1、第 1 页，共 18 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 1,2，3，4，5，6，7， = 2,3，4，5， = 2,3，6，7，则 = ()A. 1,6B. 1,7C. 6,7D. 1,6，72.设 ，则“0 2”是“223 0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在等差数列中，1= 2，3+5= 10，则7= ( )A. 5B. 8C. 10D. 144.已知向量 = (1,0)， = (3,4)的夹角为，则2等于()A. 725B.
2、2424C. 2425D. 24255.已知圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在半径为 2 的同一个球的球面上则球的体积与圆柱的体积的比值为()A. 43B. 916C. 34D. 1696.以下四个命题：“若 = ，则2= 2”的逆否命题为真命题“ = 2”是“函数() =log在区间(0, + )上为增函数”的充分不必要条件若 为假命题，则 p，q 均为假命题第 2 页，共 18 页对于命题 p：0 ，20+0+1 0，则为： ，2+ + 1 0其中真命题的个数是()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个7.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点1，2在 x 轴上，C 上的点到左焦点1
3、的距离的最大值为 6，过1的直线交 C 于 A，B 两点，且 2的周长为 16，则椭圆 C 的方程为()A. 216+212= 1B. 216+24= 1C. 212+24= 1D. 24+22= 18.已知变量 x，y 之间的线性回归方程为 = 0.7 + 10.3，且变量 x，y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是()x681012y6m32A. 变量 x，y 之间呈现负相关关系B. 可以预测，当 = 20时， = 3.7C. = 4D. 该回归直线必过点(9,4)9.已知“命题 p：0 ，使得20+20+1 0, 1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标
4、系中， 设(3,0)，(3,0)， 动点 M 满足|= 2， 则动点 M 的轨迹方程为()A. (5)2+ 2= 16B. 2+(5)2= 9C. ( + 5)2+ 2= 16D. 2+( + 5)2= 9第 3 页，共 18 页11.如图，AD 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20 米的监测塔 BD，若某科研小组在坝底 A 点测得 = 15，沿着坡面前进 40 米到达 E 点，测得 = 45，则大坝的坡角()的余弦值为()A. 31B. 312C. 21D. 21212.椭圆22+22= 1( 0)的左右焦点分别是1、2，以2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆
5、2相切于点 P，则椭圆的离心率为()A. 31B. 3+ 12C. 22D. 512二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数() =2, 12+ 1, 1，则(2)(1) = _14.已知，是方程22+35 = 0的两个实数根，则tan( + ) = _15.已知 a， ，且3 + 6 = 0，则2+18的最小值为_16.已知数列满足：， ，+= + ，且15=2，函数() = 2 + 622，记= ()，则数列的前 29 项和为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知是各项均为正数的等比数列，1= 2，3= 22+16(1)求数列的通项公式；(2
6、)设=log2，求数列1 + 1的前 n 项和第 4 页，共 18 页18.2018 年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等 8 省市开始实行新高考制度，从 2018 年下学期的高一年级学生开始实行为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求该班数学成绩在50,60)的频率及全班人数；(2)根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；(3)若规定 90 分及其以上为优秀，现从该班分数在 80 分及其以上的试卷中任取 2份分析学生得分情况，求
7、在抽取的 2 份试卷中至少有 1 份优秀的概率19.在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 = ( +3).(1)求 A；(2)若 的面积 =342，求 sinC 的值第 5 页，共 18 页20.如图，在三棱柱111中，1 底面 ABC，D、E、F、G 分别为1，AC、11、1，的中点，且 = =5， = 2 3，1=15(1)证明：/平面1；(2)证明： ；(3)求直线 BD 与平面1所成角的正弦值21.已知数列的前 n 项和为，且2= 2 = 0，函数()对任意的 都有() + (1) = 1，数列满足= (0) + (1) + (2) + (1) + (1)(1)求数列
8、，的通项公式；(2)若数列满足=，是数列的前 n 项和， 是否存在正实数 k， 对于任意 ，不等式(29 + 26) 4，恒成立？若存在，请求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由第 6 页，共 18 页22.已知椭圆 C：22+22= 1( 0)的左，右顶点分别为1，2，长轴长为 4，且经过点(1,32)(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 M 为椭圆 C 上异于1，2的任意一点，证明：直线1，2的斜率的乘积为定值；(3)已知两条互相垂直的直线1，2都经过椭圆 C 的右焦点 F，与椭圆 C 交于 A，B和 M，N 四点，求四边形 AMBN 面积的取值范围第 7 页，共 18 页答案和解析
9、答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题先求出，然后再求 即可求解【解答】解： = 1,2，3，4，5，6，7， = 2,3，4，5， = 2,3，6，7， = 1,6，7，则 = 6,7，故选 C2.【答案】A【解析】解：设 = |0 2， = |223 0 = |1 3； ； ，但 推不出 ； “0 2”是“223 0”的充分不必要条件；故选：A判断两个不等式对应集合的关系，根据充分必要条件的定义判断即可本题考查了充分必要条件的定义，属于基础题3.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于基础题由题意可得4= 5
10、，进而可得公差 = 1，可得7=1+6，代值计算即可【解答】解：设公差为 d， 在等差数列中1= 2，3+5= 10， 24=3+5= 10，解得4= 5，第 8 页，共 18 页 公差 =4141= 1，7=1+6 = 2 + 6 = 8，故选 B4.【答案】D【解析】解：由题意知， = | |= 31 5= 35，且 0,， =1cos2 =45，2 = 2 = 2425故选：D计算两向量的夹角余弦的值，再求出和2的值本题考查了平面向量的夹角公式与三角函数求值问题，是基础题5.【答案】D【解析】解：如图所示，圆柱的高为 2，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上， 该圆柱底面圆
11、周半径为 =2212=3， 该圆柱的体积为： = = ( 3)2 2 = 6又因为球的体积为：433=43 23=323； 球的体积与圆柱的体积的比值：3236=169故选：D根据题意画出图形，结合图形求出该圆柱底面圆半径 r，再计算该圆柱的体积以及球的体积即可得到结论本题考查了圆柱的体积以及球内接圆柱的应用问题，是基础题6.【答案】C【解析】解：“若 = ，则2= 2”是真命题，所以它的的逆否命题为真命题，所以正确；“ = 2”可知“函数() =log在区间(0, + )上为增函数”成立，反之不成立，第 9 页，共 18 页所以“ = 2”是“函数() =log在区间(0, + )上为增函数
12、”的充分不必要条件，正确，所以正确；若 为假命题，至少一个是假命题，所以说 p，q 均为假命题，不正确；所以不正确；对于命题 p：0 ，20+0+1 0，则为： ，2+ + 1 0，满足命题的否定形式，正确，所以正确；故选：C判断原命题的真假，即可推出的正误；利用充要条件判断的正误；复合命题的真假判断的正误；命题的否定判断的正误本题考查命题的真假的判断与应用，涉及充要条件，复合命题的真假，命题的否定等知识，是基本知识的考查7.【答案】A【解析】解：椭圆 C 的中心在原点，焦点1，2在 x 轴上，C 上的点到左焦点1的距离的最大值为 6，过1的直线交 C 于 A，B 两点，且 2的周长为 16，
13、可得 + = 6，4 = 16.所以 = 4， = 2，则 = 2 3，所以椭圆方程为：216+212= 1故选：A利用已知条件列出方程求解 a，b，即可得到椭圆方程本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，是基本知识的考查8.【答案】C【解析】解：对于 A：根据 b 的正负即可判断正负相关关系线性回归方程为= 0.7 + 10.3， = 0.7 0，负相关对于 B，当 = 20时，代入可得 = 3.7对于 C：根据表中数据：=14(6 + 8 + 10 + 12) = 9.可得 = 0.7 9 + 10.3 = 4.即14(6 + + 3 + 2) = 4，解得： = 5对于 D：由线性回归
14、方程一定过(,)，即(9,4)故选：C根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题第 10 页，共 18 页9.【答案】B【解析】解：当 = 0时，“命题 p：0 ，使得20+20+1 0成立”为真命题，当 0时，“命题 p：0 ，使得20+20+1 0时，若“命题 p：0 ，使得20+20+1 0，解得 1， 0 0时，若“命题 p：0 ，使得20+20+1 0，最后综合讨论结果，可得答案本题考查的知识点是特称命题，一次函数和二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题10.【答案】A【解析】解：设(,)，由|= 2，得( + 3)2+ 2(3)2+
15、2= 4，可得：( + 3)2+ 2= 4(3)2+42，即210 + 2+9 = 0故动点 M 的轨迹方程为(5)2+ 2= 16故选：A设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查11.【答案】A【解析】解：因为 = 15， = 45，所以 = 30；在 中，由正弦定理得30=15，解得 = 20( 6 2)；在 中，由正弦定理得sin=45，所以sin =20(62) 2220=31；第 11 页，共 18 页又 = 90，所以sin = sin( + 90)，所以cos =31故选：A在 中由正弦定理求得 BE 的值，在 中由正弦定理求得si
16、n，再利用诱导公式求出cos的值本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是基础题12.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于一般题利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可【解答】解：椭圆22+22= 1( 0)的左右焦点分别是1、2，以2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点 P，若直线1恰好与圆2相切于点 P，可得(2)2+ 2= 42，可得222 = 2，所以2+22 = 0， (0,1)，解得 =2 +122=31故选：A13.【答案】2【解析】解： 函数() =2, 12+ 1, 1， (2) =
17、 22= 4，(1) = 12+1 = 2， (2)(1) = 42 = 2故答案为：2推导出(2) = 22= 4，(1) = 12+1 = 2，由此能求出(2)(1)的值本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】37第 12 页，共 18 页【解析】解： ，是方程22+35 = 0的两个实数根， + = 32， = 52 tan( + ) = + 1tan tan=321(52)= 37故答案为：37由根与系数的关系求得 + 与的值，然后展开两角和的正切求tan( + )本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，考查两角和的正切，是基础题15.【
18、答案】14【解析】解：a， ，且3 + 6 = 0，可得：3 = + 6，则2+18= 2+12 + 6= 2+126 2 2 21262=14，当且仅当2=12 + 6.即 = 3时取等号2+18的最小值为：14故答案为：14化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可本题考查基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题16.【答案】87【解析】解：对， ，都有+= + 成立，可令 = 1即有 + 1=1，为常数，可得数列为等差数列，函数() = 2 + 622= 2 + 3(1 + )，由() + () = 2 + 3(1 + ) + 2() + 3(1 + cos() = 6，可得()的图象
19、关于点(2,3)对称，1+29=2+28= =14+16= 215= ，(1) + (29) = (2) + (28) = = (14) + (16) = 6，(15) = 3，可得数列的前 29 项和为6 14 + 3 = 87第 13 页，共 18 页故答案为：87由题意可得 + 1=1，为常数，可得数列为等差数列，求得()的图象关于点(2,3)对称，运用等差数列中项性质和倒序相加求和，计算可得所求和本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，考查数列的倒序相加求和，化简运算能力，属于中档题17.【答案】解：(1)是各项均为正数的等比数列，设公比为 q， 0，由1= 2，3= 22+1
20、6，可得22= 4 + 16，即228 = 0，所以 = 4或 = 2(舍去)，=11= 2 41= 221；(2)由(1)知：=log2= 2221= 21，1 + 1=1(21)(2 + 1)=12(12112 + 1)，=11 2+12 3+ +1 + 1=12(113+1315+ +12112 + 1) =12(112 + 1) =2 + 1【解析】(1)设等比数列的公比为 q， 0，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式；(2)求得=log2= 2221= 21，1 + 1=1(21)(2 + 1)=12(12112 + 1)，再由数列的裂项相消求和，化简
21、可得所求和本题考查等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题18.【答案】解：(1)分数在50,60)的频率为0.008 10 = 0.08，由茎叶图知：分数在50,60)之间的频数为 2，所以全班人数为：20.08= 25(2)由第一问可得第四组的频数为：2527102 = 4； 各组频率分布直方图的高依次是：0.008，0，028，0.04，0.016，0.008； 估计平均分为：55 0.08 + 65 0.28 + 75 0.4 + 85 0.16 + 95 0.08 = 73.8(3)由已知得：80,100)的人数为4 + 2 = 6设分数在80,90)的试
22、卷为 A，B，C，D，分数在90,100的试卷为 a，b则从 6 份卷中任取 2 份，共有 15 个基本事件，(9分)分别是 AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，其中至少有一份优秀的事件共有 9 个，分别是 Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab， 在抽取的 2 份试卷中至少有 1 份第 14 页，共 18 页优秀的概率为 =915=35【解析】(1)分数在50,60)的频率为第一组矩形的面积，全班人数为该组的频数与频率的比值；(2)用全班人数减去其余组的人数即为80,90)之间的频数，用该组的频率与组距的比值为矩形的高，再求
23、出各组的频率，进而求出结论；(3)对符合条件的试卷进行编号，使用列举法求出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出概率本题考查了茎叶图与频率分布直方图，古典概型的概率计算，属于基础题19.【答案】解：(1) = ( +3)， 由正弦定理可得： = ( +3)，即： = sin( +3).可得： = 1232，化简可得： = 33， (0,)， =56(2) =56， =12， 由 =342=12 =14，可得： =3， 2= 2+ 22 = 72，可得： =7，由正弦定理可得： =714【解析】(1)由正弦定理化简已知可得 = 33，结合范围 (0,)，即可计算求解A 的值(2)由(1)可求
24、 =12，利用三角形面积公式可求 =3，利用余弦定理可求 =7，由正弦定理即可计算求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20.【答案】(1)证明 ： 连接 AF， ， F 分别为 AC，11的中点且/11， =11第 15 页，共 18 页 1/，1= 四边形1是平行四边形， /1又平面1，1 平面1， /平面1(2)证明：在三棱柱111中， 1 平面 ABC， 四边形11为矩形又 E，F 分别为 AC，11的中点， = . ， 平面 BEF又 G 是1中点，1/， 在平面 BEF 内， (3)解：过 D 作 1于点 O，连
25、接 BO，易证 平面11， ， 平面1从而就是所求的角计算得， =352， =3104sin =31414 直线 BD 与平面1所成的角的正弦值为31414另解：(3)以 E 为原点，EA 所在的直线为 x 轴，EB 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，如图示易得 = ( 3, 2,52)，平面1的一个法向量为 = ( 5,0,1)设直线 BD 与平面1所成的角为，则 = |cos | = | |=31414， 直线 BD 与平面1所成的角的正弦值为31414第 16 页，共 18 页【解析】(1)连接 AF，通过证明四边形1是平行四边形，得到/1，然后证明/平面1(2)证明 . ，得到
26、 平面.然后证明 (3)过 D 作 1于点 O，连接 BO，说明就是所求的角，通过求解三角形即可得到直线 BD 与平面1所成的角的正弦值另解：(3)以 E 为原点，EA 所在的直线为 x 轴，EB 所在的直线为 y 轴，建立空间直角坐标系，求出 = ( 3, 2,52)，平面1的一个法向量，然后求解直线 BD 与平面1所成的角的正弦值本题考查直线与平面垂直的判断定理以及直线与平面平行的判断定理的应用， 直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题21.【答案】解：(1) 2+2 = 0即= 22，当 = 1时，1=1= 212， 1= 2，当 2时，1= 212， =1= 2
27、21，即= 21， 是等比数列，首项为1= 2，公比为 2， = 2 () + (1) = 1， (1) + (1) = 1= (0) + (1) + (2) + + (1) + (1). = (1) + (1) + (2) + + (1) + (0) + ，得2= + 1， = + 12；(2) = ( + 1) 21，= 2 20+3 21+4 22+ + ( + 1) 21，2= 2 21+3 22+4 23+ + 21+( + 1) 2，得= 2 + 21+ 22+ + 21( + 1) 2= 1 +1212( + 1) 2，即= 2要使得不等式(29 + 26) 4恒成立， (29
28、+ 26) 0恒成立， 4(29 + 26)对于一切的 恒成立，即 2( + 1)29 + 26，令() =2( + 1)29 + 26( )，则() =2( + 1)( + 1)211( + 1) + 36=2( + 1)11 +36( + 1)22 ( + 1) 36( + 1)11= 2，当且仅当 = 5时等号成立，故()= 2第 17 页，共 18 页故 k 的取值范围为(2, + )【解析】(1)由数列的递推式：当 = 1时，1=1，当 2时，=1，结合等比数列的通项公式可得，再由倒序相加求和，可得；(2)求得= ( + 1) 21，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可
29、得，再由参数分离和基本不等式，可得最值，即可得到所求范围本题考查数列递推式的运用，以及倒序相加求和，考查数列的错位相减法求和，以及数列的恒成立问题，注意运用基本不等式求最值，考查化简运算能力和转化思想、推理能力，是一道综合题22.【答案】解：(1)由题意知：2 = 412+942= 1, = 2 =3， 椭圆 C 的标准方程为24+23= 1(2)由已知1(2,0)，2(2,0)，设点(0,0)，则12=00+ 2002=20204，又(0,0)在椭圆上，204+203= 1，即203= 1204=4204，12=20204=34(420)204= 34(定值)(3)当1，2中有一条斜率不存在
30、时，易求得=12 4 3 = 6；当1，2的斜率都存在时，设过点(1,0)的两条互相垂直的直线1： = + 1，直线2： = 1 + 1由 = + 124+23= 1得(32+4)2+69 = 0，显然 0， 1+2=632+ 4，12= 932+ 4，则| =1 +12(1+ 2)2412=1 +1212 1 + 232+ 4=12(1 + 2)(32+ 4)|把上式中的 k 换成1得：| =12(1 + 2)|3 + 42，则四边形 AMBN 的面积为： =12| |第 18 页，共 18 页=1212(1 + 2)32+ 412(1 + 2)3 + 42=72(1 + 2)2(32+ 4
31、)(3 + 42)，令1 + 2= ，则 1，且3 + 42= 41，32+4 = 3 + 1， =72(1 + 2)2(32+ 4)(3 + 42)=722122+ 1=72(112)2+494( 1)，28849 6，所以四边形 AMBN 的面积的取值范围是28849,6【解析】(1)利用已知条件求出 a，b，即可得到椭圆方程；(2)由已知1(2,0)，2(2,0)，设点(0,0)求出斜率乘积的表达式，化简求解即可(3)当1，2中有一条斜率不存在时，易求得=12 4 3 = 6；当1，2的斜率都存在时，设过点(1,0)的两条互相垂直的直线1： = + 1，直线2： = 1 + 1，通过直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式结合三角形的面积转化求解即可本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及韦达定理的应用，考查设而不求思想方法的应用，是难题
