1、第 1 页，共 16 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.已知集合 = (,)| = + 1，集合 = | = 2, 0，则 = ()A. 1,2B. (1,2)C. (1,2)D. 2.已知点(2,14)在幂函数 = ()的图象上，则()的表达式是()A. () =8B. () = 2C. () = 2D. () = (12)3.溶液的酸碱度是通过 pH 值来刻画的， 已知某溶液的 pH 值等于lg+， 其中+表示该溶液中氢离子的浓度， 若某溶液氢离子的浓度为106/， 则该溶液的 pH值为()A. 4B
2、. 5C. 6D. 74.已知 = ()是 R 上的增函数，且它的部分对应值如表所示，则满足|()| 3的x 的取值范围是()x2102y6313A. (0,2)B. (1,2)C. (,1)D. (2, + )5.设 =log54， = (log53)2， =log45，则()A. B. C. D. 0( 0)的解集是(1,2)(12)， 则下列结论中错误的是()A. 1+2= 2B. 12 4D. 1 12 0，函数() =2 + 1, 02(), 0， = ()有无数个零点，则实数 a 的最大值为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）18.已知集合 = | =21 + ln
3、(3)，集合 = |2 0(1)求；(2)若() = ，求实数 a 的取值范围19.函数() = 2(21)(1)解不等式() 1；(2)若方程() = 4(4)有实数解，求实数 m 的取值范围第 4 页，共 16 页20.如图，已知 ， = = 5， = 8，点 P从 B 点沿直线 BC 运动到 C 点，过 P 做 BC 的垂线 l，记直线 l 左侧部分的多边形为，设 = ，的面积为()，的周长为()(1)求()和()的解析式；(2)记() =()()，求()的最大值21.已知函数() = ()(| + )1， 0(1)当 = 2时，求函数()的单调区间；(2)若()在(2,2)内恰有一个零
4、点，求实数 a 的取值范围第 5 页，共 16 页22.已知定义在 R 上的函数()不恒为零，且对于任意 x， 满足() = ()(1)()(1)(1)求(0)，(1)的值，并判断函数()的奇偶性；(2)若对任意的 有(1 + ) = (1)，且() = (1)证明：2()() = ()( + )；证明 ： 不等式(2)() + (2) + + (2019) 2(20) + 2(19)恒成立第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】D【解析】解： = (,)| = + 1， = | = 2, 0， = 故选：D可看出集合 A 的元素是点(,)，集合 B 的元素是实数 y，元素不同
5、，从而得出 = 本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】C【解析】解：设() = ，由于点(2,14)在幂函数 = ()的图象上，则2=14，解得 = 2，故() = 2故选：C直接设出函数的关系式，进一步利用点的坐标的应用求出结果本题考查的知识要点：幂函数的解析式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数的值，是基础题由题意直接求解即可【解答】解：由题意可得：该溶液的 PH 值为106= 6故选：C4.【答案】B第 7 页，共 16 页【解析】解：解不等式|()| 3，得3 () 3，而
6、(1) = 3，(2) = 3，所以(1) () (2)，已知 = ()是 R 上的增函数，所以1 2故选：B解不等式|()| 3，得3 () 3，由 = ()是 R 上的增函数，得出结论考查绝对值不等式的解法，函数单调性的应用，基础题5.【答案】A【解析】解： 0 =log53 1， = (log53)2log53 log54 1， 故选：A由0 =log53 1，可得 = (log53)2log53 log54 0( 0)的解集是(1,2)(12)， 0，1，2是一元二次方程22 + 13 = 01+2= 2，12=13=13 4由21 4，可得：1 12 0( 0)的解集是(1,2)(1
7、2)，可得 0，则1=2+ 1 +，两式相减得： =122， () = |122|， () =12|1|( 0)，当1 即0 1时，() =12(1)，() = 121 1且在 R 上单调递增，则原函数可化为 =12|1| =12(1)在(1, + )上单调递增，由复合函数单调性可得原函数单调递增；对于 D 选项，令 = lg| + 1 0得 110，且其在(,110)上单调递减，在(110, + )上单调递增，由复合函数的单调性知原函数不单调故选：C利用换元法先求出函数()的解析式， 再求出其单调性， 然后利用复合函数 “同增异减”一一验证每一个选项即可得出结论本题主要考查函数解析式的求法以
8、及复合函数的单调性，属于中档题11.【答案】3 4【解析】解：依题意得：1 + + 2 = 0，解得 = 3第 10 页，共 16 页则23 + 2 = 0，解得1= 1，2= 2，所以 = 1,2，所以集合 A 的子集个数为22= 4故答案是：3；4把 = 1代入关于 x 的方程2+ + 2 = 0，求得 a 的值，然后可以求得集合 A，则其子集的个数是2本题考查集合的子集个数的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答12.【答案】9 15【解析】解： 3= 5= ， = 3； 5= 3 25= (52)= 52= (5)2= 9 3= 5= ； =log3， =log5；1+1=13+15
9、=log3 +log5 =log15；log15 = 2； 2= 15，又 0 =15故答案为：9， 15第一个空直接利用指数幂的运算即可求解；第二个空需要先利用指数和对数的相互转换求出1+1，再利用对数的运算性质求解即可本题考查了指数幂以及对数的运算性质， 属于基础题， 但要是学生的基本功不扎实的话，容易算错13.【答案】1,2 0,1【解析】解： 函数() =22=(2)，可得(2) 0，求得0 2，可得函数的定义域为0,2，由于函数 = (2)的最大值为 1，且 y 的图象的对称轴为 = 1，故函数的单调递减区间为1,2，值域为0,1，故答案为：1,2；0,1第 11 页，共 16 页先
10、求出函数的定义域，再根据函数 = (2)的单调性的性质，得出结论本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、根式的性质，属于基础题14.【答案】1 28【解析】解：因为奇函数()，所以() = ()，所以 (1,1)，() = 2，由() + ( + 2) = 0，得( + 2) = () = ()，所以( + 4) = ( + 2) = ()，()的周期为 4，(32) = (12) = (12) = 2 12= 1，当 (3,5)时，4 (1,1)，所以(4) = 2(4)，又根据周期性(4) = ()，所以() = 28故答案为：1；28利用奇函数()，所以() = ()，又满足() + (
11、 + 2) = 0，得到周期 = 4，然后算出相应的值和解析式考查了函数的奇偶性的性质，周期性的判断，求函数的解析式，是一道考查函数性质的综合题，中档题15.【答案】8【解析】解：由题意作出维恩图如下：则 + + 8 = 15 + + 8 = 25 + + + 2 = 13，且 + + + + + 8 = 40， 7 + 17 + + + + 8 = 40，第 12 页，共 16 页解得 = 8 只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数为 8故答案为：8作出维恩图，结合维恩图列出方程组，能求出只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数本题考查只参加摄影这一个兴趣小组的同学人数的求法，考查维恩图等基础知识，考
12、查运算求解能力，是基础题16.【答案】 2【解析】解：当 2,0时，3 0，所以对任意的 a，显然成立，当 0,2时，由| + | + 1| 3可得，| 31 = 21，当 0,12时，显然成立，当 12,2时，21 0，所以()2 (21)2，化简得32+(24) 0， 0，所以2 44，所以2 4，即 2故答案为： 2对 2,2，进行分类讨论，当 12,2时，两边平方，利用恒成立问题，求出 a 的范围考查了绝对值不等式的解法，分类讨论法，恒成立问题的解法，中档题17.【答案】1【解析】解：因为 0，函数() =2 + 1, 02(), 0，当 0时，图象是射线；当0 时， 0，() = 2
13、()的图象是把(,0的图象每个点纵坐标乘以2， 再向右平移 a 个单位长度；当 2时，() = 2()的图象是把(0,的图象每个点纵坐标乘以2，再向右平移 a 个单位长度；以此类推；第 13 页，共 16 页若()有无数个零点，则只要()在(,0上有零点，即 =12 (,0， (13,1，故 a 的最大值为 1；故答案为：1根据分段函数解析式，当 0时，图象是射线；当0 时， 0，() = 2()的图象是把(,0的图象每个点纵坐标乘以2， 再向右平移 a 个单位长度；当 0 = |12 3，则集合 = | 12或 3；(2)若() = ，则 ；当 = 时，有2 0，解不等式2 0得 ；有0 1
14、2或 3，此时 3不满足条件；综上知，实数 a 的取值范围是 12【解析】(1)化简集合 A，根据补集的定义写出集合；(2)由() = 得出 ，讨论 = 和 时，分别求出实数 a 的取值范围本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了分类讨论思想，是基础题19.【答案】解：(1)等式() 1即2(21) 1； 0 21 2，即1 2 3， 0 log23， 故不等式() 1的解集为|0 0，所以 0，且4 0；所以(21)2= 4 在 0上有解；第 14 页，共 16 页即 = 2 2+2 4+1在 0上有解；设2= ( 1)即 = 222 + 1在 1上有解；当 1时， = 222 + 1 1；
15、故实数 m 的取值范围： 1【解析】(1)直接利用对数函数的单调性解不等式，注意真数要大于 0；(2)转化为(21)2= 4 在 0上有解；分离参数即 = 2 2+2 4+1在 0上有解本题考查对数不等式，方程能成立问题，涉及等价转化，属于中档题20.【答案】解：(1)做 的高 AD， = = 5， = 8， = 3， =35， =45， =34，设垂线段 l 长为 h，当0 4， =34=， =34，() =12 34 =382，() = +34 +2+ (34)2= 3，当4 8， =34=8， =34(8)，() = 1238(8)2，() = 8 + 5 + 554(8) +34(8)
16、 = 1412，(2)当0 4时，() =()()=18 2，最大值为 2当4 2故最大值为125【解析】(1)根据图象求出()和()；(2)求出()，分两种情况，求出最大值考查了求函数的解析式，已知函数求最值，函数的单调性，中档题21.【答案】解：(1)当 = 2时，第 15 页，共 16 页() = ( + 2)(| + 2| + )1= ( + 2)| + 2| + ( + 2)1= ( + 2)| + 2| + 2+21 =22+ 6 + 3, 225. 2，函数()在(,32)上单调递减，函数()在(32, + )上单调递增(2)() = ()(| + )1= ()| + ()1=
17、()| + 21 =223 + 21, 21, 当 时，() = 223 + 21的对称轴为 =34， 0， 34 0，() = 1 0， 当 时，()与 x 轴交点(2+ 1,0)，当 时，()与 x 轴交点(3 +2+ 84,0)， 2 2+ 1 2 3 +2+ 84或2+ 1 2 3 +2+ 84 2， 无解或3 2 0，故 a 的取值范围3 2 0【解析】(1).根据绝对值的应用，结合函数的单调性进行判断(2).() = ()(| + )1 =223 + 21, 21, ， 通过分析函数图象结合零点得到不等式，进而得出 a 的取值范围本题考查了研究分段函数的单调性，考查了函数零点与函数
18、的单调性关系，考查了推理能力与计算能力22.【答案】解：(1)令 = ，得() = ()(1)()(1) = 0，所以(0) = 0，令 = 0，得() = ()(1)(0)(1) = ()(1)， 定义在 R 上的函数()不恒为零， (1) = 1，令 = 1，得(1) = ()(0) + (1)(1) = (1)，第 16 页，共 16 页即对于任意的 ，恒有(1) = (1)，即() = ()，所以()为奇函数；(2)证明：() = (1 + ) = (1 + )(1)()() = ()() + ()()，同理( + ) = ()()()()， 2()() = ()( + )； (1)
19、= (1 + ) = (1 + )(1)()() = 2(1) + 2()， 2(1) + 2() = 1， |()| 1且2(20) + 2(19) = 2(20) + 2(19) = 1，则2(2)() + (2) + + (2019)= (2)( +2) + (22)(2 +2) + + (20192)(2019 +2)= (2)(2019 +2)= (2020220192)(20202 +20192)= 2(1010)(20192)，故(2)() + (2) + + (2019) = (1010)(20192) 1 = 2(20) + 2(19)，即得证【解析】(1)通过赋值法， = ， 可得(0)； 令 = 0， 得() = ()(1)， 求出(1) = 1；令 = 1，得(1) = ()(0) + (1)(1) = (1)，即() = ()，即可判定奇偶性(2)表示出()及( + )，即可得证；首先推导出2(1) + 2() = 1，进而得出结论|()| 1且2(20) + 2(19) = 2(20) + 2(19) = 1，且2(2)() + (2) + + (2019) = 2(1010)(20192)，由此即可得证本题主要考查抽象函数的应用，考查赋值法以及推理论证能力，化简求解能力，抓住抽象函数的特征式，并灵活运用是解题的关键，对数学思维的要求较高，属于难题
