1、4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？分别是什么？ 222()()xaybr22220(40)xyDxEyFDEF0022|AxByCdAB 一艘轮船在沿直线返回一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮台风预报：台风中心位于轮船正西船正西70 km70 km处，受影响的范处，受影响的范围是半径长为围是半径长为30km30km的圆形区域的圆形区域. . 已知港口位于台风中心正北已知港口位于台风中心正北40 km40 km处，如果这
2、艘轮船处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？轮船轮船港口港口台风台风下面我们以太阳的起下面我们以太阳的起落为例落为例.以蓝线为水以蓝线为水平线平线,圆圈为太阳圆圈为太阳!注意观察注意观察!1.1.理解直线与圆的位置的种类理解直线与圆的位置的种类. .（重点）（重点）2.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心 到直线的距离到直线的距离. .（重点）（重点）3.3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. . （难点）（难点）4.4.会用代数
3、的方法来判断直线与圆的位置关系会用代数的方法来判断直线与圆的位置关系 （难点）（难点）1.1.直线和圆只有一个公共点直线和圆只有一个公共点, ,叫做叫做直线和圆相切直线和圆相切. .2.2.直线和圆有两个公共点直线和圆有两个公共点, ,叫做叫做直线和圆相交直线和圆相交. .3.3.直线和圆没有公共点时直线和圆没有公共点时, ,叫做叫做直线和圆相离直线和圆相离. .一、直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系o圆心圆心O O到直线到直线l的距离的距离d dl半径半径r r1.1.直线直线l和和O O相离相离, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_drdrlo圆心圆心O O到直线到直线
4、l的距离的距离d d半径半径r r2.2.直线直线l和和O O相切相切, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_ld=rd=ro圆心圆心O O到直线到直线l的距离的距离d d半径半径r r3.3.直线直线l和和O O相交相交, ,此时此时d d与与r r大小关系为大小关系为_ldrd rd = rd 0)(r0)2.2.利用直线与圆的公共点的个数进行判断：利用直线与圆的公共点的个数进行判断：2220()()设设方方程程组组消消元元所所得得一一元元二二次次方方程程的的解解的的个个数数为为AxByCxaybrn 直线与圆相离直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相切直线与圆相交直线与圆相交n=
5、0n=1n=20例例1.1.如图，已知直线如图，已知直线l:3x+y-6=0:3x+y-6=0和圆心为和圆心为C C的圆的圆x x2 2+y+y2 2-2y-4=0-2y-4=0，判断直线，判断直线l与圆的位置关系；如果与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标相交，求它们交点的坐标. .xyOCABl分析：分析：方法二方法二:可以依据圆心到直线可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系方法一方法一:判断直线判断直线l与圆的位置关系，与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几组实数解；方
6、程组有无实数解、有几组实数解；解法一：解法一：由直线由直线l与圆的方程，得与圆的方程，得22360,240.xyxyy 消去，得消去，得y2320 xx因为因为2( 3)4 2 110, 所以所以, ,直线直线l与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点解法二：解法二：圆为22222222x +y -2y-4=0可x +y -2y-4=0可化化x +(y-1) =5,x +(y-1) =5,其圆心其圆心C C的坐标为（的坐标为（0,10,1），半径长为），半径长为5，点点C C（0,10,1）到直线）到直线l的距离的距离223 0 1 6551031d 所以，直线所以，直线l与圆相交，有两个
7、公共点与圆相交，有两个公共点由由2320,xx解得解得122,1.xx把把x x1 1=2=2代入方程，得代入方程，得y y1 1=0=0；把；把x x2 2=1=1代入方程代入方程, ,得得y y2 2=3.=3.所以，直线所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是与圆有两个交点，它们的坐标分别是A A（2,02,0）,B,B（1,31,3）. .1.1.设直线过点设直线过点(0(0，a)a)，其斜率为，其斜率为1,1,且与圆且与圆x x2 2+y+y2 2=2=2相切，则相切，则a a的值为的值为( )( )A.A. B. B.2 C.2 C.2 D.2 D.4 4【解析解析】选选B.B
8、.由已知可知直线方程为由已知可知直线方程为y=x+a,y=x+a,即即x-y+a=0 x-y+a=0，所以有，所以有 得得a=a=2.2.220-0+a0-0+a=2,=2,2 2【变式练习变式练习】例例2 2 已知过点已知过点M M（-3-3，-3-3）的直线）的直线l被圆被圆x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线，求直线l的方程的方程. .4 5解：解：将圆的方程写成标准形式，得将圆的方程写成标准形式，得x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=25,=25,所以，圆心的坐标是（所以，圆心的坐标是（0 0，-2-2）, ,半径长半
9、径长r=5.r=5. 如图，因为直线如图，因为直线l被圆所截得被圆所截得的弦长是的弦长是 ，所以弦心距为，所以弦心距为即圆心到所求直线即圆心到所求直线l的距离为的距离为 . .4 5224 55()525 因为直线因为直线l过点过点M M（-3-3，-3-3），所以可设所求直），所以可设所求直线线l的方程为的方程为y+3=k(x+3),y+3=k(x+3),即即kx-y+3k-3=0.kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离的距离因此，因此，2233.1kdk22335.1kk即即 两边平方，并整理得到两边平方，并整理得到
10、2k2k2 2-3k-2=0,-3k-2=0,解得解得k= k= ，或，或k=2.k=2. 所以，所求直线所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为有两条，它们的方程分别为y+3= (x+3),y+3= (x+3),或或 y+3=2(x+3).y+3=2(x+3).即即x+2y+9=0,x+2y+9=0,或或2x-y+3=0.2x-y+3=0.23155,kk1212判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解判断直线与圆的方程组成的方程组是否有解a a、有解、有解, ,直线与圆有公共点直线与圆有公共点. .有一组有一组, ,则相切则相切; ;有两组有两组,
11、 ,则相交则相交. .b b、无解、无解, ,则直线与圆相离则直线与圆相离. .【提升总结提升总结】直线直线x+ y=0 x+ y=0绕原点按顺时针方向旋转绕原点按顺时针方向旋转3030所得所得直线与圆直线与圆x x2 2+y+y2 2-4x+1=0-4x+1=0的位置关系是的位置关系是( )( )A.A.直线与圆相切直线与圆相切B.B.直线与圆相交但不过圆心直线与圆相交但不过圆心C.C.直线与圆相离直线与圆相离D.D.直线过圆心直线过圆心3【变式练习变式练习】A A解：解：选选A.A.因为直线因为直线x+ y=0 x+ y=0的倾斜角为的倾斜角为150150, ,所以顺时针方向旋转所以顺时针
12、方向旋转3030后的倾斜角为后的倾斜角为120120, ,所以旋转后的直线方程为所以旋转后的直线方程为 x+y=0.x+y=0.将圆的方程化为将圆的方程化为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=3,=3,所以圆心的坐标为所以圆心的坐标为(2(2，0)0)，半径为，半径为 , ,圆心到直线圆心到直线 x+y=0 x+y=0的距离为的距离为 = =圆的半径，圆的半径，所以直线和圆相切所以直线和圆相切. .332 32 3d =3d =32 2331.1.判断直线与圆的位置关系常用几何法，其一般步判断直线与圆的位置关系常用几何法，其一般步骤分别为：骤分别为：把圆的方程化为标准方程，求出圆的圆心坐
13、标和把圆的方程化为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径半径r.r.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.d.判断：当判断：当d dr r时，直线与圆相离；当时，直线与圆相离；当d=rd=r时，直线时，直线与圆相切；当与圆相切；当d dr r时，直线与圆相交时，直线与圆相交. .【提升总结提升总结】2.2.已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离位置关系转化为圆心到直线的距离d d与半径与半径r r的的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围大小关系，以此来确定参数的值或取值范围. .1.O
14、1.O的半径为的半径为3 ,3 ,圆心圆心O O到直线到直线l的距离为的距离为d,d,若直线若直线l与与O O没有公共点，则没有公共点，则d d为（为（ ） A Ad d 3 B3 Bd3 Cd3 Cd 3 Dd 3 Dd =3d =32.2.圆心圆心O O到直线的距离等于到直线的距离等于O O的半径，则直线和的半径，则直线和O O的位置关系是（）的位置关系是（） A A相离相离 B.B.相交相交 C.C.相切相切 D.D.相切或相交相切或相交 A AC CA A5.5.直线直线x+2y-1=0 x+2y-1=0和圆和圆x x2 2-2x+y-2x+y2 2-y+1=0-y+1=0的位置关系是
15、的位置关系是_._.相交相交4.4.直线直线x-y-2=0 x-y-2=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1的位置关系为的位置关系为_._.相离相离6.6.圆心为圆心为M(3,-5)M(3,-5)，且与直线，且与直线x-7y+2=0 x-7y+2=0相切的圆的方相切的圆的方程为程为 . .(x-3)(x-3)2 2+(y+5)+(y+5)2 2=32=32解：解：方程方程 经过配方，得经过配方，得7.7.判断直线判断直线 与圆与圆 的位置的位置关系关系 2220 xyx342 0 xy因为因为d=rd=r，所以直线，所以直线3x3x4y4y2 2与圆相切与
16、圆相切22(1)1xy|3+0+2|3+0+2|d =1d =15 52222x +yx +y2x =02x =0圆心坐标是（，），半径圆心坐标是（，），半径r=1r=1圆心到直线圆心到直线x xy y的距离的距离直线直线Ax+By+C=0(A,BAx+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零) )和圆和圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,则圆心则圆心(a,b)(a,b)到此直线的距离为到此直线的距离为22|AaBbCdABdrdrdrd d与与r r2 2个个1 1个个0 0个个交点个数交点个数图形图形相交相交相切相切相离相离位置位置rdrdrd则有以下关系：则有以下关系：求圆心坐标及半径求圆心坐标及半径r r（配方法）（配方法） 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d d （点到直线距离公式）（点到直线距离公式）2220()()xaybrAxByC 消去消去y y20pxqxt 0:0:相相交交= 0:= 0:相相切切0:0:相相离离d r:d r:d r:相相离离判断直线和圆的位置关系判断直线和圆的位置关系几何方法几何方法代数方法代数方法 不要被不重要的人或事过多打扰，因为“成功的秘诀就是抓住目标不放”。
