1、第 1 页，共 16 页 高二（上）期中数学试卷 高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = |2 1，则 = ()A. |0 3B. |0 3C. |2 3D. |2 0”的否定是()A. 0 ，2+4 + 5 0B. 0 ，2+4 + 5 0C. ，2+4 + 5 0D. ，2+4 + 5 03.已知双曲线的方程为2425= 1，则下列说法正确的是()A. 焦点在 x 轴上B. 虚轴长为 4C. 渐近线方程为2 +5 = 0D. 离心率为354.设 a，b 是实数，则“ + 0”是“ 0”的()A. 充分不必要条件B. 必
2、要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知 = 2， =log0.22， = 20.1，则()A. B. C. D. 6.有下列四个命题“若 = 3，则2= 9”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若 1，则2+2 + = 0无实根” ；“若 = ，则 ”的逆否第 2 页，共 16 页命题其中真命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 07.记为等差数列的前 n 项和已知4= 0，5= 10，则()A. = 228B. = 25C. = 310D. =12228.已知向量，满足| = 1，| = 2，的夹角是120，则|3| = ()A. 2 3B. 19C
3、. 2D. 19.若 0，则 + = 0和2+2= 所表示的曲线只可能是图中的()A. B. C. D. 10.已知函数() = 2( + 3)是奇函数，其中 (0,2)，则函数() = cos(2)的图象()A. 关于轴 =12对称B. 关于点(512,0)对称C. 可由函数()的图象向右平移6个单位得到D. 可由函数()的图象向左平移3个单位得到11.已知1、2是两个定点，点 P 是以1和2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且1 2，1和2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有()A. 21+ 22= 2B. 21+ 22= 4C. 121+122= 2D. 121+122= 412.已
4、知函数() = +12, 1221,12 0)上的动点 M 作圆2+ 2=24的两条切线，切点为 P和 Q，直线 PQ 与 x 轴和 y 轴的交点分别为 E 和 F，则 面积的最小值是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分）17.已知命题 p： “方程29+21= 1表示焦点在 x 轴上的椭圆” ，命题 q： “方程22+2= 1表示双曲线”(1)若 p 是真命题，求实数 k 的取值范围；(2)若命题 p 和 q 都是真命题，求实数 k 的取值范围18. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设( + )2= sin2 + (1)求 A；(2)若 3 +3 = 2，求 si
5、nC第 4 页，共 16 页19.某单位共有 10 名员工，他们某年的收入如表：员工编号12345678910年薪(万元)44.5656.57.588.5951(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；(2)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为 4 万元、5.5万元、6 万元、8.5万元，预测该员工第六年的年薪为多少？附：线性回归方程 = + 中系数计算公式分别为： = = 1()()1()2, =.，其中、为样本均值20.已知数列中，1= 2，2= 3，其前 n 项和满足 + 12+1= 1( 2, +)(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；(
6、2)设= 4，求数列的前 n 项和第 5 页，共 16 页21.已知 过点(1,1)，且与 ：( + 2)2+( + 2)2= 2( 0)关于直线 + + 2 = 0对称()求 的方程；()过点 P 作两条相异直线分别与 相交于 A，B，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线 OP 和 AB 是否平行？请说明理由22.已知动圆 C 过定点2(2,0)，并且内切于定圆1：( + 2)2+ 2= 36(1)求动圆圆心 C 的轨迹方程；(2)若2= 8上存在两个点 M，N，(1)中曲线上有两个点 P，Q，并且 M，N，2三点共线，P，Q，2三点共线， ，求四边形 PMQ
7、N 的面积的最小值第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合 = |2 1 = | 0，所以 = |2 0 = |0 0”的否定： ，2+4 + 5 0，否定限定量词和结论，故选：D否定限定量词和结论即可考查命题的否定，基础题3.【答案】C【解析】解：双曲线的方程为2425= 1，焦点在 y 轴上，所以 A 不正确；2 = 2 5，所以 B 不正确；渐近线方程为2 +5 = 0，所以 C 正确；双曲线的离心率 =32，所以 D 不正确；故选：C利用双曲线的标准方程，判断选项的正误即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4.【答案】D【解析】解：a，b
8、 是实数，如果 = 1， = 2则“ + 0”，则“ 0”不成立如果 = 1， = 2， 0，但是 + 0不成立，所以设 a，b 是实数，则“ + 0”是“ 0”的既不充分也不必要条件第 7 页，共 16 页故选：D利用特例集合充要条件的判断方法，判断正确选项即可本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查5.【答案】C【解析】解： 0 = 2 = 1， =log0.22 20= 1故 ，故选：C直接结合指数与对数函数的单调性进行比较即可比较大小本题主要考查了利用指数与对数函数的单调性进行比较大小，属于基础试题6.【答案】D【解析】解：的逆命题是“若2= 9，则 = 3”，应是 = 3，故错；
9、的否命题是“如果两个三角形不全等，则它们的面积不相等”，错； 1时，判别式 = 224 1 = 44 0，有实根；由逆否命题与原命题同真同假，若 = ，则 ，错；故选：D对四个选项分别进行判断，即可得出结论本题考查四种命题及真假判断，属基础知识的考查7.【答案】A【解析】解：设公差为 d，由题意得41+4 32 = 01+ 4 = 10，所以1= 6 = 4，所以= 410，= 228，故选：A数列是等差数列，设公差为 d，运用通项公式和前 n 项和公式，列出方程组，即可求出首项和公差，从而求出通项公式和前 n 项和本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题8.【答案
10、】B【解析】解： | = 1,| = 2，,的夹角是120， = |120 = 1，第 8 页，共 16 页 |3| =(3)2=926 + 2=9 + 6 + 4 =19故选：B根据条件可求出 = 1，2= 1,2= 4，从而根据|3| =(3)2进行数量积的运算即可求出|3|的值本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题9.【答案】C【解析】解：方程可化为 = + 和2+2= 1从 B，D 中的两椭圆看 a， (0, + )，但 B 中直线有 0， 0矛盾，应排除；D 中直线有 0矛盾，应排除；再看 A 中双曲线的 0，但直线有 0， 0，也矛盾，应排
11、除；C 中双曲线的 0， 0和直线中 a，b 一致故选：C方程可化为 = + 和2+2= 1.由此利用直线和椭圆的性质利用排除法求解本题考查直线与椭圆的图象的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的性质的合理运用10.【答案】A【解析】解： 函数() = 2( + 3)是奇函数，其中 (0,2)， 3 =2+( ) =6， () = 2( +2) = 2 = 2 = cos(22)，则函数() = cos(2) = cos(26) = 2(12)的图象可由函数()的图象向左平移6个单位得到的，C，D 错；A 中， =12时，2 126= 0，所以 =12是对称轴，所以 A 正确，由2
12、6= ， ，得 =12+2， ， = 512代入得不到整数 k 值，B 错故选：A第 9 页，共 16 页三角函数的奇偶性， = 为奇函数， = 为偶函数，进而求出的值，再判断下列命题的真假考查三角函数的奇偶性，对称轴，对称中心性质属于中难度题11.【答案】C【解析】解：由题意设焦距为 2c，椭圆的长轴长 2a，双曲线的实轴长为 2m，不妨令 P在双曲线的右支上由双曲线的定义|1|2| = 2 由椭圆的定义|1| + |2| = 2 又12= 900，故|1|2+|2|2= 42 2+ 2得|1|2+|2|2= 22+22 将代入得2+ 2= 22，即122+122= 2，即112+122=
13、2 故选 C 由题设中的条件，设焦距为 2c，椭圆的长轴长 2a，双曲线的实轴长为 2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得 m，a，c 的等式，整理即可得到结论本题考查圆锥曲线的共同特征， 考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦定理建立三个方程联立求椭圆离心率1与双曲线心率2满足的关系式，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来12.【答案】D【解析】 解 ： 根据题意， 函数() = +12, 1221,12 11 0，解得1 5(2)命题 q：“方程22+2= 1表示双曲线”，则(2) 2或 0若“p 和 q”都是真命题，1 2或
14、0，所以2 5【解析】(1)利用椭圆的简单性质列出不等式组求出 k 范围(2)利用双曲线的性质求出 k 的范围，然后通过两个命题都是真命题，写出结果本题考查命题的真假的判断与应用，椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查18.【答案】解：(1)由已知得sin2 + sin2sin2 = ，由正弦定理得2+ 22= ，由余弦定理得 =2+ 222= 12，因为0 ，所以 =23(2)由(1)知 + =3， =3，第 13 页，共 16 页由题意及正弦定理得， 3 +3 = 23，3sin(3) +3 =3sin(3) + = 1，sin3cos3 + = 1，3212 + = 1，32
15、+12 = 1，又3 +3 |12|，由椭圆的定义知动圆圆心 C 的轨迹是以1，2为焦点的椭圆， = 3， = 2，所以 =5，动圆圆心 C 的轨迹方程是29+25= 1(2)当直线 MN 斜率不存在时，直线 PQ 的斜率为 0，易得| = 8，| = 6，四边形PMQN 的面积 = 24当直线 MN 斜率存在时，设其方程为 = (2)( 0)，联立方程得 = (2)2= 8，消元得224(2+2) + 42= 0设(1,1)，(2,2)，则1+ 2=82+ 412= 4，| =1 + 2(82+ 4)216 =82+8 ， 直线 PQ 的方程为 = 1(2)， = 1(2)29+25= 1，
16、得(52+9)236 + 36452= 0，设(3,3)，(4,4)，则3+ 4=3652+ 912=3645252+ 9，| =1 +12(3652+ 9)243645252+ 9=30(2+ 1)52+ 9，四边形 PMQN 的面积 =12| =128(12+1)(30(2+ 1)52+ 9) = 120(2+ 1)22(52+ 9)，令2+1 = ， 1，上式 = 1202(1)(5 + 4)= 12015+15( + 4)(1)(5 + 4)，令 + 4 = ，( 5)， = 12015+15(5)(516)= 12015+25(5)(165)= 12015+1251 +16415，
17、+16415( 5)，第 16 页，共 16 页 +16415 0， 120(15+0) = 24，综上可得 24，最小值为 24【解析】(1)由题意推出椭圆的定义知动圆圆心 C 的轨迹是以1，2为焦点的椭圆，然后求解椭圆方程即可(2)当直线 MN 斜率不存在时， 求出四边形 PMQN 的面积 = 24.当直线 MN 斜率存在时，设其方程为 = (2)( 0)，联立方程得 = (2)2= 8，消元得224(2+2) + 42= 0，设(1,1)，(2,2)，结合韦达定理以及弦长公式，直线 PQ 的方程为 = 1(2)，联立直线与椭圆方程，设(3,3)，(4,4)，通过韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形 PMQN 的面积，利用换元法结合基本不等式求解最值即可本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，基本不等式的应用，换元法的应用，是难题
