1、第 1 页，共 14 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = |3 1 0，则 = ()A. | 5B. |1 5C. |2 1D. | ，则下列不等式一定成立的是()A. 1 5C. 2 2D. | |4.函数() =2 + 1+3的定义域为()A. (,1) (1,3B. (,3C. (1,3D. (,1)5.已知函数( + 1) = 2 + 3，则() = ()A. 2+ + 5B. 23 + 3C. 23 + 5D. 2+ + 36.设 p：0 5，q：|2| 3，那么 p 是 q 的()
2、条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要7.函数() = 2256有两个零点1，2(12)，则()第 2 页，共 14 页A. 1 (0,1)B. 1 (1,2)C. 2 (3,4)D. 2 (4,5)8.函数() = 1的部分图象大致为()A. B. C. D. 9.已知集合 = |3 1 0是 R 上的单调函数，则 a 的取值范围是()A. (0,1B. (0, + )C. (,0)D. 1, + )11.设 2， 0，若 + = 3，则12+1的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数( + 3)为奇函数，且对任意不相等的实数 a，b，都有(
3、)() 0的解集为()A. (,12)B. (12, + )C. (,72)D. (72, + )二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设全集 = 0,1， 2， 3， 4， 5，6， 集合 = 0,1， 3，5， = 0,2， 3，4， 则 () = _第 3 页，共 14 页14.已知函数() = 22是定义在2, + 2上的偶函数，则(2) = _15.不等式243 0的解集为_16.若函数() =1228在1,2上单调递减，则正数 k 的取值范围为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知集合 = |22 = 0， = |2+ + 23 = 0 (
4、1)若 = 0，求 ；(2)若 = ，求 a 的取值集合18.已知函数() = +，点(1,5)，(2,4)是()图象上的两点(1)求 m，n 的值；(2)用定义法证明：()是2, + )上的增函数19.(1)已知 ，且 + + = 0，证明：(2)用分析法证明： 2 1 3第 4 页，共 14 页20.已知关于 x 的不等式2(2 + 1) + 2 0，其中 (1)当 = 1时，求原不等式的解集；(2)当 0时，求原不等式的解集21.2019 年，随着中国第一款 5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段已知某 5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律 ： 每生产手机(0 10)
5、万台， 其成本为()， 其中固定成本为 800 万元， 并且每生产 1 万台的生产成本为 1000万元(总成本 = 固定成本 + 生产成本)，销售收入()万元满足() =4002+ 4200,0 520003800,5 10，(1)将利润()表示为产量 x 万台的函数；(2)当产量 x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？第 5 页，共 14 页22.已知二次函数() = 2(2 + 1) + (1)若方程() = 0有两个不等的实根1，2，且1 1 0 2 1，求 m 的取值范围；(2)若对任意的 1,2，() 2恒成立，求 m 的取值范围第 6 页，共 14 页答案和解析答案和
6、解析1.【答案】C【解析】解： = |2 5， = | 1， = |2 ，则1与1的大小关系不确定；由函数 = 5在 R 上单调递增， 5 5； = 0时，2= 2；取 = 1， = 2，| |不成立因此只有 B 成立故选：B利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】A【解析】解：函数() =2 + 1+3，令 + 1 03 0，解得 3且 1；第 7 页，共 14 页所以函数()的定义域为(,1) (1,3故选：A根据函数()的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可本题考查了利用函数解
7、析式求定义域的问题，是基础题5.【答案】C【解析】解： ( + 1) = 2 + 3，令 + 1 = ，则 = 1， () = (1)2(1) + 3 = 22 + 1 + 1 + 3 = 23 + 5，则() = 23 + 5故选：C令 + 1 = ，则 = 1，然后代入可得() = (1)2(1) + 3 = 23 + 5，即可求解本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题6.【答案】A【解析】解：由|2| 3，得：3 2 3，即1 5，即 q：1 5，故 p 是 q 的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等
8、式的性质是解决本题的关键7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题直接利用函数的零点判断定理，求解(0)，(1)，(2)，(3)，(4)，(5)的函数值，即可推出结果【解答】解： 函数() = 2256，函数的对称轴为 =54，函数() = 2256有两个零点1，2，可知1542，第 8 页，共 14 页 函数是连续函数， (0) = 6 0，(1) = 9 0，(2) = 8 0，(3) = 3 0，(5) = 19 0， (3) (4) 0，根据函数的零点的判定定理可得：函数() = 2256的零点2所在的区间是(3,4)，故选：
9、C8.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断，用排除法分析，属于基础题根据题意，分析可得()为奇函数且在(0, + )上，当0时，()，利用排除法分析可得答案【解答】解：根据题意，函数() = 1，其定义域为| 0，又由() = +1= (1) = ()，则()为奇函数，排除 C、D；在(0, + )上，当0时，()，排除 B，故选：A9.【答案】D【解析】【分析】本题考查满足条件的集合 C 的个数的求法， 考查交集定义等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题推导出 = 2,1,0，1，由此能求出满足条件的集合 C 的个数【解答】解： 集合 = |3 1 1
10、= |2 0是 R 上的单调函数，又 = 21在(,0)单调递增， ()在 R 上单调递增 0且021 ， 0 2， 0，则2+2 2 22= 2，则12+1= 2 + (2+2) 4，即12+1的最小值为 4；故选：C根据题意， 分析可得(2) + = 1， 进而可得12+1= (12+1) (2) + = 2 + (2+2)，结合基本不等式的性质分析可得答案本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对 + = 3的变形，属于基础题12.【答案】A【解析】解： 对任意不相等的实数 a，b，都有()() ( + 3) + 3， (3 + 1) ()，第 10 页，共 14 页 3 + 1 ，解得
11、()，从而得出3 + 1 3或2 2【解析】解：由243 0可得(2)( + 2)(3) 03 0，由高次不等式的求解可知，| 3或2 2第 11 页，共 14 页故答案为：| 3或2 2由243 0可得(2)( + 2)(3) 03 0，结合高次不等式的求解可求本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题16.【答案】1,3) (10, + )【解析】解：要使() =1228在1,2上单调递减，则需() = 228在1,2上单调递增且同号，由 0，得1 1(1)(2) = (10)(412) 0，解得1 10综上，正数 k 的取值范围为1,3) (10, + )故答案为：1,3) (10,
12、+ )要使() =1228在1,2上单调递减，则需() = 228在1,2上单调递增且同号，结合 0，转化为关于 k 的不等式组求解本题考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题17.【答案】解：(1) = |22 = 0 = 1,2，因为 = 0，所以 = |23 = 0 = 3, 3， = 1, 3, 3,2；(2)因为 = ，所以 ，且 ，则 = 1或 = 2或 = 1,2，若1 ，则1 + 23 = 0，解得 = 2，此时 = 1 ；若2 ，则4 + 2 + 23 = 0，解得 = 14，此时 = 74,2；若 = 1,2，则 = 1 + 2,23 = 1 2,，无解， 的取
13、值集合为2【解析】(1)可求出集合 = 1,2， = 0时，求出集合 B，然后进行并集的运算即可；(2)根据 = 可得出 ，并且 ，从而得出 = 1或 = 2或 = 1,2，对于每种情况，求出 a，并验证是否满足 即可本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集、并集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题第 12 页，共 14 页18.【答案】解：由题意可得， + = 52 +12 = 4，解方程可得， = 1， = 4，(2)证明：由(1)可得，() = +4，设2 12，则(1)(2) =12+4142=12+4(21)12=(12)(124)12， 2
14、 12，(12)(124)12 0，即(1) (2)， ()是2, + )上的增函数【解析】(1)把点(1,5)，(2,4)代入()，解方程可求 m，n；(2)由(1)可求()，然后可设2 12，作差比较(1)与(2)的大小即可判断本题主要考查了待定系数求解函数解析式及函数单调性的定义在判断函数单调性中的应用，属于基础试题19.【答案】证明：(1)由 ，且 + + = 0，所以 0，且 0，所以()()()()，即1，即(2)要证 2 1 3，只需证 +3 1 +2，即证 + (3) + 2 (3) (1) + (2) + 2 (1)(2)；即证 (3) (1)(2)，即证(3) (1)(2)
15、；即证0 2，显然成立；所以 2 1 3第 13 页，共 14 页【解析】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题(1)由题意得出 0，且 0，再证明11，即可得出；(2)利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证，只需证，即证，显然成立20.【答案】解：(1) = 1时，原不等式可化为23 + 2 0，解可得，1 2，(2) 0时，当 = 0时，原不等式可得， + 2 2；当 0，( + 1)( + 2) 0， ( +1)( + 2) 2即 12时，解可得，|1 2；()1 2即0 12时，解可得，|2 12时，解集，|1 2；()0 12时，解集，|2 1；()
16、 =12时，解集，【解析】(1) = 1时，原不等式可化为23 + 2 0，解不等式即可求解；(2) 0时，对 a 分类讨论，结合二次不等式的求解即可本题主要考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用21.【答案】解：(1)() = 1000 + 800， () = ()() =4002+ 3200800,0 510004600,5 10(2)当0 5时，() = 400(4)2+5600，故当 = 4时，()取得最大值 5600；当5 10时，() = 10004600为增函数，故当 = 10时，()取得最大值1000 104600 = 5400综上，当产量为 4 万台时，公司利润最大
17、，最大利润为 5600 万元第 14 页，共 14 页【解析】(1)根据() = ()()得出解析式；(2)分段求出函数的最大值，从而得出利润的最大值本题考查了分段函数的解析式与最值计算，属于中档题22.【答案】解：(1)由方程() = 0有两个不等的实根1，2，且1 1 0 2 0(0) = 0，解得23 0， 的取值范围是(23,0)；(2)对任意的 1,2，() 2恒成立，即对任意的 1,2，2(2 + 1) + 2恒成立， 对任意的 1,2，2(2 + 3) + 0恒成立，则123 + 042(2 + 3) + 0，解得 23， 的取值范围是23, + )【解析】(1)二次函数() = 2(2 + 1) + 开口向上， 方程() = 0有两个不等的实根1，2，且1 1 0 2 1，找到等价条件，解不等式组即可；(2)把对任意的 1,2，() 2恒成立，等价转换为对任意的 1,2，2(2 + 3) + 0恒成立，得到关于 m 的不等式组123 + 042(2 + 3) + 0，求解即可求得 m 的取值范围本题主要考查了二次函数的图象性质，二次式恒成立的问题，关键是找到等价条件，属于中档题
