中
14、档题第 10 页，共 16 页12.【答案】2,1) (1, + )【解析】解：由题意得： + 2 01 0，解得： 2且 1，故函数的定义域是2,1) (1, + )，故答案为：2,1) (1, + )根据二次根式以及分母不为 0，求出函数的定义域即可本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题13.【答案】2【解析】解：因为()是定义在 R 上的奇函数，且当 0时，() = 2，所以(2) = (2) = (24) = 2，故答案为：2根据奇函数得(2) = (2)，代入已知函数解析式求值即可本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题14.【答案】| 12【解析】解：不
15、等式2+ + 0的解集为|2 6，所以方程2+ + = 0的解为 2 和 6，且 0；由根与系数的关系得，2 + 6 = 2 6 = 0，解得 = 8， = 12，且 0；所以不等式2+ + 0，解得 12，所以所求不等式的解集为| 12.故选：| 12.根据不等式于对应方程的关系，利用根与系数的关系求得 b、a、c 的关系，代入所求的第 11 页，共 16 页不等式中，化简即可求出对应不等式的解集本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题15.【答案】12,12【解析】解： (,)在函数 = 122的图象上， = 122， 1, + 1，都有 1221,122+1， + 1
16、0， 即 1时， = 122在1, + 1上单调递增， 12(1)2,12( + 1)2， 12(1)2,12( + 1)2 1221,122+1，12(1)2 122112( + 1)2 122+ 1，解得 12，又 1， 这种情况不合题意； + 1 01 0，即1 1时，由 1, + 1可得 12(1)2,0或 12( + 1)2,0， 12(1)2,0 1221,122+1且12( + 1)2,0 1221,122+1，12(1)2 122112( + 1)2 1221122+ 1 0，解得12 12，1 0，即 1时， = 122在1, + 1上单调递减， 12( + 1)2,12(1
17、)2， 12( + 1)2,12(1)2 1221,122+1，12( + 1)2 122112(1)2 122+ 1，解得 12，又 1， 这种情况不合题意，综上得，m 的取值范围是12,12故答案为：12,12根据点(,)在函数 = 122的图象上，从而得出 1, + 1，都有 1221,122+1，从而讨论 m： + 1 0时，得出函数 = 122在1, + 1上的第 12 页，共 16 页值域为12(1)2,12( + 1)2 1221,122+1，从而可得出 m 的范围；同理，讨论1 21， 2；若 ，则 + 1 21 + 1 221 5，解得2 3，综上可得 3【解析】第一问直接求
18、出交集，补集，第二问先求出交集，再通过集合包含关系讨论本题考查集合交并补，以及集合包含关系，属于基础题17.【答案】解：(1)由题意2 + 1 1，变形2 + 1+1 =3 + 1 + 1 0，这等价于(3 + 1)( + 1) 0且 + 1 0，解得 1或 13，所以13= 0，解得 = 1(2)由(1)得() =21 + 1，任取1，2 0, + )，且1 0，那么(2)(1) =2212+ 12111+ 1=3(21)(1+ 1)(2+ 1)，21 0，(1+1)(2+1) 0， (2)(1) 0， 函数()在0, + )上是增函数【解析】(1)由题意2 + 1 1，然后转化为二次不等式
19、后，结合二次不等式与二次方程的根的关系即可求解，(2)由(1)可求()，然后结合函数单调性的定义即可判断，本题主要考查了不等式的解集与方程的根的相互关系的转化，及函数的单调性的应用，第 13 页，共 16 页属于基础试题18.【答案】解：(1)由题意知()定义域为 R，关于原点对称，又() = (|) = (|) = ()， ()在 R 上是偶函数函数()的大致图象如下图：观察图象可得：函数()的单调递增区间为：(2,0)，(2, + )，单调递减区间为：(,2)，(0,2)(2)当() = ()有两个零点时，即()的图象与直线 = 图象有两个交点，观察函数图象可得 3或 = 1【解析】(1)
20、判断函数的奇偶性，结合已知条件画出函数的图象即可(2)结合函数的图象，求解函数() = ()有两个零点，推出 t 的取值范围本题考查函数与方程的应用， 考查数形结合以及计算能力， 考查转化思想以及计算能力，是中档题19.【答案】解：(1)不等式2+(1) 0等价于()( + 1) 0，当 1时，不等式的解集为(1,)(2)2+(1) = ( + 1) + 2+，设() = ( + 1) + 2+， 1,1，要使() 0在 1,1上恒成立，只需(1) 0(1) 0，即2+ 2 + 1 0,21 0,解得 1或 1，第 14 页，共 16 页所以 x 的取值范围为| 1或 1【解析】(1)不等式2
21、+(1) 0等价于()( + 1) 0，通过 a 与1的大小比较，求解即可(2)2+(1) = ( + 1) + 2+， 设 () = ( + 1) + 2+， 1,1，要使() 0在 1,1上恒成立，只需(1) 0(1) 0，求解即可本题考查函数与方程的应用，恒成立条件的转化，考查转化思想以及计算能力，是中档题20.【答案】解：(1)由题意(10) = 10 102+10 = 4000，所以 = 300，当0 40时，() = 900(102+300)260 = 102+600260；当 40时，() = 90090129450 + 10000260 =2+ 919010000，所以() =
22、102+ 600260,0 402+ 919010000, 40(2)当0 0，所以 +10000 2 10000 = 200，当且仅当 =10000时，即 = 100时等号成立，此时() 200 + 9190 = 8990，所以()= 8990万元，因为8740 8990，所以 2020 年产量为100(千台)时，企业所获利润最大，最大利润是 8990 万元【解析】(1)根据条件将 = 10代入可求出 a，进而分段表示出()即可；(2)利用二次函数最值、基本不等式求出分段函数()的最值即可本题考查函数模型的实际应用，考查二次函数最值，基本不等式求最值等知识点，属于中档题21.【答案】解：(1
23、)设() = 2+ + ( 0)，由题意知对称轴 = 1 = 2；(0) = = 3；第 15 页，共 16 页设() = 0的两个根为1，2， 则1+2= ，12=，|12| =(1+ 2)2412=24|= 4；由解得 = 1， = 2， = 3， () = 2+23(2)()() = 2+( + 2) + 2，其对称轴 = + 22由题意知： + 22 1或 + 22 2， 0或 6()当 0时，对称轴 = + 22 1，()在1,2上单调递增，() = (1) = + 1，当6 0时，对称轴 = + 22 (1,2)，() = ( + 22) =24 + 44，当 6时，对称轴 = +
24、 22 2，()在1,2单调递减，() = (2) = 2 + 10， () = + 1, 0,24 + 44,6 02 + 10, 6，令 = 24 4，即() = ( 4)，画出()简图，)当 = 1时，() = 1， = 4或 0， 24 = 4时，解得 = 0，24 = 0时，解得 = 2，有 3 个零点)当 0，24 =1 0， = 1+ 4有 2 个零点)当1 0，3+4 0， 24 =2时，解得 = 2+ 4，24 =3时，解得 = 3+ 4，有 4 个不同的零点)当 = 2时，() = 2， = 2 = 24， = 2有 2 个零点)当 2时，() = 无解第 16 页，共 16 页综上所得： 2时无零点；1 2时，有 4 个零点； = 1时，有 3 个零点； = 2或 1时，有 2 个零点【解析】(1)直接由题意得出()的解析式；(2)写出()的解析式，()讨论 1,2单调性在对称轴的左右得出 k 的取值范围；()画函数图象，由数形结合讨论的取值得零点个数本题考查函数与方程的应用，二次函数的对称性，函数的解析式的求法，恒成立条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖，属于中难题
