1、第 1 页，共 17 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设集合 = | 10, ， = 2,3，4，7，9， = 2,5，6，8，则() = ()A. 2,6，8B. 5,6，8C. 6,8D. 2,5，6，82.下列选项中，表示的是同一函数的是()A. () =2,() = ( )2B. () = 2，() = (2)2C. () = + 1 1,() =21D. () =, 0, 0,() = |3.若幂函数() = (2+5)223的图象不经过原点，则 m 的值为()A. 2B. 3C. 3D. 3
2、或 24.函数() =1ln( + 2) 92的定义域是()A. 3,1) (1,3B. 2,1) (1,3C. (2,1) (1,3D. (2,35.设 = 21.1， = 0.53， =log23，则 a、b、c 的大小关系是()A. B. C. D. 6.已知函数() =21( 0)12( 0)，则该函数是()第 2 页，共 17 页A. 偶函数，且单调递增B. 偶函数，且单调递减C. 奇函数，且单调递增D. 奇函数，且单调递减7.已知函数 = ()的定义域为1,8，则 =(2)3的定义域为()A. 2,3) (3,16B. 12,3) (3,4C. 1,3) (3,8D. 1,3) (
3、3,48.函数() = |2| + ln1在定义域内的零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 39.已知集合 = | = +16, ， = | =213, ， = | =2+16, ，则集合 A、B、C 的大小关系是()A. B. C. = D. 10.已知函数() =1222 +12, 0且 1)是 R 上的减函数， 则 a 的取值范围是()A. (12,23B. 12,1)C. 12,23D. 23,1)11.已知函数() = ()()(其中 )， 若()的图象如图所示， 则函数() = +的图象大致为()第 3 页，共 17 页A. B. C. D. 12.定义对任意1，2 ，1、
4、2 =1,1 22,1 2，() = 2 + 1，() = + 4，则(),()的最小值为()A. 7B. 3C. 94D. 54二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知() =1( 0)，则() = _14.已知() = 25+33 + 5，且() = 7，求() = _15.函数() = 12(2 + 2)的单调增区间是_16.给出定义：若12 +12(其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 最近的整数，记作 = .在此基础上给出下列关于函数() = |引的四个结论：函数 = ()的定义域为 R，值域为0,12；函数 = ()在12,12上是增函数：函数 = ()的
5、图象关于直线 =2( )对称；函数 = ()是偶函数其中所有正确的结论的序号是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）第 4 页，共 17 页17.(1)计算3134(827)23lg1100( 21)1；(2)已知3= 4= 36，求2+1的值18.已知集合 = |(12)26 + 6 4， = |4 + 212, = |2 + 2(1)求() ；(2)若 = ，求实数 a 的取值范围19.已知函数() = lg( + 1)，() = lg(1)(1)判断函数() = ()()的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数() = () + ()在区间(0,1)上的单调性，并加以证明第 5
6、 页，共 17 页20.已知二次函数() = 22 + 2， 0,4(1)当 = 1时，求()的最值；(2)若不等式() + 6对定义域的任意实数恒成立，求实数 a 的取值范围21.经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内(以 30 天计算)，销售价格()与时间(天)的函数关系近似满足() = 100(1 +1)， 销售量()与时间(天)的函数关系近似满足() =100 + (1 1时，() 2(1)判断 = ()在(0, + )上的单调性并证明；(2)若(2) = 1.5，解不等式() + (2) 3第 6 页，共 17 页第 7 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B
7、【解析】解：因为集合 = | 10, = 1,2，3，4，5，6，7，8，9，所以 = 1,5,6,8，又 = 2,5，6，8，所以() = 5,6,8，故选：B先由集合补集的运算可得 = 1,5,6,8，再求出() 即可本题考查了集合的运算，属基础题2.【答案】D【解析】 解 ：.()的定义域是 R，()的定义域为0, + )， 两个函数的定义域不相同，不是同一函数；B.两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；C.由 + 1 01 0，得 1 1，即 1，由21 0得 1或 1，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；D.() =, 0, 0 + 2 192 0，解得 2 13 3，即2 21
8、= 2，0 = 0.53 0.50= 1， =log23 (1,2)， 0，则 0，则() = 12= ()，当 0，() = 21 = ()，综上() = ()，即函数()是奇函数，当 0时，() = 21为减函数，则函数()为减函数，故选：D根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性， 结合指数函数的性质判断函数的单调性即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性的定义，以及指数函数的性质是解决本题的关键难度不大第 9 页，共 17 页7.【答案】B【解析】解： = ()的定义域为1,8， 要使函数有意义，则1 2 83 0，得12 4 3，即 12,3) (3,4，故选：B根据函数
9、定义域以及复合函数定义域关系进行转化求解即可本题主要考查函数定义域的求解，结合复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键比较基础8.【答案】C【解析】解：由题意，函数()的定义域为(0, + )；由题意，()在(0, + )内的零点即是方程函数|2| + ln1= 0的根令1= |2|，2= ( 0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选：C先求出函数的定义域， 再把函数转化为对应的方程， 在坐标系中画出两个函数1= |2|，2= ( 0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之
10、间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数9.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的关系判断，是中档题对集合 C 分析，当 n 为偶数时，它与集合 A 相等，所以集合 A 是集合 C 的真子集，又第 10 页，共 17 页集合 B 比集合 C 多一个元素13，从而得出集合 A、B、C 的关系【解答】解： 集合 = | =2+16, ， 当 = 2( )时， =22+16= +16，当 = 2 + 1( )时， =2 + 12+16= +23，又 集合 = | = +16, ， ， 集合 = | =213, ，集合 = | =2+16, ，集合 B 比集合 C 多一个元素13，即，综上所求：，
11、故选：A10.【答案】C【解析】解：由已知可得()在(,1)时单调递减，故第一段的对称轴 = 2 1，即 12()在1, + )时单调递减，故0 ，可得 1，0 1；在函数() = +可得，由0 1可得其是减函数，又由 ，可得 1，0 1； 根据函数图象变化的规律可得() = +的单调性即与 y 轴交点的位置，分析选项可得答案本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出 a、b 的范围12.【答案】B【解析】解：解2 + 1 + 4得， 1或 3；解2 + 1 + 4得，1 3；设(),() = ()，则据题意得() =2 + 1 1或 3 + 41
12、 3， 1或 3时，() = (12)2+34，则() 3；1 3时，3 () 7， (),()的最小值为 3故选：B可解不等式2 + 1 + 4和2 + 1 + 4，并设(),() = ()，从而根据题意可求出()的解析式， 根据解析式即可求出分段函数()在每段上的范围， 从而求出(),()的最小值本题考查了一元二次不等式的解法， 分段函数值域的求法， 配方求二次函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题13.【答案】2【解析】解： () =1( 0)， () = = 0，第 12 页，共 17 页() = (0) = 2故答案为：2导出() = = 0，从而() = (0)，由此能求出结果
13、本题考查函数值的求法，考查函数性质的应用，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】3【解析】解： () = 25+33 + 5， () = 2533+ + 5 = 7， 25+33 = 2， () = 25+33 + 5 = 3，故答案为：3由已知可得() = 2533+ + 5 = 7，然后代入() = 25+33 + 5即可求解本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数值，解题的关键是整体思想的应用15.【答案】(12,1)【解析】解：由2 + 2 0，得2 1，即函数()的定义域为(2,1)函数()可看作由函数 = 12和 = 2 + 2复合而成的，函数 = 12单调递减，由复合函数单调性的
14、判定方法知，要求()的增区间只需求出 = 2 + 2的减区间而 = 2 + 2 = ( +12)2+94的减区间是(12,1)所以函数()的单调增区间是(12,1)故答案为：(12,1)先求出函数()的定义域，然后把函数()分解为两基本函数 = 12和 = 2 + 2， 根据复合函数单调性的判定方法只需在定义域内求出 = 2 + 2的减区间即可本题考查复合函数单调区间的求解及对数函数的单调性问题， 该类问题一要注意考虑函数定义域，二要理解复合函数单调性的判定方法：同增异减第 13 页，共 17 页16.【答案】【解析】解：中，令 = + ， (12,12， () = | = | 0,12故正确
15、；中， = 12时， = 1，(12) =12， =12时， = 0，(12) =12，所以(12) = (12)故错误中 () = |()| = |()| = ()，所以关于 =2对称，故正确；中， () = |()| = | = ()，所以()为偶函数，故正确；故答案为：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域， 然后根据解析式易用分析法求出函数的值域；而由的结论，易判断函数 = ()在12,12上的单调性，但要说明不成立，我们可以举出一个反例；根据()与()的关系，可以判断函数 = ()的图象是否关于直线 =2( )对称；再判断() = ()是否成立，可以判断的正误；本题考查了简易逻
16、辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17.【答案】解：(1)3134(827)23lg1100( 21)1，=3334(278)23+100( 21)0，=3494+21，=52；(2)3= 4= 36， =log336， =log436，2+1= 2363 +log364，第 14 页，共 17 页=log36(9 4) = 1【解析】(1)利用对数的性质和运算法则及对数恒等式公式求解(2)利用指数与对数的互化及换底公式可求本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用18.【答案】解：(1)解不等式(12)26 + 6 4，解得
17、26 + 6 2，即2 4，即 = |2 4，解不等式4 + 212，解得2 6，即 = |2 6，所以 = | 4，故() = |2 2或4 6；(2)因为 = ，即 ，当 = ，即 + 2 2，即 2时，满足题意，当 ，即 + 2 2，即 2时，有2 2 + 2 4，解得1 01 0得 1 1，得1 1，即函数的定义域为(1,1)，则() = lg(1)lg(1 + ) = ()，即函数()是奇函数(2)() = () + () = lg( + 1) + lg(1) = lg(1 + )(1) = lg(12)，当0 1时，设0 12 1，则(1)(2) = lg(121)lg(122)
18、= lg121122， 0 12 1， 0 21 22 21 22 1，即1 121 122 0，则121122 1，即lg121122 0，即(1)(2) 0，即(1) (2)，第 15 页，共 17 页即函数()是减函数【解析】(1)先求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义进行判断即可(2)求出函数的解析式，结合函数单调性的定义进行证明即可本题主要考查奇偶性和单调性的应用， 结合函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键考查学生的运算和推理能力，难度中等20.【答案】解：(1)当 = 1时，() = 22 + 2， 0,4函数的对称轴方程为 = 1，又开口向上， 函数()的单调减区间为0,1
19、)，单调增区间为(1,4； ()的最小值在 = 1时取得，(1) = 1，()的最大值在 = 4时取得，(4) = 10(2)函数() = 22 + 2的对称轴方程为 = ，由题意得，不等式() + 6对定义域的任意实数恒成立() + 6， 0,4当 2时，函数()图象开口向上，且对称轴在接近0,4的左端点， ()= (4) = 188 + 6，解得 43，又 2， 43 2；当 2时，函数()图象开口向上，且对称轴在接近0,4的右端点， ()= (0) = 2 + 6；解得 4；又 2， 2；综上述， 43；故实数 a 的取值范围是43, + )【解析】(1)把 = 1代入函数解析式，求出对
20、称轴方程，结合二次函数图象此求得函数()的最值；(2)由题意得，不等式() + 6对定义域的任意实数恒成立等价于() + 6， 0,4由二次函数的对称轴对函数定义域分类，然后利用函数单调性求得函数的最值，即可求得 a 的取值范围本题考查二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想方法及数形结合的思想方法，利用函数单调性求函数的最值，属于中档题21.【答案】解：(1)当1 25时，() = ()() = 100(100 + )(1 +1) = 100( +100+101)；第 16 页，共 17 页当25 30时，() = ()() = 100(150)(1 +1) = 100(150 + 149)
21、；所以() =100( +100+ 101)(1 25)100(150 + 149)(25 30)( )(6分) (2)()当1 2，则12 1， (12) 2，则由( ) = () + ()2得(1)(2) = (212) = (2) + (12)2(2) = (12)2 0，即(1) 02 0(2) 4，得 0 2224 0，得 0 215 1 +5，得2 1 +5，即不等式的解集为(2,1 +5.【解析】(1)利用抽象函数关系，结合函数单调性的定义进行证明即可(2)结合函数的单调性和抽象函数关系进行转化求解即可本题主要考查抽象函数的应用， 结合函数单调性的定义以及抽象函数关系进行转化是解决本题的关键考查学生的运算推理能力，难度中等
