1、1 在线性空间中，任何矢量可用在线性空间中，任何矢量可用相互垂直相互垂直的单位矢量表的单位矢量表示。这组矢量称为示。这组矢量称为正交正交矢量集。矢量集。 一一. 正交函数集正交函数集 正交函数正交函数：函数：函数 1(t)和和 2(t)在区间在区间(t1，t2)内正交，则内正交，则0dt) t () t (21tt21 正交函数集正交函数集：n个函数个函数 1(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)内构成的正交函数集内构成的正交函数集 i(t)满足满足 ji 0Kji , 0dt) t () t (ittji212 Ki为常数，如果为常数，如果Ki1，则称该函数集为，则称该函数集为归一化正
2、交归一化正交函数集函数集。 完备正交函数集完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。 正交复函数的定义：正交复函数的定义： ji 0Kji , 0dt) t () t (itt*ji21正交函数集例：（在区间正交函数集例：（在区间t0，t0+T，且，且T =2 ）三角函数集：三角函数集：1，cos(n t)，sin(n t)；n1，2，3，复指数函数集：复指数函数集：ejn t；n0， 1， 2， 3二二. 信号分解为正交函数信号分解为正交函数 对任一函数对任
3、一函数f(t)用用n个正交函数的线性组合来近似个正交函数的线性组合来近似 n1jjj) t (C) t ( f选择选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差均方误差 21tt2n1jjj122dt) t (C) t ( ftt1要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得值得 2121tt2jttjjdt) t (dt) t () t (fC 21ttjjdt) t () t (fK14于是可得误差于是可得误差 21tt2n1jjj122dt) t (C) t ( ftt1 n1jj2jn
4、1jj2jtt212KCKC2dt) t (ftt121 n1jtt2j2jn1jttjjtt212212121dt) t (Cdt) t () t ( fC2dt) t (ftt1 n1jj2jtt212KCdt) t (ftt121均方误差总是大于等于均方误差总是大于等于0，增大，增大n可使误差减小。可使误差减小。 5 当当n，误差为，误差为0，则有，则有帕斯瓦尔帕斯瓦尔(Parseval)方程方程 1jj2jtt2KCdt) t (f21帕斯瓦尔方程物理意义：如果帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的则单位电阻
5、上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。能量之和。 1jjj) t (C) t ( f 1jtt2j2j1jj2j21dt) t (CKC 因此因此f(t)在区间在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和 21ttjjjdt) t () t (fK1C 1jtt2jj21dt)t (C6 周期信号在区间周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开成在完备正交上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。信号空间中的无穷级数。 三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由三角函数集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为其展开的级数统称为傅里叶级
6、数傅里叶级数。一一. 周期信号的分解周期信号的分解 设有周期信号设有周期信号f(t)，可分解为，可分解为 1nn1nn0) tnsin(b) tncos(a2a) t ( f an、bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数。可由下式求得。可由下式求得0,1,2,n ,dt) tncos() t ( fT2a2T2Tn 7 an是是n的偶函数，即的偶函数，即 anan ；bn是是n的奇函数，即的奇函数，即 bnbn 。 f(t)分解式的另一种形式分解式的另一种形式 1nnn0)tncos(A2A) t ( f式中式中 A0=a0 abarctan baAnnn2n2nn 1,2,n ,dt) tnsin
7、() t ( fT2b2T2Tn nnnnnnsinAb cosAa 8例：将方波信号例：将方波信号展开为傅里叶展开为傅里叶级数。级数。 1f(t)t-T-1T解：傅里叶系数为解：傅里叶系数为 2T2Tndt) tncos() t ( fT2a2T002T)tnsin(n1T2)tnsin(n1T2 02T2T0dt) tncos(1T2dt) tncos()1(T20 9傅里叶级数的展开式为傅里叶级数的展开式为 2T2Tndt) tnsin() t (fT2b ) tnsin(n1) t5sin(51) t3sin(31) tsin(4) t ( f2T002T)tncos(n1T2)tnc
8、os(n1T2 1,3,5,n n42,4,6,n , 0)ncos(1 n2 02T2T0dt) tnsin(1T2dt) tnsin()1(T210图示方波信号分解图示方波信号分解吉布斯吉布斯(Gibbs)现象现象 ：当：当n时，在间断点处有时，在间断点处有9%的偏差。的偏差。 如果方波信号如图所示如果方波信号如图所示1f(t)t-T-1T则傅里叶级数的展开式为则傅里叶级数的展开式为 ) t7cos(71) t5cos(51) t3cos(31) tcos(4) t ( f11 根据傅里叶系数计算式，根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为为偶函数，则系数为 0b ,dt) tnc
9、os() t ( fT4an2T0n f(t)为奇函数，则系数为为奇函数，则系数为 2T0nndt) tnsin() t ( fT4b , 0a为整数为整数mm21 , 0naAnnn 为整数为整数m21m221nbAnnn12 任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)fod(t)fev(t) 由于由于 f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以所以 2) t( f) t ( f) t (fod 2) t( f) t ( f) t (fev 例例f(t)=et (t)，则，则2) t(e) t (e) t (fttod 2) t(
10、e) t (e) t (fttev 0tf(t)0.50.50tf(t)0.513Ff(t)t-TTFf(-t)t-TTFfod(t)t-TTFfev(t)t-TT半波整流波形半波整流波形14全波整流信号全波整流信号 f1(t)=E|sin 0t| Ef1(t)t-TT 2T002T0ndt) tncos() tsin(TE4dt) tncos() t ( fT4a ) t4cos(152) t2cos(321E2) t (f001)( dt) tncos() tsin(TE402T000 令令)0,1,2,(n 1n)ncos(1E22 15求半波整流信号求半波整流信号f2(t)Esin(
11、0t) (sin 0t)的傅立叶级数。的傅立叶级数。Ef2(t)t-TT半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：) t (f21) tsin(2E) t (f) t (f) t (f10evod2 ) t4cos(152) t2cos(32) tsin(21E00016 f(t)为奇谐函数：将为奇谐函数：将f(t)移动移动 T/2后，与原波形反相，后，与原波形反相，即对称于横轴即对称于横轴 f(t)f(t T/2) 1f(t)t-TT奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。含偶次谐波。
12、) t5sin(b) t3sin(b) tsin(b ) t5cos(a) t3cos(a) tcos(a) t ( f53153117因为因为cosx(ejxejx)/2，所以，所以 1nnn0)tncos(A2A) t ( f 1ntjnjn1ntjnjn0eeA21eeA212Ann ntjnnntjnjneFeeA21nAnAn n n 1ntjnjn1ntjnjn0eeA21eeA212Ann 1n)tn( j)tn( jn0ee 2A2Ann18Fn称为复傅里叶系数，计算式为称为复傅里叶系数，计算式为 )jba(21sinjAcosA21eA21Fnnnnnnjnnn 2T2T2T
13、2Tdt) tnsin() t ( fT1jdt) tncos() t ( fT1, 2, 10,n dte ) t ( fT12T2Ttjn 2T2Tdt)tnsin(j) tn)cos(t ( fT119 傅里叶级数小结：傅里叶级数小结： -ntjnneFf(t) 1nn1nn0) tnsin(b) tncos(a2a) t ( f 1nnn0)tncos(A2A) t ( f)jba(21eA21Fnnjnnn , 2, 10,n dte ) t ( fT1F2T2Ttjnn 20一一. 周期信号的频谱周期信号的频谱 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数 1nnn0)tncos(A2
14、a) t ( fAn、Fn、 n与与n 有关，也即与频率有关，也即与频率 有关。有关。An或或|Fn|与与 之间的关系称为幅频特性，相应地可画出之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为频谱图，称为幅度频谱幅度频谱。 n与与 之间的关系称为之间的关系称为相位频谱相位频谱。周期信号的频谱只在周期信号的频谱只在 n 处取值，是离散频谱。处取值，是离散频谱。 njnnntjnneAFeF) t ( f 21Sa(x)二二. 周期矩形脉冲的频谱周期矩形脉冲的频谱01T /2-T- /2f(t)t 22tjn2T2TtjnndteT1dte ) t ( fT1F定义定义取样函数取样函数为为xxsi
15、n)x(Sa Sa(x)为偶函数为偶函数 n2nsinT2TnTnsinT2n2nsinT 1)x(Salim0 x22)0m(0)m(Sa)2(Sa 所以所以在频谱图上在频谱图上 n 处，存在谱线，谱线间隔为处，存在谱线，谱线间隔为 。：为为整整数数时时，当当包包络络线线变变化化为为)m(m2)2(Sa T不变：不变： 减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。 不变：不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图图示频谱图。信号能量集中在第一个零点内，信号能量集中在第一个零点内， 2 / 2 f0 。定义周期矩形脉冲
16、信号的频带宽度为：定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为： F=f0=1/ 。 TnSaT2nSaTFn23三三. 周期信号的功率周期信号的功率 周期信号的归一化平均功率周期信号的归一化平均功率 2T2T21nnn02T2T2dt)tncos(A2AT1dt) t (fT1P这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为例：幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为0.2，周期为，周期为1的矩形脉冲的矩形脉冲信号，信号功率为信号，信号功率为 2 . 0dt111dt) t (fT1P1 . 01 . 022T2T2 1n2n201n2n20|F|2|F|A212A n2n|F|24其傅
17、里叶系数为其傅里叶系数为)n2 . 0(Sa2 . 0TnSaTFn 第一个零点为第一个零点为0.2n = ，即，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为在频谱第一个零点内各分量的功率和为 51n2251n2n205)n2 . 0(Sa2 . 022 . 0|F|2|F|P第一个零点内分量所占总功率的比例为第一个零点内分量所占总功率的比例为 %3 .902 . 01806. 0PP5 1806. 0 25一一. 傅里叶变换傅里叶变换 由傅里叶级数的指数形式及其系数可得由傅里叶级数的指数形式及其系数可得T1TeFeF) t ( fntjnnntjnn dte ) t ( fTF2T2Ttjn
18、n 当当T时，时，d ，1/Td /2 ，n，离散频率，离散频率变成连续频率，变成连续频率，Fn为无穷小。为无穷小。上式成为上式成为 dte ) t ( fTFlim)j (FtjnT de )j (F21) t ( ftj 26常用下面符号简记：常用下面符号简记： F(j )F F f(t)F F f(t)表示对函数表示对函数f(t)取傅里叶变换，取傅里叶变换，F(j )称为称为f(t)的的频谱密度函数频谱密度函数或或频谱函数频谱函数； f(t)F F 1F(j ) F F 1F(j )表示对函数表示对函数F(j )取逆变换取逆变换 ，f(t)称为称为F(j )的的原函数原函数。对应关系简记
19、为：对应关系简记为：f(t)F(j ) 频谱函数是频谱函数是 的的复函数复函数 F(j )|F(j )|ej ( )R( )jX( )其中其中|F(j )|为幅度频谱，为幅度频谱， ( )为相位频谱。为相位频谱。27比较：实函数比较：实函数f(t)，复函数，复函数F(j )，复变函数，复变函数F(s)。 傅里叶变换的三角函数形式傅里叶变换的三角函数形式 de | )j (F|21de )j (F21) t ( f)(t jtj物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶
20、积分由傅里叶级数推导而得，所以傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。 d)(tsin| )j (F|21jd)(tcos| )j (F|21 0d)(tcos| )j (F|1|F(j )|是偶函数是偶函数该项积分为该项积分为028 一些特殊函数的傅里叶变换一些特殊函数的傅里叶变换(1) 门函数的频谱函数门函数的频谱函数门函数门函数 g (t) (t /2) (t /2) 22tjtjdte1 dte ) t (g)j (F频谱图频谱图 2Sa 22sin jee2j2j 2Sa ) t (g
21、 dt| ) t ( f |傅里叶积分存在的充分条件是傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积在无限区间上绝对可积 f(t)t /21029(2) 单边指数函数的频谱函数单边指数函数的频谱函数单边指数函数单边指数函数f(t)e t (t) 0 0tjttjdtee dte ) t ( f)j (F幅度谱和相位谱幅度谱和相位谱分别为分别为 arctan)( 1| )j (F|220 j1 0 j1) t (et 0tf(t)30(3) 双边指数函数的频谱函数双边指数函数的频谱函数双边指数函数双边指数函数f1(t)e |t| 0 0tjt0tjt1dteedtee )j (F(4)
22、另一形式的双边指数函数的频谱函数另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数双边指数函数( 0) 0t ,e0t ,e) t (ftt2 0tjt0tjt2dteedtee )j (F222j1j1 222jj1j1 31(1) 冲激函数的频谱冲激函数的频谱 1 dte ) t ()t (tj F F频谱密度恒为频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函数推得冲激函数的频谱也可由门函数推得 ) t (g1lim) t (0 12Salim) t (g1lim)t (00 F FF F (t)1 32(2) 冲激函数导数的频谱冲激函数导数的频谱 jdt
23、) t (j) t ( dte ) t ( )t ( tjF F即即 (t)j 幅度谱幅度谱|F(j )| ，相位谱，相位谱 ( ) /2 。根据广义函数导数的定义可得根据广义函数导数的定义可得 F F (n)(t)(j )n 。(3) 单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数单位直流信号可看作双边指数函数f1(t) 当当0时的极时的极限限 )t (flim 110 F FF F 0 ,0 , 02lim220直流分量为有限值，频谱密度为无穷。直流分量为有限值，频谱密度为无穷。33 频谱函数是冲激函数，其强度为频谱函数是冲激函数，其强度为 d/12lim d2lim2
24、0220所以所以)(2 2lim)F(j220 (4) 符号函数的频谱符号函数的频谱 符号函数符号函数定义为定义为 0t 1, 0t 0, 0t 1,sgn(t)1sgn(t)t0-1 22arctanlim034sgn(t)可看作是双边指数函数可看作是双边指数函数f2(t)当当0时的极限，其时的极限，其频谱函数为频谱函数为 220202jlim)j (Flimsgn(t)F F通常表示为通常表示为 sgn(t)2/j (5) 阶跃函数的频谱阶跃函数的频谱 ) tsgn(2121) t ( j1)()t (F F 0 , 00 ,j2 0j10)(35常用函数的傅里叶变换：常用函数的傅里叶变换
25、： 2/Sa) t (g j/2) tsgn(1) t ( 0)( j1) t (et )(21 j) t ( j1)() t ( 22| t |2e36(1) 线性线性 若若 fi(t) Fi(j ) (i=1,2,n)则对任意常数则对任意常数ai (i=1,2,n)，有，有 dte ) t ( f)j (Ftj 傅里叶变换对傅里叶变换对 de )j (F21f(t)tj n1iiin1iii)j (Fa)j (F) t (fa) t ( f傅立叶变换后线性性质不变。傅立叶变换后线性性质不变。37分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。
26、 dt) tsin() t ( fjdt) t(osc ) t ( f dte ) t ( f)j (Ftj频谱函数的实部和虚部分别为频谱函数的实部和虚部分别为 dt) tsin() t ( f)(X dt) t(osc ) t ( f )(R频谱函数的模和相角分别为频谱函数的模和相角分别为 )(R)(Xarctan)( )(X)(R| )j (F|22 )(je| )j (F|)(jX)(R 38 f(t)是时间是时间t的实函数：的实函数：R( )=R( ), X( )=X( ) |F(j )|=|F(j )|, ( )= ( ) 若若f(t)是偶函数，则是偶函数，则X( )0，F(j )R
27、( )；若若f(t)是奇函数，则是奇函数，则R( )0，F(j )jX( )。f(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 de )( f dte ) t( f)t( f )( jtjF F F(j )R( )jX ( ) R( )jX( )F*(j )即即 F F f(t)F(j )F*(j ) 39 f(t)是时间是时间t的虚函数，即的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有，则有 R( )=R( ), X( )=X( )|F(j )|=|F(j )|, ( )= ( ) F F f(t)F(j )=F*(j ) 类似可得类似可得f(t)为复函数的性质。为复函数的性质。 无论无论f(t)为实函数或复函
28、数，都有为实函数或复函数，都有F F f(t)=F(j )F F f*(t)=F*(j )F F f*(t)=F*(j )40若若f(t) F(j ) 则则 F(jt) 2 f( ) 傅里叶逆变换式傅里叶逆变换式 dte )jt(F21)f(-tj de )j (F21f(t)tj de )j (F21f(-t)tj将式中的自变量将式中的自变量t换为换为t得得 将上式中的将上式中的t换为换为 ， 换为换为t，即得，即得41例：求取样函数例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。的频谱函数。门函数傅氏变换门函数傅氏变换 g (t) Sa(/2)根据对称性根据对称性 Sa(t /2) 2
29、g ( )令令 2，则得，则得 Sa(t) g2( ) 例：求函数例：求函数f(t)=t的频谱函数。的频谱函数。 (t) j jt 2( )=2( ) t j2( ) 42若若 f(t) F(j ) 则则 0)(a ajF|a|1)at( f 如如a1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。在频域中信号占有频带的扩展。证明：证明： -tjdtf(at)ef(at)F F令令x=at，则当，则当a0时时 -axjaxdf(x)ef(at)F F ajFa1dxf(x)ea1-xaj43令令x=tt0当当a0时时 axdf(x)e
30、f(at)axjF F若若 f(t) F(j )则则 f(t t0) e j t0F(j )，(t0为常数为常数) 证明：证明： dxf(x)edt)etf(t)tf(t)t(xjtj000F F同理可得同理可得f(t+t0)的变换。的变换。 )j (Fedxf(x)ee00tj-xjtj ajFa1dxf(x)ea1-xaj44例：求图示五脉冲信号的频谱。例：求图示五脉冲信号的频谱。解：单脉冲信号的变换为解：单脉冲信号的变换为 g (t)Sa(/2) 因为因为 f(t)g (t)+g (t+T)+g (tT)+g (t+2T)+g (t2T)所以所以 F(j ) Sa(/2)(1+ej T+
31、ej T+ej2 T+ej2 T) Sa(/2)1+2cos( T)+ 2cos(2 T)当当T4 时波形见图时波形见图4.5-4。f(t)t /2T10-T2T-2T脉冲数脉冲数n ？45 综合尺度变换和时移特性有综合尺度变换和时移特性有若若 f(t) F(j ) 则则0)(a )aj (Fe|a|1)bat( fajb 由尺度变换可得反转特性由尺度变换可得反转特性: F F f(t)F(j )例：求图示例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。函数的傅里叶变换。 f1(t)t-1110f2(t)t-2210-1f3(t)t-1110-1 46解：解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换
32、为为门函数，其傅里叶变换为g2(t) 2Sa( ) 函数函数f2(t)可表示为可表示为 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里叶变换其傅里叶变换又又f3(t)=f2(2t)，所以，所以 j1j12e )j (Fe )j (F)j (F)2j (F21)j (F23 2jjsin4 j)ee (sin2 )2/(sin4 j2/)2/(sin4 j212247f3(t)也可直接由综合变换式求得也可直接由综合变换式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1) g2(t) 2Sa( ) )1t2(g)1t2(g)t (f 223 F FF F0)(a )aj (Fe|a|1)bat( fa
33、jb 2Saj2Sa2sin2j2 2Sae2Sae2j2j48若若f(t) F(j )，且，且 0为常数为常数则则 )( j Fe ) t ( f0tj0 应用频移特性实现频谱搬移，将信号应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信乘以载频信号号cos 0t或或sin 0t得到。得到。因为因为 e ) t ( f21e ) t ( f21)tcos() t ( f tjtj000 F FF F)( j F21)( j F2100 同理可得同理可得49例：例：矩形调幅信号矩形调幅信号tjtj000e ) t (g21e ) t (g21) tcos() t (g) t ( f 2Sa)
34、t (g 因因为为 2)(Sa22)(Sa2) tcos() t (g 000所所以以e ) t ( fj21e ) t ( fj21)tsin() t ( f tjtj000 F FF F)( j jF21)( j jF2100 50 时域卷积定理时域卷积定理 若若 f1(t) F1(j ) f2(t) F2(j ) 则则f1(t)*f2(t) F1(j )F2(j ) 证明：证明： dted)t (f )(f)t (f) t (ftj2121F F de )j (F)(fj21 ddte )t (f)(ftj21)j (F)j (Fde )(f)j (F12j12 51 频域卷积定理频域卷
35、积定理 若若f1(t) F1(j )f2(t) F2(j ) 则则 )j (F*)j (F21) t (f) t (f2121 证明：证明： ded)jj (F)j (F2121)(F)(F21tj21211F F dde )jj (F21)j (F21tj21) t (f) t (fde ) t (f )j (F2121tj21 52例：求斜升函数例：求斜升函数r(t)=t (t)的频谱。的频谱。解：根据函数解：根据函数t和和 (t)的频谱，应用频域卷积定理的频谱，应用频域卷积定理 )t (* t 21)t (t F FF FF F 1*)( )(*)( jj1)(*)( 2j21 21)(
36、 j 由此可得：由此可得： F F |t|=F F t (t)+(t) (t)2222)(1)( j1)( j 53 时域微分定理时域微分定理 若若 f(t) F(j ) 则则 f(n)(t) (j )nF(j ) 根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有 F F f(t)=F F f(t)* (t) =F F f(t)F F (t)=j F(j ) 重复应用以上结果得时域微分定理。重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：在交流电路分析时： 时域积分定理时域积分定理 若若 f(t) F(j )则则 f(1)(t) F(0) ( )+(j )1F(j
37、 ) ILjUdt) t (diL) t (u 54 dt) t ( f| )F(jF(0)0)j (F)j () t (f0)0(F1)1( 时时当当根据时域卷积定理，可得根据时域卷积定理，可得 F F f(1)(t)=F F f(1)(t)* (t)=F F f(t)* (1)(t) =F F f(t)F F (t)=F(j )( )+1/j = F(0) ( )+F(j )/j F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：可以在频域中求，也可在时域中求： CjIUdt) t ( iC1) t (u 分析交流电路时有分析交流电路时有55例：求三角形脉冲的频谱函数。例：求三角形脉冲的频谱函数。f
38、 (t)t- /2 /210f (t)t- /2 /22/ 0-2/ f (t)t- /2 /20(2/ )(2/ )(-4/ ) 2/| t |0,2/| t |,t |21(t)f 三三角角形形脉脉冲冲表表示示式式：对其求二次导数得冲激函数对其求二次导数得冲激函数 2t) t (22t2) t (ff(t) 令令56f(t)的频谱函数为的频谱函数为 2j2je2e2)j (F因为因为F(0)=0，F(j )/j | =0=0，所以，所以f (t)的频谱函数为的频谱函数为 2224/sin8)j (F)j (1)jF（ /4sin812cos42 4Sa24/4/sin2222则三角形脉冲可
39、表示为则三角形脉冲可表示为 ) t (fdydx)y( f) t (f)2(tx 57则频谱函数应为则频谱函数应为在时域积分定理中认为在时域积分定理中认为 t)1(dx)x( f) t (f实际上实际上)(fdx)x( f) t (f)1(t)1( )()(f2j)j (F)()0(F)t (f )1()1( F F j1)(d)() t (t)(j1)(21d) t () tsgn(21t j1例：例： (t)与与sgn(t)/2的导数都是的导数都是 (t)，但，但 时值不同时值不同58 频域微分频域微分若若f(t) F(j )则则 (jt)nf(t) F(n)(j ) 或或 tnf(t)
40、jnF(n)(j ) 证：证：F F 1F(j )=F F 1F(j )* ( ) =2 F F 1F(j )F F 1 ( ) t (jtf2jt) t ( f2 即即 (jt)1f(t) F(1)(j )类推可得类推可得n次微分。次微分。时域函数有时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。因子时，变换可考虑用频域微分性质。 59 频域积分频域积分若若f(t) F(j )则则 )j (F) t ( fjt1) t ()0( f)1( 式中式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求可以在时域中求，也可在频域中求 d)j (F21f(0)证明：证明： F F 1F(1)(j )=F F 1
41、F(j )* (1)( ) =2 F F 1F(j )F F 1 ( ) = 2 f(t)F F 1 ( )60jt1) t (21) t ( f2)j (F)1(1 F F) t ( fjt1) t ()0( f 时域函数有时域函数有t1因子时，且因子时，且f(0)=0，可考虑用如下频域，可考虑用如下频域积分性质积分性质 j1)() t (因为因为)(2jt1) t ( 根据对称性根据对称性)(2jt1) t( 取反转取反转 d)j (Fj) t ( ft161 j1)() t (21)( jj1)(ddj) t (t 例：求例：求r(t)=t (t)的频谱函数。的频谱函数。例：求例：求Sa
42、(t)=sint/t的频谱函数。的频谱函数。)1()1(jj2eetsinjtjt F F F F d)1()1(jjttsin F F)(g)1()1(2 应用频域微分应用频域微分应用频域积分应用频域积分62若若 f1(t)F1( )，f2(t)F2( )则有相关定理则有相关定理 F F R12( )=F1(j )F2*(j ) F F R21( )=F1*(j )F2(j )这是因为这是因为 F F R12( )=F F f1( )*f2( ) =F1(j )F2(j )=F1(j )F2*(j )相关定理中相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。应该是实函数。对于自相关函数则有对于
43、自相关函数则有 F F R( )=F(j )F*(j )=|F(j )|263傅里叶变换性质小结傅里叶变换性质小结 dte ) t ( f)j (Ftj de )j (F21) t ( ftj 线性线性 a1f1(t)+a2f2(t) a1F1(j )+ a2F2(j ) 奇偶性奇偶性 f(t)为实函数：为实函数：R( )、|F(j )|偶函数；偶函数；X( )、 ( )奇函数。奇函数。F F f(t)=F(j )=F*(j ) 对称性对称性 F(jt) 2 f( )j (Fe)tt ( f0tj0 时移特性时移特性0)(a ajF|a|1)at( f 尺度变换尺度变换64 时域卷积定理时域卷
44、积定理 f1(t)*f2(t) F1(j )F2(j ) )j (F*)j (F21) t (f) t (f2121 频域卷积定理频域卷积定理 时域微分时域微分f(n)(t) (j )nF(j ) j)j (F)0(F) t (f)1( 时域积分时域积分 频域微分频域微分 (jt)nf(t) F(n)(j ) )j (F) t ( fjt1) t ()0( f)1( 频域积分频域积分)( j Fe ) t ( f0tj0 频移特性频移特性65若若E、P有界，则有界，则f(t)称为称为能量信号能量信号或或功率信号功率信号。 能量谱能量谱 若若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系为实函数，信
45、号能量与频谱函数的关系 TT2TTT2Tdt| ) t ( f |T21limPdt| ) t ( f |limE定定义义 dtde )j (F21) t ( fdt) t (fEtj2 d)j(F)j (F21ddte ) t ( f)j (F21tj d)j (F)j (F21* d)j (F21266即即 上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为可将上式改写为 df)j (Fd)j (F21E22 d| )j (F|21dt) t (f22物理意义：在物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷频带范围内，信号具有的能量为无穷小量小量|F(j )
46、|2df 。定义定义能量密度谱能量密度谱 E E ( )=|F(j )|2信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数 E E ( )=F F R( )=|F(j )|2E E ( )反映了信号的能量在频域中的分布。反映了信号的能量在频域中的分布。67 功率谱功率谱 定义函数定义函数 fT(t)=f(t) (t+T/2) (tT/2) FT(j )=F F fT(t)如果如果f(t)是实函数，则信号平均功率为是实函数，则信号平均功率为 dt) t (fT1limdt) t (fT1limP2TT2/T2/T2T当当T时，时，fT(t)f(t)。定义。定义功率密度谱功
47、率密度谱为为T| )j (F|lim)(2TT P d| )j (F|21T1lim2TT dT| )j (F|lim212TT功率谱功率谱P P ( )反映信号功率在频域中分布。反映信号功率在频域中分布。68若若f1(t)和和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为是功率信号，定义互相关函数为 2/T2/T21T12dt)t (f ) t (fT1lim)(R若若f(t)是功率信号，定义自相关函数为是功率信号，定义自相关函数为 2/T2/T21T21dt) t (f )t (fT1lim)(R 2/T2/TTdt)t ( f ) t ( fT1lim)(R其傅立叶变换为其傅立叶变换为 2/T2
48、/TTdt)t ( f ) t ( fT1lim)(RF FF F )( f*)( fT1limTF F2TT| )j (F|T1lim)j(F)j (FT1lim 69即即 R( )P P ( )此即此即维纳维纳-欣钦关系欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。频率特性。例：求信号例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。的能量。解：已知变换对解：已知变换对)(| )j (F|T1lim)(R2T PF F)(gttsin2 根据信号的能量与频谱函数关系式，根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为的能量为 d)(g21dtttsin22270一一.
49、 正、余弦函数的傅里叶变换正、余弦函数的傅里叶变换)ee (21)tcos(tjtj000 F FF F二二. 一般周期函数的傅里叶变换一般周期函数的傅里叶变换 周期函数展开成傅里叶级数周期函数展开成傅里叶级数 ntjnnTeF) t (f 2/T2/TtjnTndte ) t (fT1F式中式中 =2 /T。)ee (j21)tsin(tjtj000 F FF F)()(00 )()(j00 71周期函数的傅里叶变换周期函数的傅里叶变换 上式表明周期函数的上式表明周期函数的F(j )和和Fn之间关系。之间关系。 傅里叶变换得到的是频谱密度傅里叶变换得到的是频谱密度F(j )，傅里叶级数得，傅
50、里叶级数得到的是傅里叶系数到的是傅里叶系数Fn。 周期性单位冲激函数系列称为梳状函数周期性单位冲激函数系列称为梳状函数 mT)mTt () t ( ntjnnTeF) t (f)j (FF FF F ntjnneF F F nn)n(F272 2/T2/TtjnTndte ) t (T1F所以所以 T(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为 nnT)n(F2) t (F F梳状函数的傅里叶系数为梳状函数的傅里叶系数为0-2T-TT2T T(t)t0-2 - 2 ( ) )()n(n T1dte ) t (T12/T2/Ttjn n)n(T1273周期信号周期信号fT(t)在一个周期内在一个周期内(T
