1、第 1 页，共 21 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合 = 2,1,0，1，2， = | 0，则 = _2.已知复数 z 满足2 + = (为虚数单位)，则复数 z 的实部为_3.已知向量 = (,2)， = (2,1)，且 ，则实数 x 的值是_4.函数 =lg(1)2的定义域为_5.在等比数列中，1= 1，4= 8，则前 5 项和5= _ 6.已知 = 2，则cos + 2的值为_7.“ 2”是“ 1”的_ 条件(填“充分不必要” 、“必要不充分” 、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个)
2、8.已知函数 = 2的图象上每个点向左平移(0 2)个单位长度得到函数 = sin(2 +6)的图象，则的值为_9.设函数() =, 02 + 1, (2)的解集为_10.已知函数() = 的极小值大于 0，则实数 m 的取值范围为_11.已知各项都为正数的等差数列中，5= 3，则37的最大值为_12.已知菱形 ABCD 的棱长为 3，E 为棱 CD 上一点且满足 = 2，若 = 6，则 = _13.若方程cos(26) =35在(0,)的解为1，2，则cos(12) = _第 2 页，共 21 页14.已知函数() = 323，() = 1，若对于任意1 (0,3)，总是存在两个不同的2，3
3、 (0,3)，使得(1) = (2) = (3)，则实数 a 的取值范围为_二、解答题（本大题共 11 小题，共 142.0 分）15.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， = 120， = 7， = 2(1)求 a，b 的值；(2)求sin( + )的值16.已知向量 = (, 3)， = (,)(1)若/， 0,2，求 x 的值；(2)若() = ， 0,2，求()的最大值及相应 x 的值17.已知等比数列满足2= 2，且2，3+1，4成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)设= |2 + 1|，求数列的前 n 项和为第 3 页，共 21 页18.如图所示，某窑洞窗口形状上
4、部是圆弧 CD，下部是一个矩形 ABCD，圆弧 CD 所在圆的圆心为.经测量 = 4米， =33米， = 120，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形 EFGH，其中 E，F 在边 AB 上，G，H 在圆弧 CD 上设 = ，矩形 EFGH 的面积为 S(1)求矩形 EFGH 的面积 S 关于变量的函数关系式；(2)求为何值时，矩形 EFGH 的面积 S 最大？19.已知函数() =1(1)求()的图象在 = 1处的切线方程；(2)求函数() = ()的极大值；(3)若() 对 (0,1恒成立，求实数 a 的取值范围第 4 页，共 21 页20.已知数列满足(1) + 1= 1, (1)证明：
5、数列为等差数列；(2)设数列的前 n 项和为， 若21= 1， 且对任意的正整数 n， 都有1311+12+13+ +143，求整数1的值；(3)设数列满足=+310，若21=15，且存在正整数 s，t，使得+是整数，求|1|的最小值21.已知二阶矩阵 =13的特征值 = 1所对应的一个特征向量为13(1)求矩阵 M；(2)设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线的方程为2= ，求曲线 C 的方程第 5 页，共 21 页22.已知曲线 C 的极坐标方程为 = 2 + 2 3(为参数)， 直线 l 的参数方程为 = 1 + = (为参数，0 0， = 1,2故答案为：1,2利用交集定义直接求
6、解本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.【答案】1【解析】解：由2 + = ，得 = (2 + ) = 1 + 2 复数 z 的实部为1故答案为：1把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】1【解析】解： 向量 = (,2)， = (2,1)，且 ， 22 = 0，求得 = 1，故答案为：1由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出 x 的值本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题4.【答案】(1,2)【解析】解：函数
7、=lg(1)2中，令1 02 0，解得1 2时， 1一定成立当 1时， 2不一定成立，比如当 =32时，满足 1时，但 2不成立 “ 2”是“ 1”充分不必要条件故答案为：充分不必要根据充分条件和必要条件的定义进行判断本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础第 9 页，共 21 页8.【答案】12【解析】解：把函数 = 2的图象上每个点向左平移(0 (2)等价于 + 2 2，即22 0，解得1 2，解出即可本题考查利用分段函数特征解不等式，涉及函数单调性，不等式解法，属于中档题10.【答案】(,1)【解析】解：由() = ，得() = + 2( 0)令() = 0，则 = ，因为() =
8、 的极小值大于 0，所以 0，所以 时，() 0，当0 时，() 0，所以 1，综上，m 的取值范围为(,1).故答案为：(,1).对()求导，根据() = 的极小值大于 0，可得 0，7 0，所以37 (3+ 72)2= (5)2= 9当且仅当3=7= 3时等号成立故答案为：9因为等差数列各项都为正数，所以37 (3+ 72)2= (5)2= 9本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题12.【答案】13【解析】解：如图， = 2， = 2，由 = 6得() () = 6，得 + = 6，得 +29 + = 6，得13 = 1，13 3 3 = 1， =13，故答案为13利用 E
9、 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,之间的关系即可解决此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大13.【答案】35【解析】解：由方程cos(26) =35在(0,)的解为1，2，得cos(216) = cos(226)，第 11 页，共 21 页 (0,)， 26 (6,116)，216+ 2262= ，1=762 cos(12) = cos(7622).又cos(226) =35 cos(12) = cos(7622) = cos(226) = 35故答案为：35由已知可得1+2=76，得到1=762，则cos(12) = cos(7622)，结合已知得答案本题考查 =
10、( + )型函数的图象与性质，考查函数零点的判定及其应用，是中档题14.【答案】1,243)【解析】解：() = 323， (0,3)，() = 632= 3(2)，可得：函数()在(0,2上单调递增，在(2,3)上单调递减而(0) = (3) = 0，(2) = 4 () (0,4 = () = 1， (0,3)，() = 11，在 (0,3)上单调递增，(1) = 0， 函数()在(0,1上单调递减，在(1,3)上单调递增0+时，() + ；(1) = 1，(3) = 23令 = 1,23)对于任意1 (0,3)，总是存在两个不同的2，3 (0,3)，使得(1) = (2) = (3) 1
11、 0，且4 23解得1 0， 可得 = 3， = 5(2) 由(1)可知 = 5， = 3， = 7， =2+ 222=1314， 为 的内角， =1cos2 =3314， sin( + ) = sin() = =3314， sin( + )的值为3314【解析】(1)由已知利用余弦定理可得2+ 2+ = 49， 结合 = 2， 即可解得 a， b的值(2)由(1)及余弦定理可求 cosB，根据同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin( + )的值本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，诱导公式在解三角形中的综合应用
12、，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.【答案】解：(1) = (, 3)， = (,)，/， =3cos2，第 13 页，共 21 页 ( 3) = 0， = 0或 3 = 0，即 = 0；或 =3， 0,2， =2或 =3；(2)() = = cos2 +3=1 + 22+322= sin(2 +6) +12 0,2， 2 +6 6,76， sin(2 +6) 12,1， () 0,32，故()的最大值为32，此时 =6【解析】(1)利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；(2)把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值此题考查了向量共线，数量积，三角
13、函数求值等，难度不大17.【答案】解：(1)设等比数列的公比为( 0)，2，3+1，4成等差数列， 2(3+1) =2+4，2= 2， 2(2 + 1) = 2 + 22，解得 = 2或 = 0(舍)1=2= 1 数列的通项公式为= 21；(2)设=2 + 1 = 212 + 1， + 1= 22( + 1) + 1(212 + 1) = 212 当 3时， + 1又4= 1 0， 当 4时， 0，即 4时，= 212 + 1第 14 页，共 21 页1= 0，2=3= 1， 1= 0，2=3= 11= 0，2= 1，3= 2，当 4时，=1+2+3+4+ += 2 + 4+ 5+ + = 2
14、 + (23+ 24+ + 21)(7 + 9 + + 21)= 2 +23(123)127 + 212(3) = 22+3综上，=0, = 11, = 22, = 322+ 3, 4【解析】(1)由已知列式求得等比数列的公比， 进一步求得首项， 则数列的通项公式可求；(2)设=2 + 1 = 212 + 1，作差可得当 4时， 0，即 4时，= 212 + 1，再求出数列的前 3 项，然后分类利用数列的分组求和求数列的前 n 项和为本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和，考查数列的函数特性，是中档题18.【答案】解：(1)如下图所示，作 分别交 AB，GH 于点 M，N，由四边形
15、 ABCD，EFGH 是矩形，O 为圆心， = 120，故 . ，P、M、N 分别为 CD，AB，GH 的中点 = 60，在 中， = 2， = 60，所以 =433， =233，第 15 页，共 21 页 = = =33，在 中， = = ， = =433， =433， =433， = 2 =833， = = =43333， = = (43333) 833 =83(41)， (0,3). 关于的函数关系式为： =83(41)， (0,3).(2)根据(1)，知： =83(4242) =83(824)， (0,3)， (12,1)故令 = 0，解得 =1 +12916 (12,1)设0 (0,
16、3)且0=1 +12916， 0，得0 0，即 S 在(0,0)单调递增， 0，得0 0)() =12+121， ()在(0, + )上单调递减，又(1) = 0 (0,1)时，() 0，函数()在(0,1)上单调递增；第 16 页，共 21 页 (1, + )时，() 0，对 (0,1恒成立， ()在 (0,1单调递增又(1) = 0， 0 (0,1时，(0) 0，与() 对 (0,1恒成立矛盾，舍去 1时，设() = ( )2+2 ， (0,1， = 442 0， () 0， () 0，对 (0,1恒成立， ()在 (0,1单调递减又(1) = 0， () (1) = 0，这与() 对 (
17、0,1恒成立， 1成立0 0，由() = 0，解得：1=1 12=1 +12 (0,1)；2=1 +12 1 0 1 1 0， () 0， ()在 (1,1)单调递增又(1) = 0， (1) 0).() =12+121，()在(0, + )上单调递减，而(1) = 0.即可得出单调性与极值(3)令() = () = ( 1)， (0,1， () =12(1+1) =()2+ 22.对 a 分类讨论，令() = ( )2+2 ， (0,1， = 442，利用导数研究其单调性即可得出实数 a 的取值范围本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系
18、、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题20.【答案】证明：(1)数列满足(1) + 1= 1, .第 17 页，共 21 页当 2时，(2)= (1)11, 得(1) + 12(1)+(1)1= 0，所以 + 12+1= 0，所以数列为等差数列(2)由(1)得21= 1，所以数列的公差为 1，由于对任意的正整数 n，都有1311+12+13+ +143，所以131143，则341 3，即341 0，11=1213，11+12+13+ +113恒成立由于1=23(11 + 3)，所以11+12+13+ +1=23(114+1215+1316+ +121 + 1+111 + 2+11
19、+ 3)，=23(1 +12+131 + 11 + 21 + 3) 11943综上所述1= 2(3)由于21=15，所以数列的公差 d 为15，所以=1+15(1)，则=1+15 +110，由题意知设存在正实数 s 和 t，使得+= ，则1+5+1+5+110= ，则201= 2(5) + 1由于5 ，所以2(5)为偶数，所以|201| 1，所以|1| 120当1=120时，4=1920，所以存在1+4= ，综上所述，|1| =120【解析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用，利用等差中项进行证明(2)利用放缩法的应用和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明(3)利用假设法的应用和存在性问题的
20、应用求出最小值第 18 页，共 21 页本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型21.【答案】解：(1)依题意，得1313=13，即 + 3 = 13 + 3 = 3，解得 = 2 = 0， =2130(2)设曲线 C 上一点(,)在矩阵 M 的作用下得到曲线2= 上一点(,)，则=2130，即 = 2 + = 3 2= ， 92= 2 + ， 曲线 C 的方程为 = 922【解析】本题第(1)题根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性
21、方程组可得 a、b 的值，即可得到矩阵 M； 第(2)题根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线 C 的方程本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力， 以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程本题属中档题22.【答案】解：曲线 C 的极坐标方程为 = 2 + 2 3(为参数)，转换为直角坐标方程为(1)2+( 3)2= 4转换为直角坐标方程为 = (1)( = )，由于曲线 C 被直线 l 截得的弦长为 13，所以圆心到直线的距离 =4134=32=|3|1 + 2，解得 = 3，由于0 2，所以 = =3，解得 =3【解析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐
22、标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果第 19 页，共 21 页本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.【答案】证明：由于 + + = 1，则 + + + + + =1( + ) + +1( + ) + +1( + ) + =1 + +1 + +1 + 3，对于正数 a，b，c，由柯西不等式( + ) + ( + ) + ( + )(1 + +1 + +1 + ) ( + 1 + + + 1 + + + 1 + )2= 9，所以1
23、 + +1 + +1 + 92，从而 + + + + + 923 =32，当且仅当 = = =13时取等号，【解析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为 1，再配凑柯西不等式本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构24.【答案】解：(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件 A，B，C，则() =34，且有()() =112()() =14，即(134)1() =112()() =14，解得() =38，() =23 乙击中目标的概率为38，丙击中目标的概率为23(2)由题意 X 的可能取值为 0，1，2，( = 2) =14，( = 0) = ()() =5813=5
24、24，( = 1) = 1( = 0)( = 2) =1324， 的分布列为： X 0 1 2 P 524 1324 14第 20 页，共 21 页() = 0 524+1 1324+2 14=2524【解析】(1)设甲、乙、丙击中目标分别记为事件 A，B，C，则() =34，且()() =112()() =14，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率(2)由题意 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和()本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题25.【答
25、案】解：(1) 直三棱柱111， 1 平面 ABC， ， 平面 ABC， 1 ，1 ， = 90， 建立分别以 AB，AC，1为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，设 = 1，则 = = 1，1= 3， (0,0，0)，(1,0，1)，1(0,0，3)，(0,1，2)， = (1,0，1)，1 = (0,1，1)， | = |1| =2， 1 = 1， cos = 1| |1|=122= 12， 向量和1所成角为120 异面直线 AE 与1所成角为60(2) (,0，3)，(0,a，23)， = (,0，3)， = (0,a，23)，设平面 AEF 的法向量 = (,y，)，则 = +3 = 0 = +23 = 0，取 = 1，得 = (3,23,1)，同理得平面1的一个法向量 = (23,3,1)， 平面 平面1， = 229229+1 = 0，解得 =23第 21 页，共 21 页 当平面 平面1时，的值为23【解析】(1)推导出1 平面 ABC，1 ，1 ， 建立分别以 AB， AC，1为 x，y，z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线 AE 与1所成角(2)推导出平面 AEF 的法向量和平面1的一个法向量，由平面 平面1，能求出的值本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题
