1、第 1 页，共 14 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）1.已知全集 = 1,2，3，4，5，6，7，8，集合 = 2,3，5，6，集合 = 1,3，4，6，7，则集合A. 2,5B. 3,6C. 2,5，6D. 2,3，5，6，82.i 是虚数单位，复数7 + 3 + 4= ()A. 1B. 1 + C. 1725+3125D. 177+2573.(223)5展开式中的常数项为()A. 80B. 80C. 40D. 404.设 ，则“|1| 1”是“22 0，且 1)的导函数为_11.在 中， = 45， =
2、5， = 3，则sin = _12.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向， 拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则从四年级本科生中抽取的人数比一年级本科生中抽取的人数多_名学生13.某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_ 种(用数字作答)14.若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16， 则这个球的表面积是_15.己知 0， 0，且2+1= 1，若 + 2 2+
3、2恒成立，则实数 m 的取值范围_三、解答题（本大题共 5 小题，共 75.0 分）16.已知函数() =1()求()的单调区间；()若( + 2) (2)( )，求 a 的取值范围第 3 页，共 14 页17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，.8 = ()求 cosC；()若 =52，且 + = 9，求 c18.己知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑球， 乙盒内有大小相同的 2 个红球和 3个黑球现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球()求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率；()设为取出的 4 个球中红球的个数，求的分布列和数学期望19.如图，已知四棱锥，底面 A
4、BCD 为菱形， 平面 ABCD， = 60，E，F 分别是 BC，PC的中点第 4 页，共 14 页()证明： ；()设 = = 2，求异面直线 PB 与 AD 所成角的正弦值；求二面角的余弦值20.已知等差数列的公差为 2，前 n 项和为，且1，2，4成等比数列(1)求数列的通项公式；(2)令= ( 1) 14+ 1，求数列的前 n 项和第 5 页，共 14 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】此题考查了交、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键属于基础题由全集 U 及 B，求出 B 的补集，找出 A 与 B 补集的交集即可【解答】解： 全集 = 1,2，3，4，5
5、，6，7，8，集合 = 2,3，5，6，集合 = 1,3，4，6，7，5，8，则故选：A2.【答案】A【解析】解：复数7 + 3 + 4=(7 + )(34)(3 + 4)(34)=252525= 1，故选：A将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数34，即求出值本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题3.【答案】C【解析】解：设(223)5展开式中的通项为 + 1，则 + 1= 5 2(5) (2) 3= (2) 5 105，令105 = 0得 = 2， (223)5展开式中的常数项为(2)2 25= 4 10 = 40故选：C利用(223)5展开式中的通项公式 + 1= 5 2
6、(5) (2) 3，令 x 的幂指数为 0，求得 r 的值，即可求得(223)5展开式中的常数项本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题第 6 页，共 14 页4.【答案】A【解析】解：|1| 1，解得：0 1由22 0，解得：1 2 “|1| 1”是“22 0的条件下，y 的减区间，再利用二次函数的性质可得结论【解答】解：函数() = 12(29)的单调递增区间，即函数 = 29在满足 0的条件下，y 的减区间再利用二次函数的性质可得，函数 = 29在满足 0的条件下，y 的减区间为(,3)，故选：D第 7 页，共 14 页7.【答案】D【解析】解 ： 对于
7、 A： = sin(2 +6)，当 = 23时， =12，不是最值，不符合题意，B： = sin(2 +13)，当 = 23时， = 0，不是最值，不符合题意，C： = sin(213)，当 = 23时， =12不是最值，不符合题意，D： = sin(26)，当 = 23时， = 1，且最小正周期 = ，符合题意，故选：D结合正弦函数的周期公式及对称轴取得函数的最值即可进行判断本题主要考查了郑先生性质的简单应用，属于基础试题8.【答案】C【解析】解：数列满足 + 1=+ + 1( )，且1= 2，可得2=1+1 + 1，3=2+2 + 1， 10=9+9 + 1，累加可得：10=1+(1 +
8、2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 9 = 56故选：C利用数量的递推关系式，结合累加法转化求解即可本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题9.【答案】A【解析】解：根据题意，分别以直线 AC，BD 为 x，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，根据菱形 ABCD 的边长为 2， = 120可求出以下几点的坐标：第 8 页，共 14 页(0, 3)，(1,0)，(0, 3)， =12， =13，|=12， (12,32)，(13,233)， = (13,533), = (12,332)， =16152= 223故选：A根据题
9、意， ，从而可分别以直线 AC，BD 为 x，y 轴，建立平面直角坐标系，并根据条件可求出 B，C，D 三点的坐标，进而根据 =12， =13可求出 E，F点的坐标，从而得出向量,的坐标，然后进行数量积的坐标运算即可本题考查了通过建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标可求向量的坐标，中点坐标和定比分点坐标公式，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于中档题10.【答案】() = 【解析】解：() = 故答案为：() = 指数函数的导数公式：() = 考查指数函数的导数公式，属于基础题11.【答案】31010第 9 页，共 14 页【解析】解： = 45， =5， = 3，由正弦
10、定理可得，3sin=545，则sin =3 225=31010故答案为：31010直接利用正弦定理，计算即可求解本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题12.【答案】30【解析】解：依题意，四年级本科生中抽取的人数为：300 64 + 5 + 5 + 6= 90，一年级本科生中抽取的人数为：300 44 + 5 + 5 + 6= 60，故四年级本科生中抽取的人数和一年级本科生中抽取的人数多9060 = 30人，故答案为：30根据样本容量及各年级人数比， 求出四年级本科生中抽取的人数和一年级本科生中抽取的人数即可本题主要考查了分层抽样的定义和方法， 利用了总体中各层的个体数之比等
11、于样本中对应各层的样本数之比，是解题的关键属于基础题13.【答案】30【解析】解：分以下 2 种情况：(1)类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有1324种不同的选法；(2)类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有2314种不同的选法所以不同的选法共有1324+ 2314= 18 + 12 = 30种故答案为：30 由题意分类：(1)类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，确定选法；(2)类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，确定选法；然后求和即可本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想14.【答案】24【解析】第 10 页，共 14 页【分析】本题
12、考查正四棱柱的外接球的表面积，考查计算能力，是基础题先求出正四棱柱的底面边长，再求其体对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4，体积为 16，则它的底面边长是 2，所以它的体对角线的长是2 6，所以球的直径是2 6，所以这个球的表面积是：4( 6)2= 24故答案为2415.【答案】4,2【解析】解：由2+1= 1，可得 + 2 = ( + 2)(2+1) = 4 +44 4 + 24= 8，而 + 2 2+2恒成立2+2 ( + 2)，所以2+2 8恒成立，即2+28 0恒成立，解得4 2故答案为：4,2由2+1= 1， 可得 + 2
13、 = ( + 2)(2+1)展开， 利用基本不等式可求 + 2得最小值，而 + 2 2+2恒成立2+2 0， () 0在(0, + )上恒成立，即()单调递减区间为(0, + )；() ( + 2) 02 0 + 2 2，.(11分)第 11 页，共 14 页解不等式组得1 0，或0 2【解析】()求导，利用() 0，判断出函数的单调性 ；()根据函数的单调性，得出满足条件的不等式组，解出即可本题考查了导数的综合应用，属于中档题17.【答案】解：() 8 = ， 由正弦定理得8 = ，化简得 =18() =52， =52， = 20，又 + = 9， 2+2 + 2= 81， 2+ 2= 41
14、， 2= 2+ 22 = 36， = 6【解析】()由已知利用正弦定理得8 = ，化简可求 cosC 的值()由已知利用平面向量数量积的运算可求 = 20，又 + = 9，可得2+ 2= 41，进而根据余弦定理可求 c 的值本题主要考查了正弦定理， 平面向量数量积的运算， 余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题18.【答案】解：()设“取出的 4 个球中恰有 1 个红球”为事件 A，则() =111223+ 2212132325=25；()可能的取值为 0，1，2，3；则( = 0) =22232325=110，由()知，( = 1) =25，( = 2) =11
15、121213+ 22222325=1330，第 12 页，共 14 页( = 3) =1112222325=115；所以的分布列为：0123P110251330115的数学期望为 = 0 110+1 25+2 1330+3 115=2215【解析】()利用互斥事件的概率和计算所求概率值；()由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，求出数学期望值本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题19.【答案】解：()证明：由四边形 ABCD 为菱形， = 60，可得 为正三角形因为 E 为 BC 的中点，所以 又 /，因此 因为 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ，
16、而 平面 PAD， 平面 PAD 且 = ，所以 平面 PAD，又 平面 PAD所以 ()由()知 AE，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又 E，F 分别为 BC，PC 的中点，所以(0,0，0)，( 3,1,0)，( 3,1,0)，(0,2，0)，(0,0，2)，( 3,0,0)，(32,12,1)， = ( 3,1,2), = (0,2,0)， cos = | |=3 0 + 1 2 + 2 022 2=24，设异面直线 PB 与 AD 所成角为， =144， = ( 3,0,0), = (32,12,1)设平面 AEF 的一法向量为 = (1,1,
17、1)，第 13 页，共 14 页则 = 0 = 0因此31= 0,321+121+ 1= 0.取1= 1，则 = (0,2，1)，因为 ， ， = ，所以 平面 AFC，故 为平面 AFC 的一法向量，又 = ( 3,3,0)，所以 cos = | | | |=2 3512=155，因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为155【解析】()证明 ， 平面 PAD，然后证明 ()以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出 = ( 3,1,2),= (0,2,0)，得到异面直线 PB 与 AD 所成角的正弦函数值；求出平面 AEF 的一法向量，平面 AFC 的一法向量，利用空间向量的
18、数量积求解所求二面角的余弦值本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、利用法向量夹角求空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】解：(1) 等差数列的公差为 = 2，前 n 项和为，= 1+(1)2 = 2 + 1，1，2，4成等比数列， 22=14， (222 + 21)2=1 (424 + 41)，化为(1 +1)2=1(3 +1)，解得1= 1=1+(1) = 1 + 2(1) = 21(2)由(1)可得第 14 页，共 14 页= (1)14 + 1= (1)14(21)(2 + 1)= (1)1(121+12 + 1)= (1 +13)(13+15) +
19、(15+17) +(1)1(121+12 + 1)，当 n 为偶数时，= (1 +13)(13+15) + (15+17) +(123+121)(121+12 + 1)= 112 + 1=22 + 1；当 n 为奇数时，= (1 +13)(13+15) + (15+17) (123+121) + (121+12 + 1)= 1 +12 + 1=2 + 22 + 1，【解析】 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和” 、分类讨论思想方法，属于中档题(1)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出；(2)由(1)可得= (1)1(121+12 + 1)，对 n 分类讨论“裂项求和”即可得出
