1、.第一章第一章 晶体结构晶体结构学习内容学习内容: :第二章第二章 晶体中原子的结合晶体中原子的结合 第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质第四章第四章 能带理论能带理论.前言前言第一节第一节 晶体结构的周期性晶体结构的周期性 第二节第二节 一些晶格的举例一些晶格的举例 第三节第三节 晶面、晶向和它们的标志晶面、晶向和它们的标志 第四节第四节 倒格子倒格子第五节第五节 晶体的对称性晶体的对称性.一、布拉伐格子一、布拉伐格子二二 、原胞、原胞三、三、 晶胞晶胞( (单胞单胞) ).一、布拉伐格子一、布拉伐格子表征了晶格的周期性表征了晶格的周期性理想晶体：可看成是由完全相同
2、的理想晶体：可看成是由完全相同的基本结构单元基本结构单元 （）在空间作周期性无限排列构成）在空间作周期性无限排列构成单个原子单个原子或或离子离子或若干个或若干个原子的集团原子的集团：代表：代表基元中空间位置基元中空间位置的点称为格点的点称为格点 一切格点是等价的一切格点是等价的每个格点的周围环每个格点的周围环 境相同境相同因为一因为一 切基元的切基元的组成组成，位相位相和和取取 向向都相同都相同.等价数学定义：等价数学定义： 中取一切整数值中取一切整数值 所确定的点所确定的点 的集合称为布拉伐格子。的集合称为布拉伐格子。332211alalalRl用用一个点一个点 来代表基元中的空间位置（例如
3、：基元的来代表基元中的空间位置（例如：基元的重心），这些呈周期性无限分布的几何点的集合形成重心），这些呈周期性无限分布的几何点的集合形成 的空间点阵的空间点阵.(a)基元基元 (b)晶体结构晶体结构布拉伐格子布拉伐格子 + 基元基元 = 晶体结构晶体结构: 两类不同的原子两类不同的原子: 基元中特定的点基元中特定的点 格点格点黑点的总体形成黑点的总体形成 Bravais 格子格子.注意事项：注意事项：1）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的）一个布拉伐格子基矢的取法不是唯一的：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其：若在布拉伐格子中取格点为原点，它至其 他格点的矢量他格点的矢量 称为格矢量。可表示
4、为称为格矢量。可表示为 ，为为 一组一组332211alalalRl321,aaalR1234二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法二维布拉伐格子几种可能的基矢和原胞取法2）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子）不同的基矢一般形成不同的布拉伐格子.第一章第一章 晶体结构晶体结构学习内容学习内容: :第二章第二章 晶体中原子的结合晶体中原子的结合 第三章第三章 晶格振动与晶体的热学性质晶格振动与晶体的热学性质第四章第四章 能带理论能带理论.晶系晶系轴和角度轴和角度布拉伐格子布拉伐格子斜方斜方a b 90简单斜方简单斜方长方长方a b = 90简单长方简单长方中心长方中心长方正方正方a = b =
5、90简单正方简单正方六角六角a = b=120简单六角简单六角baababba.简简单单三三斜斜简简单单单单斜斜底底心心单单斜斜简简单单正正交交底心底心正交正交面面心心正正交交体体心心正正交交简单简单四方四方简简单单菱菱方方体体心心四四方方简单简单六方六方简简单单立立方方体体心心立立方方面面心心立立方方.二二 、原胞、原胞所有晶格的共同特点所有晶格的共同特点 具有具有周期性周期性（平移对称性）（平移对称性）1、 定义：定义：一个晶格：一个晶格最小的周期性单元最小的周期性单元，也称为，也称为固体物理固体物理 学原胞学原胞:指原胞的边矢量，一般用指原胞的边矢量，一般用 表示表示321,aaa用用原
6、胞原胞和和基矢基矢来描述来描述描描述述方方式式位置坐标描述位置坐标描述.2 2 、注意、注意： 三维晶格原胞三维晶格原胞(以基矢以基矢 为棱的平行六面体为棱的平行六面体 是晶格体积的最小重复单元）是晶格体积的最小重复单元） 的体积的体积 为：为：321,aaa二维晶格原胞的面积二维晶格原胞的面积为：为：21aaS一维晶格原胞的长度一维晶格原胞的长度为最近邻布拉伐格点的间距为最近邻布拉伐格点的间距321.aaa原胞的取法原胞的取法不是唯一不是唯一的（基矢取法的非唯一性）的（基矢取法的非唯一性）平行六面体形原胞平行六面体形原胞 固体物理学原胞固体物理学原胞，有时难，有时难 反映晶格的全部宏观对称性
7、反映晶格的全部宏观对称性.性质：每个原胞有性质：每个原胞有原子原子 所有原子完全所有原子完全“等价等价 ”举例：具有体心立方晶格的碱金属举例：具有体心立方晶格的碱金属 具有面心立方结构的具有面心立方结构的 Au, Ag,Cu 晶体晶体3 3、 晶格分类晶格分类.CsCl 结构结构NaCl晶格结构的典型单元晶格结构的典型单元性质性质：每个原胞包含：每个原胞包含的原子的原子实际上表实际上表 示晶格包含两种或更多种等价的原子或离子示晶格包含两种或更多种等价的原子或离子结构结构：每一种等价原子形成一个简单晶格每一种等价原子形成一个简单晶格; ; 不同等价原子形成的简单晶格是相同的不同等价原子形成的简单
8、晶格是相同的由若干个相同的由若干个相同的相对错位套构而成相对错位套构而成.举例：举例：NaCl，CsCl包含两种等价离子包含两种等价离子所有原子都是一样的所有原子都是一样的六角密排晶格结构六角密排晶格结构 Be,Mg,Zn金刚石晶格结构金刚石晶格结构 C,Si,Ge六角密排晶格结构的典型单元六角密排晶格结构的典型单元ABca复式晶格的原胞：就是相应的复式晶格的原胞：就是相应的简单晶格的原胞，简单晶格的原胞，在原胞中包在原胞中包含了每种等价原子各一个含了每种等价原子各一个。.、位置坐标描述晶格周期性：、位置坐标描述晶格周期性：简单晶格简单晶格：每个原子的位置坐标：每个原子的位置坐标： 33221
9、1alalal321,aaa为晶格基矢为晶格基矢321,lll为一组整数为一组整数每个原子的位置坐标：每个原子的位置坐标：复式晶格复式晶格：332211alalalri,.,2 , 1 : 原胞内各种等价原子之间的相对位移原胞内各种等价原子之间的相对位移ar.面心立方位置的原子面心立方位置的原子 B 表示为：表示为：332211alalal立方单元体内对角线上的原子立方单元体内对角线上的原子 A 表示为表示为:332211alalal其中其中 为为 1/4 体对角线体对角线金刚石晶格结金刚石晶格结构的典型单元构的典型单元构成构成：由面心立方单元的：由面心立方单元的中心到顶中心到顶角角引引8条对
10、角线，在其中条对角线，在其中互不相邻的互不相邻的4 4条对角线的中点条对角线的中点，各加一个原，各加一个原子子 得到金刚石晶格结构！得到金刚石晶格结构！特点特点：每个原子有：每个原子有4 4个最近邻个最近邻，它们，它们正好在正好在正四面体正四面体的顶角位置！的顶角位置！.三、三、 晶胞晶胞( (单胞单胞) )：为反映晶格的对称性，在结晶学中选择：为反映晶格的对称性，在结晶学中选择较大较大 的周期单元的周期单元称为称为晶体学原胞晶体学原胞：沿晶胞的三个棱所作的三个矢量，常：沿晶胞的三个棱所作的三个矢量，常 用用 表示。表示。cba,：指晶胞的边长：指晶胞的边长固体物理学原胞固体物理学原胞:最小重
11、复单元最小重复单元只反映周期性只反映周期性 ()晶体学原胞晶体学原胞:反映反映周期性周期性和和对称性对称性 （) .晶体晶体中一种质点中一种质点(黑点黑点)和周围的另一种质点和周围的另一种质点(小圆圈小圆圈)的排列是一的排列是一样的，这种规律叫做近程规律或样的，这种规律叫做近程规律或短程有序短程有序。晶体这种在图形中贯彻始终的规律称为这种在图形中贯彻始终的规律称为远程规律或远程规律或长程有序长程有序 微米量级微米量级每种质点每种质点(黑点或圆圈黑点或圆圈)在整个在整个图形中各自都呈现规律的周期图形中各自都呈现规律的周期性重复。把周期重复的点用直性重复。把周期重复的点用直线联结起来，可获得平行四
12、边线联结起来，可获得平行四边形网格。可以想像，在三维空形网格。可以想像，在三维空间，这种网格将构成空间格子。间，这种网格将构成空间格子。原子在三维空间中有规则地周期性重复排列的物质称为原子在三维空间中有规则地周期性重复排列的物质称为晶体晶体.非晶体非晶体中，质点虽然可以是近程有序的中，质点虽然可以是近程有序的(每一黑点为每一黑点为三个圆圈围绕三个圆圈围绕)，但不存在长程有序！，但不存在长程有序！非晶体非晶体液体和非晶体中的液体和非晶体中的短程序短程序：1.参考原子第一配位壳层的结构参考原子第一配位壳层的结构有序化，其范围为有序化，其范围为0.35 0.4nm以内；以内；2.基于径向分布函数上可
13、以清晰基于径向分布函数上可以清晰的分辨出第一峰与第二峰，有明的分辨出第一峰与第二峰，有明确的最近邻和次近邻配位层，其确的最近邻和次近邻配位层，其范围一般为范围一般为0.3 0.5nm.1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探索之中，但从其对称性可知，其质点的排列应是长程有序，但不体现周期重复，即不存在格子构造，人们把它称为准晶体。如图绘出一种长程有序但不具周期重复的几何图形。具有五次对称轴定向长程具有五次对称轴定向长程有序但无重复周期的图形有序但无重复周期的图形.学习内容：学习内容：定义定义一、简单立方晶格（一、简单立方晶格（SC格子）格子） 二、面心立
14、方晶格二、面心立方晶格 三、体心立方晶格三、体心立方晶格 四、六角密排晶格四、六角密排晶格 五、金刚石晶体结构五、金刚石晶体结构 六、氯化钠结构六、氯化钠结构七、氯化铯晶格七、氯化铯晶格.了解几个定义了解几个定义：1 配位数配位数：原子的最近邻（原子）数目：原子的最近邻（原子）数目2 致密度致密度：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比：晶胞中原子所占体积与晶胞体积之比注：配位数和致密度注：配位数和致密度 原子堆积成晶格时愈紧密原子堆积成晶格时愈紧密3 密排面密排面：原子球在一个平面内最紧密排列的方式：原子球在一个平面内最紧密排列的方式把密排面叠起来可以形成原子球最紧密堆积的晶格。把密排面叠起来可以
15、形成原子球最紧密堆积的晶格。.一、简单立方晶格（一、简单立方晶格（SCSC格子）格子）1 配位数配位数：每个原子的上下左右前后各有一个最近邻：每个原子的上下左右前后各有一个最近邻 原子原子 配位数为配位数为6 2 堆积方式堆积方式：最简单的原子球规则排列形式：最简单的原子球规则排列形式 没有没有 实际的晶体具有此种结构实际的晶体具有此种结构 简单立方晶简单立方晶 格堆积方式格堆积方式简单立方晶简单立方晶格典型单元格典型单元.4 晶格的三个基矢晶格的三个基矢：kaajaaiaa321a 为晶格常数为晶格常数3 原胞原胞： SC格子的立方单元是最小的周期性单元格子的立方单元是最小的周期性单元 选取
16、其本身为原胞选取其本身为原胞简单立方简单立方晶格原胞晶格原胞1a2a3a.二、面心立方晶格（二、面心立方晶格（face-centered cubic fcc）1 配位数配位数：每个原子在：每个原子在 上、下平面位置对角线上上、下平面位置对角线上 各有四个最近邻原子各有四个最近邻原子 配位数为配位数为122 堆积方式堆积方式：ABC ABC ABC,是一种最紧是一种最紧 密密 的排列方式，常称为立方密排晶格的排列方式，常称为立方密排晶格3 原胞原胞: 由一个由一个立方体顶点立方体顶点到到三个近邻的面心三个近邻的面心引晶格引晶格 基矢，得到以这三个晶格基矢为边的原胞基矢，得到以这三个晶格基矢为边的
17、原胞4 晶格的三个基矢晶格的三个基矢：ikaakjaajiaa222321.5 原胞的体积原胞的体积：fccaaaa4143321原胞原胞fccaaaa4143321原胞原胞 fcc 格子的一个立方单元体积中含的原子数：格子的一个立方单元体积中含的原子数：4又又fccaaaa4143321原胞原胞原胞中只包含一个原子原胞中只包含一个原子 因而为最小周期性单元因而为最小周期性单元注注： fcc 晶格方式是一种最紧密的排列方式晶格方式是一种最紧密的排列方式 立方密排晶格！立方密排晶格！fccaaaa4143321原胞原胞6 判断此原胞为判断此原胞为fcc格子的最小周期性单元格子的最小周期性单元.面
18、心立方晶格的堆积方式面心立方晶格的堆积方式面心立方晶格的典型单元和原子密排面面心立方晶格的典型单元和原子密排面1a2a3a面心立方晶格的原胞面心立方晶格的原胞.1 配位数配位数:每个原子都可作为体心原子，分布在八个每个原子都可作为体心原子，分布在八个 结点上的原子都是其最近邻结点上的原子都是其最近邻 原子原子 ,CN=82 堆积方式堆积方式：正方排列原子层之间的堆积方式表示：正方排列原子层之间的堆积方式表示 为为 AB AB AB 原子球不是紧密靠原子球不是紧密靠 在一起在一起3 原胞原胞：由一个立方体：由一个立方体顶点顶点到最近的到最近的三个体心三个体心得到晶得到晶 格基矢格基矢,以它们为棱
19、形成的平行六面体构成以它们为棱形成的平行六面体构成 原胞原胞.4 晶格的三个基矢晶格的三个基矢：kjiaakjiaakjiaa2223215. 原胞的体积原胞的体积：bccaaaaV2123321原胞原胞bccaaaa2123321原胞原胞bcc 的一个立方单元体积中，包含两个原子的一个立方单元体积中，包含两个原子,此原胞中只含有一个原子此原胞中只含有一个原子 其为最小周期性单元其为最小周期性单元!bccaaaa2123321原胞原胞bccaaaaV2123321原胞原胞.体心立方晶格的堆积方式体心立方晶格的堆积方式体心立方晶格的典型单元体心立方晶格的典型单元体心立方晶格的原胞体心立方晶格的原
20、胞1a2a3a.1 配位数配位数 ：理想情况：理想情况 所有相邻原子之间的距离相所有相邻原子之间的距离相 等等 轴比轴比 配位数为配位数为12 实际值在实际值在1.571.64之间波动之间波动 633. 13/8/ac2 堆积方式堆积方式：AB AB AB，上、下两个底面为，上、下两个底面为A 层，中间的三个原子为层，中间的三个原子为 B 层层3 原胞原胞： 在密排面内，互成在密排面内，互成1201200 0角，角， 沿垂直沿垂直 密排面的方向构成的菱形柱体密排面的方向构成的菱形柱体 原胞原胞21,aa3a.六角密排晶格的堆积方式六角密排晶格的堆积方式六角密排晶格结构的典型单元六角密排晶格结构
21、的典型单元ABca六角密排晶格结构的原胞六角密排晶格结构的原胞1a2a3a.A A层内原子的上、下各层内原子的上、下各3 3个最个最近邻原子所分别形成的正三近邻原子所分别形成的正三角形的空间取向，不同于角形的空间取向，不同于B B面内原子的上、下各面内原子的上、下各3 3个最个最近邻原子所分别形成的正三近邻原子所分别形成的正三角形的空间取向！角形的空间取向！4 注意注意: A 层中的原子层中的原子 B 层中的原子层中的原子 复式晶格复式晶格A 层层B 层层由分别位于由分别位于A A层与层与B B层的简单六角格子层的简单六角格子沿沿OOOO方向穿套而成！方向穿套而成！六角密排晶格结构的典型单元六
22、角密排晶格结构的典型单元ABca.五、金刚石晶体结构五、金刚石晶体结构1 特点特点：每个原子有：每个原子有4 个最近邻，它们正个最近邻，它们正 好在一个正四面体的顶角位置好在一个正四面体的顶角位置2 堆积方式堆积方式：立方单元体内对角线上的原子：立方单元体内对角线上的原子 A 面心立方位置上的原子面心立方位置上的原子 B3 注意注意：复式晶格的原胞复式晶格的原胞 = = 相应的简单晶格的原胞相应的简单晶格的原胞 原胞中包含每种等价原子各一个原胞中包含每种等价原子各一个4 原胞原胞：B B 原子组成的面心立方原胞原子组成的面心立方原胞 + + 一个一个A A原子原子.金刚石晶格的原胞金刚石晶格的
23、原胞.六、氯化钠六、氯化钠(NaCl)(NaCl)结构结构1 特点特点：NaCl 结构的布拉伐格子是结构的布拉伐格子是 fcc 格子格子 基元基元 = Na+ + Cl- (相距半个晶格常数相距半个晶格常数)2 堆积方式堆积方式: Na+ 和和 Cl-本身构成面心立方晶格本身构成面心立方晶格 NaCl晶格晶格 Na+ 和和 Cl- 的面心立方晶格穿套而成的面心立方晶格穿套而成3 原胞原胞：Na+ 的面心立方原胞中心的面心立方原胞中心 + 一个一个Cl-NaCl晶格的原胞晶格的原胞NaCl晶格结构的典型单元晶格结构的典型单元.七、氯化铯（七、氯化铯（CsCl)CsCl)晶格晶格1 特点特点：布拉
24、伐格子是：布拉伐格子是 SC 格子格子 Cs+ + Cl- 分别形成分别形成 的的SC格子套构而成的复式晶格格子套构而成的复式晶格2 原胞原胞：Cl- 的简单立方原胞中心的简单立方原胞中心 + 一个一个 Cs+ Cl-CsCl晶格的原胞晶格的原胞CsCl晶格的典型单元晶格的典型单元Cs+.1.它是体积最小的重复单元它是体积最小的重复单元,具有具有Bravais格子的全部格子的全部 宏观对称性宏观对称性2.每个原胞只包含一个格点每个原胞只包含一个格点 魏格纳魏格纳 - 塞兹原胞塞兹原胞的格点位于原胞中央；的格点位于原胞中央； 平行六面体形原胞平行六面体形原胞的的8个格点位于平行六面体的个格点位于
25、平行六面体的8个个 顶角，每个格点为顶角，每个格点为8个原胞所共有个原胞所共有 每个原胞平每个原胞平 均包含一个格点！均包含一个格点！.二维晶格的二维晶格的Wigner-Seitz原胞原胞取法：取法：作某格点与所有其他格点连线的中垂面，被这些中作某格点与所有其他格点连线的中垂面，被这些中垂面围在中央的最小多面体垂面围在中央的最小多面体 Wigner-Seitz原胞原胞.332211alalal321ll l321ll l.100110111.111:111:111 l :k :h 332211332211332211yxyxyxzxzxzxzyzyzymnp.222)(lkhadhkl222)
26、(2lkhadhkl.222)(lkhadhkl111金刚石晶格中金刚石晶格中双层密排面双层密排面.111.rk.倒易点阵是傅立叶空间中的点阵倒易点阵是傅立叶空间中的点阵;倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质; ;一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点一种晶体结构有两种类型的点阵
27、与之对应：晶体点阵是阵是真实空间真实空间中的点阵，量纲为中的点阵，量纲为LL；倒易点阵是；倒易点阵是傅傅立叶空间立叶空间中的点阵中的点阵, ,量纲为量纲为L-1L-1。.如果把晶体点阵本身理解为如果把晶体点阵本身理解为周期函数周期函数，则倒，则倒易点阵就是晶体点阵的易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换傅立叶变换，所以倒，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象数学抽象，只，只是在不同空间是在不同空间( (波矢空间波矢空间) )来反映来反映, ,其所以要变其所以要变换到波矢空间是由于换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动研究周期性结构中波动过程的需要。过程的需要。.一个三维周
28、期性函数一个三维周期性函数u(r)（周期为（周期为T=n1a1+ n2a2+ n3a3） 即：即：u(r) = u(r + T)r是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。是实数自变量，可以用来表示三维实空间的坐标。那么如果将那么如果将u(r)展开成傅立叶级数，其形式为：展开成傅立叶级数，其形式为： u(r) = G uG exp(iGr)G是与实空间中的周期性矢量是与实空间中的周期性矢量T相关联的一组矢量相关联的一组矢量 .321a ,a ,a332211la a aRlll213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab2132
29、12131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab321aaa321,bbb.332211321bhbhbhGhhh321,hhh321hhhG3 , 2 , 1, 0,22jijijibaijji.332211la a aRlllrkie.选择适当的波矢选择适当的波矢 使平面波具有给定布拉伐格子使平面波具有给定布拉伐格子 的周期性的周期性k具有给定具有给定布拉伐格子周期性布拉伐格子周期性的那些的那些平面波波矢平面波波矢 所所代表的点的集
30、合代表的点的集合 称为称为倒格子倒格子hGkrGirRGihlhee.rlR.rGirRGihlhee.hG1.lhRGielhlhlhrGirGiRGieee.332211bhbhbhGh321,bbb321,hhh22.332211332211332211hlhlhlalalalbhbhbhRGlh22.332211332211332211hlhlhlalalalbhbhbhRGlh22.332211332211332211hlhlhlalalalbhbhbhRGlh12sin2cos.sin.cos.iRGiRGehhRGilh12sin2cos.sin.cos.iRGiRGehhRGi
31、lh12sin2cos.sin.cos.iRGiRGehhRGilh3 , 2 , 1, 0,22jijijibaijji1.lhRGie.213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab313233211312133233211332321222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb.313233211312
32、133233211332321222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb313233211312133233211332321222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb313233211312133233211332321222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb313233211312133233211332321222222aaaaaaaaaaaaaaaaaaabbb321hhhG3212hhhd.321hhhG321hhhG0.0.21321321lGlGhhhhhh.321hhhGn1a3a2a倒格式倒格式 和晶面和晶面 (h1 h2 h3)的
33、关系的关系321hhhG321,aaa332211,haOChaOBhaOA1122hahaOAOBAB0221122332211321hahabhbhbhABGhhhjijibaijji, 0,22.321hhhG321hhhG321hhhG.3213212hhhhhhdG321hhhd321321321/hhhhhhhhhGGn3213213213213213213212233221111hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhGdGGbhbhbhhanOAdnAO又3213213213213213213212233221111hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhGdGGbhbhb
34、hhanOAdnOA又3213212hhhhhhGd321hhhGn1a2a3a1 Brillouin Zone 的定义和确定方法的定义和确定方法 对于给定的晶格对于给定的晶格321,aaa321,bbb正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢 332211321bhbhbhGhhh由由 确定确定该晶格的倒格子该晶格的倒格子被上述平面所包围的围绕被上述平面所包围的围绕原点原点的最小区域称为第一的最小区域称为第一布里渊区，也称为布里渊区，也称为简约布里渊区简约布里渊区 以任一倒格点为原点，作所有倒格矢以任一倒格点为原点，作所有倒格矢 的垂直的垂直 平分面平分面 这些平面将倒格子空间分割为许多区
35、域这些平面将倒格子空间分割为许多区域nG. SC 的倒格子仍为的倒格子仍为简单立方结构简单立方结构； bcc 格子的倒格子具有格子的倒格子具有 fcc 结构结构 ； fcc 格子的倒格子具有格子的倒格子具有 bcc 结构结构; 即即 bcc 与与 fcc 互为正倒格子互为正倒格子 !32.ikaakjaajiaa222321213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab21321213133211323232132122222
36、2aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaabkjiabkjiabkjiab222321.ikabkjabjiab222321kjiabkjiabkjiab222321.iaaiab2O一维晶格点阵一维晶格点阵aOb倒格子点阵倒格子点阵-/a/a.jiaaaa21和jabiab2221和.M(x1, x2, x3)M(x1, x2, x3)刚性图形的转动刚性图形的转动1. 基本对称操作基本对称操作体系中一点体系中一点M 的位矢为的位矢为x xMxRM321333231232221131211321xxxRRRRRRRRRxxx操作操作实际就是实际就是晶体坐标晶体坐标(格点坐标格点坐标)的某
37、种变换。因为操作应不改变晶体中的某种变换。因为操作应不改变晶体中任意两点间的距离，所以用数学表示，这些操作就是任意两点间的距离，所以用数学表示，这些操作就是线性变换线性变换。.xcossinsincoscossinsinsincossinsincoscoscos32332211xxxxxxxxxxxxxxcossincossinsincossinsincossinsincoscoscos32332211xxxxxxxxxxxxxxcossinsincoscossinsinsincossinsincoscoscos32332211xxxxxxxxxxxxxx321321cossin0sincos
38、0001xxxxxx.晶体绕固定轴晶体绕固定轴 x1 转动角度转动角度 的允许值：的允许值：360，180，120，90，60n26432符号符号对称轴度数对称轴度数n. 设转动前晶格格点的位置矢量设转动前晶格格点的位置矢量分别为整数321332211n,a a aRnnnnnn转动后格点移到转动后格点移到Rn分别为整数, , ,a a a R321332211nnnnnnnnnRRA这里这里A是所表示的转动操作，写成距阵形式为是所表示的转动操作，写成距阵形式为要使转动后晶体自身重合要使转动后晶体自身重合,必须必须 也为整数，即也为整数，即, , 321nnn整数321nnncossinsin
39、coscossinsinsincossinsincoscoscos32332211xxxxxxxxxxxxnncossincossinsincossinsincossinsincoscoscos32332211nnxxxxnnxxxnxxcossinsincoscossinsinsincossinsincoscoscos32332211nnxxxnxxxxxxxx左右两边各自相加，得左右两边各自相加，得cossinsincos32321nnnnn整数sincos32321nnnnn整数此式对任何此式对任何n1,n2,n3都成立。取都成立。取n1n2n31，则有，则有cos21整数1cos13c
40、os211.3cos21132101cos21，只能取 的允许值：的允许值：360，180，120，90，60.321321100010001xxxxxx100010001A.100010001i100010001222CIiCiCh222CiICICh100010001A100010001100010001.100010001.180cos180sin0180sin180cos0001.cossin0sincos00011802iiiC100010001100010001.100010001.180cos180sin0180sin180cos0001.cossin0sincos0001180
41、2iiiC.国际符号表示：国际符号表示：6,4,3,2,1符号符号旋转反演轴度数旋转反演轴度数2346n.13136141445616311222164321SCiCSCiCSCiCSCiCSCiCnnCS nnCS =i=具有具有n度旋转反演轴对称度旋转反演轴对称 的晶体不一定具有的晶体不一定具有n度转轴和中心度转轴和中心反演这两种对称性反演这两种对称性 具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合操具有复合操作对称性不一定意味着同时具备构成复合操作的作的各单一操作过程各单一操作过程； 反之，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构反之，如具有单一操作的对称性，必具有由它们复合构成的操作
42、对称性。成的操作对称性。n. 结合力与结合能的一般性质结合力与结合能的一般性质 结合力的类型与晶体分类结合力的类型与晶体分类 离子晶体的结合能离子晶体的结合能 分子晶体的结合能分子晶体的结合能.从晶体的从晶体的几何对称性几何对称性观点讨论了观点讨论了固体的分类固体的分类原子或离子间的相互作用原子或离子间的相互作用 或或 结合的性质结合的性质 与固体与固体材料的结构和物理、化学性质有密切关系，是研材料的结构和物理、化学性质有密切关系，是研究固体材料性质的重要基础！究固体材料性质的重要基础！全部归因于全部归因于电子的负电荷电子的负电荷和和原子核原子核的正电荷的正电荷的的静电吸引静电吸引作用作用晶体
43、的结合决定于其组成粒子间的相互作晶体的结合决定于其组成粒子间的相互作用用 化学键化学键由由结合能结合能及及结合力结合力来反映来反映很难直接看到很难直接看到晶体结构晶体结构对其对其性能性能影响的影响的.通过晶体的通过晶体的内内能函数能函数算出算出结合能结合能 晶格常数晶格常数 体积弹性模量体积弹性模量 实验可测实验可测有利于了解组成晶体的粒子间相互作用的本质，有利于了解组成晶体的粒子间相互作用的本质，从而为探索新材料的合成提供理论指导！从而为探索新材料的合成提供理论指导！.实际上，一个固体材料有几种结合形式，实际上，一个固体材料有几种结合形式，也可具有两种结合之间的过渡性质，或某也可具有两种结合
44、之间的过渡性质，或某几种结合类型的综合性质几种结合类型的综合性质 强调强调：按结合力按结合力性质区分性质区分1离子晶体离子晶体离子键结合离子键结合2共价晶体共价晶体共价键结合共价键结合3分子晶体分子晶体分子键结合分子键结合4金属晶体金属晶体金属键结合金属键结合5氢键晶体氢键晶体氢键结合氢键结合五种基本类型五种基本类型.一、结合力与结合能的一般性质一、结合力与结合能的一般性质1晶体的结合力：晶体的结合力：固体固体难以拉伸难以拉伸原子间存在吸引力原子间存在吸引力（长程力）（长程力）固体固体难以压缩难以压缩原子间存在排斥力原子间存在排斥力 晶体结构稳定晶体结构稳定 原子间相互作用的势能取最小值原子间
45、相互作用的势能取最小值首先考虑：相邻两个原子间作用首先考虑：相邻两个原子间作用.如果如果 表示两原子间的表示两原子间的相互作用力相互作用力 表示两原子间的表示两原子间的相互作用势能相互作用势能 rrurf两原子间的相互作用势能两原子间的相互作用势能:r0nmrBrAru)( A,B,m,n 皆为皆为0的常数的常数 取决于结合力类型取决于结合力类型:两个原子间的距离两个原子间的距离第一项第一项：表示吸引势能：表示吸引势能第二项第二项：表示排斥势能：表示排斥势能.nmrBrAru)(nmrBrA假设条件：假设条件：较大的间距较大的间距上上,排斥力比吸引力弱的多排斥力比吸引力弱的多 保证原子聚集起来
46、；保证原子聚集起来；很小的间距上，排斥力又必须占优势很小的间距上，排斥力又必须占优势 保证固体稳定平衡；保证固体稳定平衡； n m 波恩描述波恩描述（最简单的恒温描述）（最简单的恒温描述）.当两原子间距当两原子间距 为某一特殊值为某一特殊值 时：时： 000rrrurf晶体都处于这种稳定状态晶体都处于这种稳定状态称为平衡位置称为平衡位置 此时的状态称此时的状态称 为为稳定状态稳定状态晶体中的晶体中的原子原子都处于平衡位置！都处于平衡位置！r0f(r)u(r).2晶体的晶体的：自由原子（离子或分子）结合：自由原子（离子或分子）结合 成晶体时所放出的能量成晶体时所放出的能量 数学定义：数学定义：E
47、o 是绝对零度时晶体的总能量是绝对零度时晶体的总能量EN 是组成晶体的是组成晶体的N个自由原子的总能量个自由原子的总能量固体结固体结构稳定构稳定晶体的能量晶体的能量构成晶体的粒构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和子处在自由状态时的能量总和把晶体把晶体分离成分离成自由原子所需要的能量自由原子所需要的能量把原子体系在分散状态的能量算作零；把原子体系在分散状态的能量算作零；不考虑晶体的热效应（不考虑晶体的热效应（0K）;.计算：计算：(关键是计算晶体的内能）关键是计算晶体的内能）近似处理近似处理，采用简化模型采用简化模型！ 00rUVUW平衡条件下：平衡条件下： 晶体内能晶体内能只是晶体体积只是晶
48、体体积或原子间距或原子间距 的函数的函数 0000VVrrVVUrrU 0000VVrrVVUrrUr0f(r)u(r).设：设： ：晶体中两原子间的相互作用能：晶体中两原子间的相互作用能 ：第：第 i 和第和第 j 个原子间的距离个原子间的距离由由 个原子所组成的晶体的内能函数表示为：个原子所组成的晶体的内能函数表示为： NiNjijruU121“”因为因为 ，避免重复计算而引入；，避免重复计算而引入； jiijruru由于由于很大，可以忽略晶体很大，可以忽略晶体表面层原子表面层原子与与晶晶 体内原子体内原子的差别！的差别！注意：注意：. iNjiijNuruNU2121表示晶体中表示晶体中
49、任一原子任一原子与与其余所有原子其余所有原子的相互作用能之和的相互作用能之和二、晶体的物理特性量二、晶体的物理特性量 (通过内能函数确定）通过内能函数确定）根据功能原理：根据功能原理：.1晶格常数晶格常数 一般情况下，晶体受到的仅是大一般情况下，晶体受到的仅是大 气压力气压力平衡态时，平衡态时， 0000VVrrdVVdUdrrdU0000VVrrdVVdUdrrdU根据：根据：若已知内能函数若已知内能函数可通过极值条件确定可通过极值条件确定平衡晶体的体积平衡晶体的体积晶格常数晶格常数 .2晶体的体积弹性模量晶体的体积弹性模量将将 代入，对于平衡晶体得：代入，对于平衡晶体得：VdVdpK体变模
50、量一般表示为：体变模量一般表示为：022VdVUdVK其中：其中：应力应力 相对体积变化相对体积变化 平衡时晶体的体积平衡时晶体的体积.离子键和离子晶体离子键和离子晶体 共价键和共价晶体共价键和共价晶体 金属键和金属晶体金属键和金属晶体 分子键和分子晶体分子键和分子晶体 氢键和氢键晶体氢键和氢键晶体 混合键混合键 结合力的性质和原子结结合力的性质和原子结 构的关系构的关系.1 举例举例, 等是典型的离子晶体等是典型的离子晶体碱金属元素碱金属元素Li, Na, K, Rb, Cs 卤族元素卤族元素 F, Cl, Br, I-族元素形成的化合物，如：族元素形成的化合物，如：CdS, ZnSe等等2
