1、1第八章第八章 应力状态分析与强度理论应力状态分析与强度理论8.1 8.1 应力状态的概念应力状态的概念8.2 8.2 平面应力状态分析平面应力状态分析- -解析法解析法8.3 8.3 平面应力状态分析平面应力状态分析- -应力圆法应力圆法8.4 8.4 三向应力状态三向应力状态8.5 8.5 广义胡可定律广义胡可定律8.6 8.6 三向应力状态下的变形能三向应力状态下的变形能8.7 8.7 梁的主应力与主应力迹线梁的主应力与主应力迹线8.8 8.8 强度理论强度理论 2拉拉 （压）（压）扭扭 转转平 面 弯 曲平 面 弯 曲内内力力应应力力变变形形NN 0AT 0ATAMQM 0Q 0 xs
2、 sAFNs sLEANlL Ot tr rpITr rr rt t)(zxIMyss st txyzzybIQStABpABGITl qnfxq fn fEIxMxf)()( 3拉拉 （压）（压）扭扭 转转平 面 弯 曲平 面 弯 曲强强度度条条件件刚刚度度条条件件maxssmaxminsNAmaxsANmaxtt|maxtTWn|maxtnWTmaxssmaxttmaxsMWzmaxszWMmaxqqmaxqqLyLy|max481 应力状态的概念应力状态的概念5横截面上正应力分析和切应力分析的结果横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同表明：同一面上不同点的
3、应力各不相同QMzN6低碳钢低碳钢 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铸 铁铁7脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢低碳钢铸铸 铁铁8结论 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。也要研究斜截面上的应力。9单元体平衡分析结果表明：即使单元体平衡分析结果表明：即使同一点同一点不同方向面上的应力不同方向面上的应力也也是各不相同的是各不相同的tsytxtys ts10哪一个面上哪一个面上哪一点
4、哪一点？ 哪一点哪一点哪个方向面？哪个方向面？1112应力状态的研究方法dzdydx0dzdydx13141s2s3syxzs sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz 单元体上没有切应力的面称为单元体上没有切应力的面称为主平面主平面；主平面上的正应力；主平面上的正应力称为称为主应力，主应力，分别用分别用 表示，并且表示，并且该单元体该单元体称为称为主应力单元。主应力单元。321,sss321s ss ss s 8-1 应力状态的概念应力状态的概念151s2s3s空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零平面（二向）
5、应力状态：一个主应力为零平面（二向）应力状态：一个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零单向应力状态：两个主应力为零16x xy ysxs syt tyxt txy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力s sy as att txyd dA Axsyxt 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态17 由由x x正向逆时针转到正向逆时针转到n n正正向者为正；反之为负。向者为正；反之为负。ntx正正 应应 力力yssx拉应力为正拉应力为正sx压应力为负压应力为负切 应 力 tytxt 使单元体或其局部顺使单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之时针方向转动为正
6、；反之为负。为负。18 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(ststsdAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(ststtdAdAdAdAdAyyxxxys sy as att txyd dA Axsyxt 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态19利用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得xyyxt tt t tsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyxts
7、st2cos2sin)(21xyyx 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态20tsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值tsss2cos22sin)(xyyxdd设设0 0 时，上式值为零，即时，上式值为零，即02cos22sin)(00tssxyyx3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2c co os s2 2s si in n2 22 2) )( (2 20 00 0 x xy y0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态21yxxys
8、 ss st t 22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyxt ts ss ss ss ss s 22min4212xyyxyxt ts ss ss ss ss s 主应力按代数值排序：主应力按代数值排序：1 1 2 2 3 3 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态22确定切应力极值确定切应力极值02sin22cos)( t t s ss s t t xyyx
9、dd4. 切切应力极值和方向应力极值和方向x xy yy yx x2 2) )( (t t t t2tan 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态tsst2cos2sin)(21xyyx2 22 22 21 1xyxyxyxyy yx xminminmax,max,22)(t tt tt t23试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。例题例题1 1：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 ys s xs sxyt t。30MPa，60 xsMPa,
10、30 xyt,MPa40ys已知已知 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态24解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力tsssss2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9tsst2cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58ys s xs sxyt t 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态25（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxssxyyx22)2(tssmaxsMPa3 .682yxssxyyx22)2(tssminsMPa3 .4
11、8MPa3 .48, 0MPa,3 .68321sssys s xs sxyt t 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态26主平面的方位：主平面的方位：yxxytgsst2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150ys s xs sxyt t代入代入 表达式可知表达式可知 s s主应力主应力 方向：方向：1s5 .150主应力主应力 方向：方向：3s s5 .1050 8-2 8-2 解析法分析二向应力状态解析法分析二向应力状态27（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：ys s xs sxyt t5 .151s3s 8-2 8-2 解析法分析
12、二向应力状态解析法分析二向应力状态28tsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyxtsst2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2(t ts ss st ts ss ss s 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态29xyyxyx2222)2()2(tsstsssstRCxyyxR22)2(t ts ss s 2yxss1. 1. 应力圆：应力圆： 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态302.2.应力圆的画法应力圆的画法stD(s s
13、x ,t txy)D/(s sy ,t tyx)cs ss sxy 2RxyyxR22)2(t ts ss s ys st tyxt txyADxs 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态31点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力微元某一截面上的正应力和切应力3 3、几种对应关系、几种对应关系stD(s sx ,t txy)D/(s sy ,t tyx)cs ss sxy 2s syt tyxt txysxH ),(aatsH 2 8-3 8-3 图解法分析二向应力状态图解法分析二向应力状态32转向对应转向对
14、应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。倍。33试用应力圆法计算图示单元体试用应力圆法计算图示单元体e-fe-f截面上的应力。截面上的应力。图中应力的单位为图中应力的单位为MPaMPa。4 . 42 . 2n030ef stoadcMPa2 . 5030ssMPa8 . 0030tt06034微元体应力状态如图示，其所对应的应力圆有如图示四种，正确的是_。35主应力和主平面切应力等于零的截面为主平面主平面上的正应力称为主应力a(s sx ,t tx)d(s sy ,
15、t ty)cs ss sxy 2 sto222222xyxyxtsstsss22122xyxyxt ts ss ss ss ss s1s2s02yxxtgsst2200002)90(2tgtg22222xyxyxtsssssmaxt tmint t36222122maxs ss st ts ss st txyx222122mins ss st ts ss st txyx37分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。试样扭转破坏的主要原因。t ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinxts2sin tss2sin2y
16、xt2cosxtt2cos045tssmax450tssmax4500045tminsmaxs 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。38分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。xs ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinx s ss ss s 2cos22xx tss2sin2yxt2cosxst2sin2x0452045xss2045xstmaxt
17、 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。39平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩st2sin2 x)2cos1 (2 ssxxss 10 32ss2minmaxxst ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinx tss2sin2yxt2cosx40平面应力状态的几种特殊情况扭 转tt2cos x t ts s 2sin xxts 1x3- tsxttminmax ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinx tss2sin2yxt2cosx0 2s s41弯 曲平面应力状态的几种特殊情况22minmax)2(xxtst tss2sin2yxt2
18、cosx ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinx221322xxxtssstsss2sin2cos22xxxtst2cos2sin2xx22 1322xyxyxt ts ss ss ss ss s42xmqm43215x43mm43215x3s3s3s3s1s1s1s1s3s3sxxxx1s3s1s3s1s1ssssssttttt44在梁的xy平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力 （拉应力）的方向，而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力 (压应力)的方向。这样的曲线就称为梁的主应力迹线。1s3s梁的主应力迹线451.1.定义定义2s3s
19、1s三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态46由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231maxs ss st t 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213s s32s s1s st ts s 8-5 8-5 三向应力状态三向应力状态471. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE s s Exxys s xsyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 t
20、tG t 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律48xsEsnn-泊松比泊松比Esn2s1s3s=1s1s1+1 2s2s+3s3s1 E11sE21sn E31sn 1+ 32111s ss sn ns s E492s3s1s32111sssE13221sssE21331sssE502s3s1s 32111s ss sn ns s E 13221s ss sn ns s E 21331s ss sn ns s EzyxxEssns1xzyyEssns1yxzzEssns1主应变与主应力方向重合主应变与主应力方向重合51)(1zyxxEs ss s s s Gxyxyt t 3 3、广义胡克
21、定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyEs ss s s s )(1yxzzEs ss s s s Gyzyzt t Gzxzxt t s sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz 8-6 8-6 广义胡克定律广义胡克定律52 某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增大时,关于x值的说法正确的是_.A. 不变B. 增大C. 减小D. 无法判定ys sxs szs sx仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。AzyxxEssns153 一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa,=0.3.现
22、测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为=5.210-4,试求圆轴所承受的扭矩.T045pWTt1s3sts102sts332111ssnsEnttE11tnE1n1163dET3 . 0116210200102 . 5334Nm7 .12554qs s1s s2s s31a2a3a111aa 222aa 333aa 332211111aaaVVVV q 321321332211111aaaaaaaaa3213213213211aaaaaaaaa321q32121sssnqE31ss02s0qs sxs sys szzyxEsssnq21KEms ss ss ss sn nq q3)21 (
23、332155l1lFllFFOlLNLFW2121NV21 EANLLLEALN22应变能密度应变能密度: : 单位体积内的应变能VVv ALLF21ss21568.9 空间应力状态下的应变能密度Ev2212ss1s12s1s22nE11sEW2211sEW2222sE22sE21ssn1s2s3s3s3nE33s3nEW2233sE31ssnE32ssnW321WWWE221sE222sE21ssnE223sE31ssnE32ssn133221232221221ssssssnsssE21331322321121ssnssssnssssnssE1E2E3E33221121sssv57s s1s
24、 s2s s3s ss ss s222222221sssnsssEvv3321ssss232221621sssnEvvdvvvvvdvvv 21232322222161ssssssnEvd133221232221221ssssssnsssE58max,maxssAFN（拉压）（拉压）maxmaxs ss s WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxttzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxttpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）maxs ss s maxt tt t 1. 1. 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件8-10 8-10 强度
25、理论概述强度理论概述59maxs smaxt t满足满足maxs ss s maxt tt t 是否强度就没有问题了？是否强度就没有问题了？60强度理论：强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。在一定范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。的
26、关于材料破坏原因的假设及计算方法。61构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于屈服的强度理论：屈服的强度理论：最大切应力理论和畸变能密度理论最大切应力理论和畸变能密度理论 (2) (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最
27、大剪应力面变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论621. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论） 材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01s ss s 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1s s 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得bs ss s 00s s63b1s ss s 断裂条件断裂条件 s ss ss s
28、 nb1强度条件强度条件1. 1. 最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭转铸铁扭转642. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。拉伸时的破坏伸长应变数值。 01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211s
29、 ss s s s Eb/0s s 65实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321sssssnb2. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）断裂条件断裂条件EEbssss)(1321bssss)(321即即66 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。是由于微元内的最大切应
30、力达到了某一极限值。0maxt tt t 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力maxt t 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0t t2/0ss st t 2/ )(31maxsst67s31s ss ss s 屈服条件屈服条件 s ss ss ss s ss31n强度条件强度条件3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转68实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较
31、为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(maxt局限性：局限性： 2 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象，1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2s3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）69 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是都是由于微元的最大畸变能密度达到一个极限值。由于微元的最大畸变能密度达到一个极限值。0s
32、fsfvv 4. 4. 畸变畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论） 213232221sf)()()(61s ss ss ss ss ss sn n Ev 构件危险点的畸变能密度构件危险点的畸变能密度sfn n20f261ssEvsn 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0f sn n70屈服条件屈服条件22132322212)()()(ss ss ss ss ss ss ss s 强度条件强度条件 ssssssssss213232221)()()(21n4. 4. 畸变畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论）实验表明：实验
33、表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。71强度理论的分类及名 称 相当应力表达式第一类强度理论(脆断破坏理论)第一强度理论最大拉应力理论第二强度理论最大伸长线应变理论第二类强度理论(屈服失效理论)第三强度理论最大剪应力理论第四强度理论畸变能密度理论3212r11 rssssss 212132322214 r313 r21ssssssssss强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：s ss s r72 不同的材料固然可能产生不同形式的破坏；但就是同一种材料，当应力状态、温度及变形速
34、度不同时，破坏形式也可能不同。一、在三轴拉伸应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材 料都会发生脆性断裂，宜采用最大拉应力理论。二、对于铸铁类脆性材料，在双向均拉时，宜采用最大 拉应力理论。四个强度理论适用范围及应用三、对于低碳钢类塑材，除三向拉伸外，均属屈服失效破 坏。宜用畸变能密度理论（运用较多）和最大剪应力 理论。其中最大剪应力理论计算结果偏于安全。 四、在三轴压缩应力状态下，不论是塑性材料还是脆性材 料，通常都会发生屈服失效，故一般采用畸变能密度理论。总之，采用何种强度理论要根据材料，应力，工程经验而定。73 已知铸铁构件上危险点处的应力状态，如图所示。若铸铁拉伸许用应力为30MPa，试校
35、核该点处的强度是否安全。231110(单位 MPa) ss122222xyxyxtsssss072. 328.29321sss，MPaMPa MPaMPa3028.291ssMPaMPa72.38.2974 某结构上危险点处的应力状态如图所示，其中116.7MPa，46.3MPa。材料为钢，许用应力160MPa。试校核此结构是否安全。22122tsss2222xyxyxtsssss22322tsss sss31 sts224 sssssss21323222121 sts223MPa0 .149MPa6 .14175B.（1）不正确、（2）正确；C.（1）、（2）都正确；D.（1）、（2）都不正确。76A.冰的强度较铸铁高；B.冰处于三向受压应力状态；C.冰的温度较铸铁高；D.冰的应力等于零。sss313sssr077A.第一；B.第二；C.第三；D.第四；ss1rsssss2rssss313rssssssss213232221421rss1ss203s
