1、第 1 页，共 16 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = |4 8， = |2 10，则() = ()A. |4 8B. |2 8C. |4 10D. |2 4 |8 0+ , 0且(0) = 2，(1) = 4，则(2) = ()A. 1B. 2C. 3D. 33.设是第二象限角， = 35，则 = ()A. 43B. 34C. 34D. 434.与525的终边相同的角可表示为()A. 525 360( )B. 165 + 360( )C. 195 + 360( )D. 195 + 360(
2、 )5.已知函数() = 2+4， ,5的值域是5,4， 则实数 m 的取值范围是()A. (,1)B. (1,2C. 1,2D. 2,5)6.已知tan() = 23，且 (,2)，则cos() + 3( + )cos() + 9的值为()A. 15B. 37C. 15D. 377.函数 =122 + sin2, 的值域是()第 2 页，共 16 页A. 12,32B. 32,12C. 22+12,22+12D. 2212,22128.已知0 2，2 ()，则()的单调递增区间是()A. 3, +6( )B. , +2( )C. +6, +23( )D. 2,( )二、填空题（本大题共 4
3、小题，共 20.0 分）13.函数 =4|5+13(3)的定义域为_14.函数() = ( + )( 0, 0, 0,2)的图象如图所示，则 = _ 第 3 页，共 16 页15.若奇函数()在其定义域 R 上是减函数，且对任意的 ，不等式(2 + ) + () 0恒成立，则 a 的最大值是_16.如图，O 为直线02017外一点，若0，1，2，3，2017中任意相邻两点的距离相等，设0= ，2017= ，用，表示0+ 1+ + 2017，其结果为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知集合 = |5 1，集合 = |13( + 1) 1()求() ；()若集合 = |
4、，满足 = ，求实数 a 的取值范围18.化简：(1)10(1 +370)；第 4 页，共 16 页(2)已知 a 为第三象限角，化简：11 + sin+11 + cos19.已知 =17，cos() =1314，且0 0, 0)， 4,0时的图象，且图象的最高点为(1,2).赛道的中间部分为长 3千米的直线跑道 CD，且/.赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧(1)求的值和的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪” ，矩形的一边在道路 EF 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧上，且 = ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值22.已知函
5、数() = sin( + )(其中 0， = ，| )的图象与 x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0)，又(2 + ) = (2)，(0) 0(1)求这个函数解析式；(2)设关于 x 的方程() = + 1在0,8内有两个不同根 a， 求 + 的值及 k 的取值范围第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解： 集合 = |4 8， = |2 10， = | 4或 8， () = |2 4或8 10故选：D先求出 = | 0+ , 0且(0) = 2，(1) = 4，(0) = 0+ = 2(1) = 1+ = 4，解得 =13， = 1， () =, 0(13)+
6、1, 0， (2) = (13)2+1 = 10，(2) = (10) = 10 = 1故选：A由(0) = 2，(1) = 4，列出方程组，求得 =13， = 1，从而() =, 0(13)+ 1, 0，进而(2) = (13)2+1 = 10，(2) = (10)，由此能求出结果本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.【答案】D【解析】解： 是第二象限角， = 35， =1cos2 =45，第 7 页，共 16 页 =cos= 43故选：D根据题意，利用同角三角函数的基本关系算出，可得考查了同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基
7、础题4.【答案】C【解析】解： 525 = 2 360 + 195， 195与525终边相同，由此可得与525的角终边相同的角可以写成195 + 360( )，故选：C直接利用终边相同的角的表示方法，写出结果即可本题考查终边相同的角的表示方法，是基础题5.【答案】C【解析】解： () = 2+4 = (2)2+4， 当 = 2时，(2) = 4，由() = 2+4 = 5，得245 = 0，即 = 5或 = 1， 要使函数在,5的值域是5,4，则1 2，故选：C根据二次函数的图象和性质，即可确定 m 的取值范围本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键6.【答案】A【解析】【
8、分析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题第 8 页，共 16 页由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可得解【解答】解： (,2)，tan() = = 23，可得 =23，cos() + 3( + )cos() + 9=3cos + 9=1391=13 239 231= 15故选 A7.【答案】C【解析】解： =122 + sin2 =122122 +12=22sin(24) +12，故选 C先根据二倍角公式进行化简，再由两角和与差的正弦公式化为(+ ) + 的形式，进而根据正弦函数的性质可得到答案本题考查三角函数的性
9、质，基础题本题是求有关三角函数的值域的一种通法，即将函数化为(+ ) + 或(+ ) + 的模式8.【答案】D【解析】解：由题意得，0 2，且 =45， =1sin2 =35， 2 ()，sin( + ) = sin(2 + ) = ， 0， = +6，k 只能取奇数，不妨令 = 1，此时 = 56，满足条件 03 1，即 4 5 3 4，即 4且 5，即函数的定义域为(4,5) (5, + )，故答案为：(4,5) (5, + )根据函数成立的条件，转化为不等式关系进行求解即可本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，以及不等式的解法14.【答案】4【解析】【分析】本题是
10、基础题，考查三角函数的解析式的求法，注意周期、最值，函数经过的特殊点是解题的关键；考查计算能力通过函数的图象求出 A，T 然后求出，通过函数经过(3,0)，求出的值【解答】解：由题意可知 = 3， = 8，所以 =28=4，因为函数经过(3,0)，所以3(4 3 + )， 0,2)，所以 =4故答案为：415.【答案】3【解析】【分析】本题在已知函数()的单调性和奇偶性的前提下，解决一个不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性和奇偶性、 二倍角的三角函数公式和二次函数在闭区间上求最值等知识，属于中档题根据函数是奇函数且在 R 上是减函数，将原不等式变形为2 + 2 恒成立，结合二倍角的三角函
11、数公式和二次函数在闭区间上求最值的方法， 即可得到a的最大值【解答】第 12 页，共 16 页解：不等式(2 + ) + () 0恒成立，即(2 + ) ()恒成立，又 ()是奇函数，() = ( + )， 不等式(2 + ) ( + )在 R 上恒成立， 函数()在其定义域 R 上是减函数， 2 + + ，即2 + 2 ， 2 = 122， 2 + 2 = 22 + 2 + 1= 2(12)2+32， 1,1， 当 = 1时，2 + 2有最小值3因此 3，a 的最大值是3，故答案为316.【答案】1009( + )【解析】解：直线02017 中，0，1，2，3，2017中任意相邻两点的距离相
12、等，1=20162017 +12017，2=20152017 +22017，=(2017)2017 +20170+ 1+ + 2017= +20162017 +12017 +20152017 +22017 + +12017 +20162017 + ，= +2016(1 + 2016)22017 +2016(1 + 2016)22017 + ，= 1009( + )故答案为：1009( + )根据平面向量基本定理，用和表示，代入根据等差数列前 n 项和公式求解即可本题考查平面向量的基本定理，还涉及等差数列的前 n 项和的应用，属灵活创新类题目17.【答案】解：()依题意有 = | 0， = |1
13、 0， = | 0， () = |1 0；() = ， ，第 13 页，共 16 页 = |1 2， = | ， 2【解析】()化简集合 A，B，写出与() ；()根据 = 得出 ，从而得出 a 的取值范围此题考查了交集及补集的元素，集合的包含关系判断以及应用，学生在求两集合补集时注意全集的范围，由题意得到集合 B 是集合 C 的子集是解第二问的关键18.【答案】 解 ：(1)10(1 +370) = 10(1 +37070) =10(70 +370)70，=2101020= 2；(2) 为第三象限角，则11 + sin+11 + cos，= (1)21sin2+(1)21cos2，= (1)
14、(1) = 2 + + 【解析】(1)由已知结合和差角公式，辅助角公式及二倍角公式进行化简即可求解；(2)由已知结合同角平方关系进行化简即可求解本题主要考查了和差角公式，辅助角公式及同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于基础试题19.【答案】解：(1)因为 =17，cos() =1314，且0 0 所以 =1(17)2=437， =43717= 4 3；(2)cos() =1314，且0 0， (0,2)， sin() =1cos2() =1(1314)2=3314， = cos() = () + ()=171314+3314437=12， 0 2， =3【解析】(1)通过、的范围， 利用
15、同角三角函数的基本关系式求出， 然后求出(2)求出的范围，然后求出，sin()的值，即可求解.然后求出值第 14 页，共 16 页本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查角的变化技巧，考查计算能力20.【答案】解：() () = 2 3sin()()2= 2 3sin21 + 2 = 2 3 1221 + 2= 2 32 +31 = 2(23) +31，令22 23 2 +2，求得12 +512，可得函数的增区间为12, +512， ()把 = ()的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，可得 = 2(3) +31的图象；再把得到的图象向左平移3个单
16、位，得到函数 = () = 2 +31的图象， (6) = 26+31 =3【解析】()利用三角恒等变换化简()的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间()利用函数 = ( + )的图象变换规律，求得()的解析式，从而求得(6)的值本题主要考查三角恒等变换， 正弦函数的单调性， 函数 = ( + )的图象变换规律，求函数的值，属于基础题21.【答案】解：(1)由条件，得 = 2，4= 3.(2分) =2， =6.(4分) 曲线段 FBC 的解析式为 = 2(6 +23)当 = 0时， = =3.又 =3， =4,即 =4.(7分)(2)由(1)，可知 =6又易知当“矩形草坪”的面积最
17、大时，点 P 在弧 DE 上，故 =6.(8分)设 = ，0 4，“矩形草坪”的面积为 =6( 6 6) = 6(sin2)= 6(122 +12212) = 3 2sin(2 +4)3.(13分)第 15 页，共 16 页 0 4，故当2 +4=2时, =8时,取得最大值(15分)【解析】(1)依题意，得 = 2，4= 3.根据周期公式 =2可得，把 B 的坐标代入结合已知可得，从而可求的大小；(2)由(1)可知 = ，矩形草坪的面积 S 关于的函数，有0 4，结合正弦函数的性质可求 S 取得最大值本题主要考查了在实际问题中， 由 = ( + )的部分图象确定函数的解析式， 一般步骤是：由函
18、数的最值确定 A 的值，由函数所过的特殊点确定周期 T，利用周期公式求，再把函数所给的点(一般用最值点)的坐标代入求，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解关键是要把实际问题转化为数学问题来求解22.【答案】解 ：(1)由题意 = 2是对称轴，又()的图象与 x 轴在原点右侧的第一个交点为(6,0) = 4(62) = 16， =8. sin(8 6 + ) = 0， 34+ = , ，结合(0) = 0且| 得 = 34 () = sin(834)(2)令 =834，由 0,8得 34,4所以原题即转化为() = ， 34,4与 = + 1的图象有两个不同交点的问题作出它们的图象如下：由图可知，当 = + 1的图象介于 = 1和 = 22之间时，有两个交点故1 + 1 22，即2 122时方程有两个不同的实数根1，2易知1+2= 2 (2) = ，第 16 页，共 16 页834+834= ，整理得 + = 4故 + 的值是 4，k 的取值范围为(2,122.【解析】(1)根据“第一个交点为(6,0)，又(2 + ) = (2)”可得对称轴为 = 2，进而求出周期，则可求(2)利用换元思想，即根据 x 的范围求出 = + 的范围然后利用 = 与 = + 1的图象有两个交点解决问题本题考查了三角函数的图象和性质，以及利用数形结合的思想研究函数零点的问题属于中档题
