1、第 1 页，共 13 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.若 ， ，则下列不等式中正确的是()A. B. C. + + D. 2.“1 1”的()条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要3.下列函数是奇函数且在1, + )上单调递增的是()A. =1B. = 2C. = +2D. = 14.记方程：2+1 + 1 = 0，方程：2+2 + 2 = 0，方程：2+3 + 4 = 0，其中1，2，3是正实数当1，2，3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是()A. 方程有实根，
2、且有实根B. 方程有实根，且无实根C. 方程无实根，且有实根D. 方程无实根，且无实根二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）5.设全集 = .若集合 = 1,2，3，4， = |2 3，则 =_6.函数() =12的定义域为_7.函数() = 2+2的单调递增区间为_第 2 页，共 13 页8.已知集合 = |1| 2, ，则集合 A 的非空子集个数为_个9.命题“若 + 5，则 3或 3”为_命题(填“真”或“假”)10.已知函数() =| 0时，() = 2+23，则 2的解集为 R，则 k 的取值范围是_14.关于 x 的不等式 + 1 0解集是(1,2)，则2 + 0的解
3、集为_15.设集合 A、B 是实数集 R 的子集， = 2,0， = 1,2， = 3,5，则 = _16.已知关于 x 的不等式(26)( + 4) 0(其中 )的解集为 A，若满足 = (其中Z为整数集)， 则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）17.若 +， +，试比较44与2323的大小18.解关于 x 的不等式2+(1)1 ()成立，那么称该函数为“()函数”(1)分别判断函数() = 2，() = 2是否为“(1)函数”，若不是，说明理由；第 4 页，共 13 页(2)若函数() = 3+是“(1)函数”，求实数 a 的取值范围
4、；(3)记所有定义在 R 上的单调函数组成的集合为 M，所有函数()组成的集合为 N，求证：第 5 页，共 13 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解： = 0时，无意义，即选项 A 错误；0 ，0 时， 错误，即选项 B 错误； + + 正确，即选项 C 正确； ，比如， = 1， = 0， = 3， = 1，即 D 错误故选：C = 0时，选项 A 不正确；0 ，0 时，选项 B 不正确；选项 C 显然正确； = 1， = 0， = 3， = 1时，选项 D 不正确，从而可得出正确的选项本题考查了不等式的性质，举反例说明不等式不成立的方法，考查了计算能力，属于基础题2.【答案】B
5、【解析】解：1 1对应的集合为 = (,0) (1, + )，所以1 1的必要非充分条件，故选：B先化简不等式，再判断充要性本题考查解不等式，充要性，属于基础题3.【答案】D【解析】解：A： =1为奇函数且在(1, + )上单调递减，不符合题意；B： = 2为偶函数，不符合题意；C： = +2在(1, + )上不单调，D： = 1在(1, + )上单调递增且为奇函数故选：D结合奇偶性及单调性的定义对各选项进行检验即可本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题第 6 页，共 13 页4.【答案】B【解析】解：当方程有实根，且无实根时，1= 214 0，2= 228 0，即21 4，22
6、 8，1，2，3成等比数列， 22=13，即3=221，则23= (221)2=4221824= 16，则：方程的判别式3= 2316 3或 3且 = 2，则 + 5”，该命题为真命题由于原命题和逆否命题为等价命题，所以：命题“若 + 5，则 3或 3”为真命题故答案为：真直接利用原命题和逆否命题的等价关系的应用求出结果本题考查的知识要点：四个命题的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10.【答案】2【解析】解：根据题意，函数() =| 223 2，当 2时，() = | =0,0 22, 0，() = 2无解；当 2时，() = 23 = 2，解可得
7、= 1或 = 2，又由 2，则 = 2；综合可得： = 2；故答案为：2第 8 页，共 13 页根据题意，结合函数的解析式分 2与 2两种情况分析，求出 x 的值，综合即可得答案本题考查分段函数的解析式的应用，注意分段函数解析式的形式，属于基础图11.【答案】2+2 + 3【解析】解：根据题意，设 0；则() = ()2+2()3 = 223，又由()为奇函数，则() = () = 2+2 + 3；故答案为：2+2 + 3根据题意，设 0，由函数的解析式可得()的表达式，进而结合函数的奇偶性分析可得答案本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题12.【答案】116【解
8、析】解：x， +且4+ = 1， = 14 0即 4，则=42=4(4)2+ 8(4) + 16=1(4) +164+ 812 (4) 164+ 8=116，当且仅当4 =164即 = 8时取等号，故答案为：116由已知可得 = 14 0即 4，则=42=4(4)2+ 8(4) + 16=1(4) +164+ 8，然后利用基本不等式可求本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题13.【答案】(1, + )【解析】解：依题意，不等式2+2 + 0在 上恒成立，当 = 0时，2 0，解得 0，不合题意；当 0时，则 0= 442 1综上，实数 k 的取值范围为(1, + )故答案为：(1,
9、 + )第 9 页，共 13 页依题意，不等式2+2 + 0在 上恒成立，当 = 0时，显然不成立，当 0时，由二次函数函数的性质即可建立不等式组得解本题考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，属于基础题14.【答案】(2,2【解析】【分析】依题意，可得1和 2 是方程( + )(1) = 0的两个根，且 0解集是(1,2)， 1和 2 是方程( + )(1) = 0的两个根，且 0，(1)(1) = 0( + 2)(21) = 0，解得 = 2 = 1，2 + 0即为22 0，即2 + 2 0，解得2 0，解得 4. = (4, + ).此时满足 = 的 B 有无数个元素若 0，
10、无论2+ 6与4的大小关系如何，此时第 10 页，共 13 页满足 = 的 B 有无数个元素若 0， 不等式化为 ：(2+ 6)( + 4) 0， 解得4 2+ 6， 此时满足 = 的 B 有有限个元素由() =2+ 6，() = 162=262，可得 =6时，()取得极小值即最小值，此时 B 中只含有 8 个元素，令2+ 6= 5，解得 = 2，3. 2 3综上可得：使得集合 B 中元素个数最少时 m 取值范围是2,3故答案为：2,3对 m 分类讨论：利用一元二次不等式的解法，及其条件满足 = (其中 Z 为整数集)，使得集合 B 中元素个数最少时，即可得出本题考查了不等式的解法、集合的运算
11、性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题17.【答案】44 时，式大于 0 即44 2323；当 时，式小于 0 即44 0，即 1，此时原不等式的解集为| 1；(2) 0时，方程2+(1)1 = 0可化为(1)( + 1) = 0， = 1或 =1；当 0时，1 1， 原不等式可化为(1)( + 1) 0， 其解集为|1 1；当1 0时，1 0， 其解集为| 1；第 11 页，共 13 页当 = 1时，1= 1，且原不等式可化为( + 1)2 0，其解集为| 1；当 1，且原不等式可化为(1)( + 1) 0， 其解集为| 1；综上， = 0时，不等式的解集为| 1； 0时，
12、不等式的解集为|1 1；1 0时，不等式的解集为| 1； = 1时，不等式的解集为| 1； 1时，不等式的解集为| 1.【解析】讨论 = 0时和 0时，不等式对应的解集是什么，从而求得不等式的解集对 a 正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，是中档题19.【答案】解：(1)设每批购入 x 台，则全年所付保管费为 2000 xk， 全年需要支付运费和保管费的和 =3600 400 + 2000， 当 = 400时， = 43600，3600400 400 + 2000 400 = 43600，解得： =120；(2)由(1)可知，全年需要支付运费和保管费的和 =1440000+
13、100 21440000 100= 24000，当且仅当1440000= 100，即 = 120时，等号成立，故每批进货 120 台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为 24000 元【解析】(1)设每批购入 x 台，根据题意全年需要支付运费和保管费的和 =3600 400 + 2000，又当 = 400时， = 43600，代入上式即可求出 k 的值；(2)利用基本不等式即可求解本题主要考查了函数的实际应用，以及利用基本不等式求函数的最值，是中档题20.【答案】解：(1)由函数()为奇函数可得() = ()，则()2+(1)() = 2(1)，所以 = 0；第 12 页，共 13 页(2)
14、当 = 0时，() = 在0,2上单调递减，满足题意；当 0时，则12 2，解可得，0 15，当 0时，则12 0，此时 0， ()，故()是(1)函数，因为() = 2，( + 1) = (1 + )2，则( + 1)() = 2 + 1 0不恒成立，所以()不是“(1)函数”；(2)因为() = 3+是“(1)函数”，则( + 1)() = (1 + )3+(1 + )(3+) = 32+3 + + 1 0恒成立，当 = 0时，显然成立，当 0时，结合二次函数的性质可知， 0= 9212( + 1) 0，综上可得，a 的范围是0, + )；(3)证明：若()单调递增函数，则 0时，( + ) ()，若()为单调递减函数，则 ()，所以单调函数一定是()函数，反之，()函数不一定是()函数，例如取整函数() = 是(1)函数，但不是单调函数故【解析】(1)根据()函数的定义逐个进行检验即可；(2)根据题意可得( + 1) ()恒成立，结合恒成立问题即可求解；(3)结合单调函数的定义可知单调函数一定满足()函数，通过特殊函数可知()函数不一定是单调函数第 13 页，共 13 页本题主要考查新定义问题，精准把握定义，把新定义问题转化到旧知识是解决问题的关键
