1、第 1 页，共 13 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 50.0 分）1.椭圆224+225= 1的一个焦点坐标为()A. (7,0)B. (0,7)C. (1,0)D. (0,1)2.数列为等差数列，为其前 n 项和，若4+9= 20，则12= ()A. 120B. 60C. 80D. 2403.在各项均为正数的等比数列中，5= 2，则3+7()A. 有最小值 3B. 有最小值 4C. 有最大值 3D. 有最大值 44.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60，那么此椭圆的离心率()A. 12B. 63C. 3
2、3D. 225.已知命题 p： 存在 ，2+ + 4 0.若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是()A. 16 0B. 4 0C. 0 4D. 0 ，则的最大值是()A. 1B. 3C. 5D. 710.设1，2是椭圆：216+2= 1的两个焦点，若 C 上存在点 P 满足12= 90，则 m 的取值范围是()A. (0,8 32, + )B. (0,4 32, + )C. (0,4 8, + )D. (0,4 16, + )二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）11.已知0 ”是“2 2”的充要条件；若 0，则 (,)| ，| 是 (,)|22+22 1的充分必要条件；命
3、题“对任意 ，有2 0”的否定是“存在 ，有2 0”；若 p： 5，q：1 5，则 p 是 q 成立的必要不充分条件第 3 页，共 13 页14.1，2分别是椭圆：264+29= 1的左、 右焦点， 点 P 在椭圆 C 上，|1| = 10， 过1作12的角平分线的垂线，垂足为 M，则|的长为_三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分）15.设 m 是实数，已知命题 p：0 ，使函数() = 22 + 2+33满足(0) 0， 0，且() = 2+ + ，求 + 的最小值17.已知椭圆：22+22= 1( 0)的长轴两端点为1，2， 离心率为32，1，2分别是椭圆 C 的左，右焦点，且
4、|11| |21| = 1(1)求椭圆的标准方程；(2)设 A， B 是椭圆 C 上两个不同的点， 若直线 AB 在 y 轴上的截距为 4， 且 OA， OB的斜率之和等于 4，求直线 AB 的方程第 4 页，共 13 页18.若各项均不为零的数列的前 n 项和为，数列2的前 n 项和为，且2+4= 3， (1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；(2)设= ( + 1)log2， 是否存在正整数 k， 使得11+12+ +1 0， 命题 p 是假命题， ：任意 ，2+ + 4 0是真命题，则 = 216 0，即0 7时，数列中的项均为负数，第 8 页，共 13 页在 的前提下，的最大值是65
5、=6= 62+12 635 = 1故选：A根据数列的通项公式，求得数列的前 4 项为负值，从第 8 项开始也全部为负，因此，65最大本题考查了数列的函数特性， 解答的关键是分清在 的前提下， 什么情况下最大，什么情况下最小，题目同时考查了数学转化思想10.【答案】A【解析】解：若焦点在 x 轴上时，C 点为椭圆短轴的端点时，12取得最大角，设 = 12，则cos2=4， 422，解得0 8若焦点在 y 轴上时，C 点为椭圆短轴的端点时，12取得最大角，设 = 12，则cos2=4， 422，解得 32综上可得：m 的取值范围是(0,8 32, + )故选：A对焦点分类讨论，C 点为椭圆短轴的端
6、点时，12取得最大角，进而得出结论本题考查了椭圆的标准方程及其性质、分类讨论方法、三角函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11.【答案】116【解析】解： 0 14， 0 4 0， () = (14) =14 4(14) 14 (4 + 142)2=116，当且仅当4 = 14，即 =18时取等号， ()的最大值为116故答案为：116根据0 0，从而根据基本不等式即可求出4(14) 14，从而得出() 116，从而得出()的最大值第 9 页，共 13 页本题考查了基本不等式求最值的应用，注意说明等号成立的条件，考查了计算能力，属于基础题12.【答案】6【解析】解：
7、等比数列中4= 1，若11+13+15+17= 6，则1+ 717+3+ 535=1+ 3+ 5+ 724= 6，1+3+5+7= 624= 6故答案为：6等比数列中4= 1，根据11+13+15+17= 6，可得1+ 717+3+ 535=1+ 3+ 5+ 724= 6，即可得出本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13.【答案】【解析】解 ： 对于，由 ，不一定有2 2，反之也不成立， “ ”是“2 2”的既不充分也不必要条件，故错误；对于，由 0，可得集合(,)| ，| 与(,)|22+22 1表示的平面区域如图：由 (,)| ，| 不能得到 (,)|
8、22+22 1，反之成立，则 (,)| ，| 是 (,)|22+22 1的充分必要条件，故错误；对于，命题“对任意 ，有2 0”的否定是“存在 ，有2 0”故正确 ；对于，由 5，不能得到1 5，反之成立，则 p 是 q 成立的必要不充分条件，故正确 正确命题的序号是故答案为：第 10 页，共 13 页由不等式的性质及充分必要条件的判定方法判断；画出图形，结合充分必要条件的判定方法判断；写出全称命题的否定判断本题考查命题的真假判断与应用，考查全称命题的否定，考查充分必要条件的判定，是中档题14.【答案】2【解析】解：延长1，延长2，交于 N，则|1| = |，|1|= | = 10，又根据椭圆
9、的定义知|1| + |2| = 2 = 2 8 = 16，所以|2|= 6， |2| = |2| = 106 = 4，根据 OM 是三角形12的中位线可得| = 2，故答案为：2利用椭圆的性质求出|1|，利用几何法求出|即可考查椭圆的性质的应用，本题关键是作辅助线，中档题15.【答案】解 ：(1)当命题 p 为真时，由(0) 0，即44(2+33) 0，则2+34 0，解得4 2 0，得12 0时，不等式() 0的解集为|4 2；当 0时解集为|4 2，当 0时，解集为|2 4；(2)因为() = 2+2，由已知() = 2+ + ，可得2 = + 2.即1+12= 1，由 + = ( + )
10、 1 = ( + )(1+12) = 1 +2+1232+22=32+2(当且仅当 =2，即 = 1 +22， =1 +22时取等号)所以 + 的最小值为32+2【解析】(1)由题意可得() = 2+282，然后结合二次不等式的求法，进行分类讨论可求；(2)把 = 代入函数()，然后结合已知条件可求得1+12= 1，进行 1 的代换后利用基本不等式即可求解本题主要考查了含参数二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，还考查了利用1 的代换，利用基本不等式求解最值，属于中档试题17.【答案】(1)由题意可知1(,0)，2(,0)，1(,0)，以及|11| |21| = 1可知( + )() =
11、 2= 1， 2=22=222=212=34，解得2= 4 椭圆的标准方程为24+ 2= 1(2)设(1,1)，(2,2)，直线 AB 的方程为 = + 4联立 = + 424+ 2= 1，得(42+1)2+32 + 60 = 0第 12 页，共 13 页则1+2= 3242+ 1，12=6042+ 1，由0+=11+22=(1+ 4)2+ (2+ 4)112= 2 + 4 1+ 212= 2 + 4 3242+ 16042+ 1= 2 + 4 3260= 4，解得 = 30， 直线 AB 的方程为 = 30 + 4【解析】(1)利用已知条件求出 = 2， = 1，代入即可；(2)根据斜率之和
12、等于 4，求出 k，代入直线方程求出即可考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，中档题18.【答案】解：(1)证明： 2+4= 3， 2 + 1+4 + 1= 3 + 1，由数列的前 n 项和为，数列2的前 n 项和为及得( + 1)( + 1+) + 4( + 1) = 3( + 1)，即为 + 1( + 1+4) = 32 + 1，由 + 1 0，可得( + 1+) + 4 = 3 + 1，从而当 2时，(+1) + 4 = 3，得 + 11= 3 + 13，即 + 1+= 3 + 13，所以 + 1= 2， 0， + 1= 2( 2) 2+4= 3， 令 = 1，得21+41= 321
13、， 1 0， 1= 2当 = 2时，由(2 +2)2+4(2 +2) = 3(4 + 22)，得222+82= 0，由2 0知2= 4，此时21= 2 数列是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，且= 2 21= 2(2) = ( + 1)log2= ( + 1)log22= ( + 1)，1=1( + 1)=11 + 1， 11+12+13+ +1= (112) + (1213) + + (11 + 1) = 11 + 1 1，假设存在正整数 k，使得11+12+ +1 对于 恒成立，可得 1，即 k 的最小值为 1第 13 页，共 13 页【解析】(1)运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2)由对数的运算性质可得， 求得1=1( + 1)=11 + 1， 由数列的裂项相消求和可得得11+12+ +1，再由不等式恒成立思想，可得所求最小值本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题
