1、第 1 页，共 15 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.下列命题中，正确的是()A. +4的最小值是 4B. 2+ 4 +12+ 4的最小值是 2C. 如果 ， ，那么 2，那么 2.设 p：0 5，q：|2| 3，那么 p 是 q 的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3.非空集合 A、 B 满足， = ， = | ， = |， 则下列关系一定成立的是()A. = B. = C. = D. 4.已知函数 = ( + 1)为偶函数，则下列关系一定成立的是()A. () =
2、 ()B. ( + 1) = ( + 1)C. ( + 1) = (1)D. ( + 1) = ()二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）5.函数 =1的定义域为_6.已知 = |1 2，|23 0时，函数() = + 1的值域为_8.设 = |5 2或2 0，且(0)为()的最小值，则实数 a 的取值范围是_16.若方程2(42) + 2 = 0在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）17.己知集合 = |21 + 1 1, ，集合 = |22 + 21 0, (1)求集合 A；(2)若 () = ，求实数 a 的取值
3、范围第 3 页，共 15 页18.己知函数() = | + | + |(1)若 = 1， = 2，求不等式() 5的解；(2)对任意 0， 0，试确定函数 = ()的最小值(用含 a，b 的代数式表示)，若正数 a、b 满足 + 4 = 2，则 a、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：)满足关系 ：() =3 + 5(0 10)， 若不建隔热层， 每年能源消耗费用为 8 万
4、元 设()为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和()求 k 的值及()的表达式()隔热层修建多厚时，总费用()达到最小，并求最小值第 4 页，共 15 页20.已知函数() =|( 0)，且满足(12) = 1(1)判断函数()在(1, + )上的单调性，并用定义证明；(2)设函数() =()，求()在区间12,4上的最大值；(3)若存在实数 m， 使得关于 x 的方程2()2| + 22= 0恰有 4 个不同的正根，求实数 m 的取值范围21.已知函数() = + 3，() = 2+2 + (1)求证：函数()()必有零点；(2)设函数() = ()()1若|()|在1,0上是减函数
5、，求实数 m 的取值范围；是否存在整数 a、b，以及实数 m，使得不等式 () 的解集恰好是,？若存在，求出 a、b 的值，若不存在，请说明理由第 5 页，共 15 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质、不等式的基本性质，属于基础题根据基本不等式和不等式性质对选项逐一判断即可【解答】解：对于 A，当 2，等号不成立，最小值不为 2，故 B 不正确；对于 C， ， ，那么 + + 即 ，故 C 不正确；对于 D， 2 2， 2 0， ，故 D 正确故选 D2.【答案】A【解析】解：由|2| 3，得：3 2 3，即1 5，即 q：1 0，则定义域为(0,
6、+ )故答案为：(0, + )要使函数有意义，则需 0且 0，解得即可得到定义域本题考查函数的定义域的求法：注意偶次根式被开方式非负，分式分母不为 0，属于基础题6.【答案】(0,2)【解析】解： = |1 2， = |0 0， () = + 1= +1 2 1= 2当且仅当 = 1时，上式“ = ”成立 函数() = + 1的值域为2, + )故答案为：2, + )直接利用基本不等式求得函数() = + 1的最小值得答案本题考查利用基本不等式求最值，是基础题8.【答案】5【解析】解： = |5 2或2 0，3 + 2 = 0，解得： 32，解得： = 32，故实数 a 的取值范围为32,1)
7、故答案是：32,1)由题意可得4 + 42 + 2 0， 且9 + 63 + 2 0，3 + 2 = 0， 分别求得、的解集，再取交集，可得所求本题主要考查分式不等式、元素与集合关系的判断，体现了转化的数学思想，属于中档题12.【答案】 1【解析】解： 函数() =21 +2为偶函数且非奇函数， () = ()，且() ()，第 9 页，共 15 页又21 02 0， 1 = 1，函数() =21 +2为偶函数且奇函数，故答案为： 1利用函数() =21 +2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数 a 的取值范围本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13.【答
8、案】4【解析】解：函数() = 3+ 12+3定义域为1,1，设() = 3+ 12为奇函数，()= ()+3 = 10，所以()= ()= 7，所以()= 7 + 3 = 4，故答案为：4利用函数的奇偶性，求出()的最小值即可考查奇函数与最值的关系，基础题14.【答案】112【解析】解：因为 a，b 为正数，满足3 + + = 24，所以24 = 3 + + 2 3 +；令 = ， 0，则2+2 324 0；解得0 2 3，即0 0时，函数() = +4+3的最小值4 + 3 (0)，即4 + 3 2，解得：1 4，综上所述实数 a 的取值范围是0,4，故答案为：0,4若(0)为()的最小值
9、，则当 0时，函数() = ()2为减函数，当 0时，函数() = +4+3的最小值4 + 3 (0)，进而得到实数 a 的取值范围本题考查的知识点是分段函数的应用， 熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题16.【答案】(3,1【解析】解：设() = 2(42) + 2，若 = 0时，() = 0，得 =12成立，若 0，2(42) + 2 = 0在(0,2)内恰有一解，因为(0) = 2 0，所以只需(2) = 42(42) + 2 0，则2+23 0，得 3,1，当 = 3时，32+5 + 2 = 0的根为 = 2或者 = 13不成立，所以 (3,1，故答案
10、为：(3,1第 11 页，共 15 页对 a 进行讨论，结合二次函数的图象，得出结果考查含参一元二次方程的根的问题，转化为函数问题来解决，注意 a 的临界点的讨论，基础题17.【答案】解：(1)由21 + 1 1得，2 + 1 0；解得1 2； = |1 2； () = ； ；且 = |1 + 1； 1 2，或 + 1 1； 3，或 2； 实数 a 的取值范围为| 2，或 3【解析】(1)解分式不等式21 + 1 1即可得出集合 = |1 2，根据 () = 即可得出 ，且 = |1 + 1，从而得出1 2或 + 1 1，解出 a 的范围即可考查描述法的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，
11、交集和补集的运算，以及子集的定义18.【答案】解：(1)数() = | + | + |.由于 = 1， = 2，所以|1| + | + 2| 5，令1 = 0，解得 = 1，令 + 2 = 0，解得 = 2，故：当 2时，不等式转换为12 5，解得3 2当2 1时，不等式转换为 + 21 5，即1 5，故不等式的解为2 0， 0，所以)| + | + | | + | = + 所以函数 = ()的最小值 = + ，由于正数 a、b 满足 + 4 = 2，整理得12+2= 1，所以 + = ( + )(12+2) =2+2+52 222+52=92第 12 页，共 15 页当 = 43， =23时
12、，M 最小值为92【解析】(1)直接利用分类讨论思想的应用和绝对值不等式的应用求出结果(2)利用关系式的恒等变换的应用及均值不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：绝对值不等式的应用，均值不等式的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.【答案】解：()设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为() =3 + 5再由(0) = 8，得 = 40，因此() =403 + 5而建造费用为1() = 6，最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为() = 20() + 1() = 20 403 + 5+ 6 =8003 + 5+ 6(0 1
13、0)()() = 62400(3 + 5)2，令() = 0，即2400(3 + 5)2= 6解得 = 5， = 253(舍去)当0 5时，() 0，当5 0，故 = 5是()的最小值点，对应的最小值为(5) = 6 5 +80015 + 5= 70当隔热层修建 5cm 厚时，总费用达到最小值为 70 万元【解析】()由建筑物每年的能源消耗费用(单位：万元)与隔热层厚度(单位：)满足关系 ：() =3 + 5(0 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元我们可得(0) = 8，得 = 40，进而得到() =403 + 5.建造费用为1() = 6，则根据隔热层建造费用与 20 年的能
14、源消耗费用之和为()，我们不难得到()的表达式()由(1)中所求的()的表达式，我们利用导数法，求出函数()的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用()的最小值函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一第 13 页，共 15 页20.【答案】解：(1)由(12) =|12|12= 1，得 = 1或 0因为 0，所以 = 1，所以() =|1|当 1时，() =1= 11为增函数，任取1，2 (1, + )，且1
15、2，则(1)(2) = 1111 +12=1212，因为1 12，则12 0，(1)(2) 0，所以()在(1, + )上为增函数；(2)() =()=|1|2=12,1 412,12 1，当1 4时，() =12=112= (112)2+14，因为141 1，所以当1=12时，()=14；当12 1时，() =12= (112)214，因为12 1时，所以1 1时，() = 11 (0,1)同理可得()在(0,1)上为减函数，当0 02 02 121 + 2 0，解得0 116，所以实数 m 的取值范围为(0,116).【解析】(1)由(12) = 1，解方程可得 a，再由单调性的定义，即可
16、证得()在(1, + )上为增函数；第 14 页，共 15 页(2)运用分段函数写出()，讨论1 4，12 0，即 6时，|()| = 2(2) + 2 |()|在1,0上是减函数， 2(2) + 2 = 0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零且 =22 12 022 0或2 2或 0第 15 页，共 15 页 0或 6 的取值范围为(,0 2, + ) () 的解集恰好是,，() = () = 即2+ (2) + 2 = 2+ (2) + 2 = ，消 m，得2 = 0，显然 2 =2= 1 +22 ，b 为整数，所以2 = 1或2 = 2解得 = 3 = 3或 = 1 = 1或 = 2 = 4或 = 0 = 0， ，且 4(2) + (2)24 ， = 1 = 1或 = 2 = 4【解析】(1)利用一元二次函数存在零点求解；(2)利用对折变换函数图象的特征，分 大于零，小于等于零两种情况讨论；利用 () 的解集恰好是,得到() = () = 再进行求解本题考查了二次函数存在零点的问题，分类讨论思想，以及逻辑推理能力，综合性强，难度高
