1、高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 3.2均值不等式均值不等式 高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 1同向不等式可以相加，但不能 或 2判定不等式是否成立，常利用不等式的 及函数的和等方法 3在不等式的变形过程中，要遵循 的原则 4两个正数a与b的等差中项为，正的等比中项为 . 相减相减相除相除基本性质基本性质单调性单调性特殊值特殊值等价变形等价变形高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 1均值定理(又称基本不等式或均值不等式)
2、(1)形式： (2)成立的前提条件 (3)等号成立的条件：当且仅当 时取等号a，bRab高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 2算术平均值和几何平均值 (1)定义 叫做正实数a，b的算术平均值 叫做正实数a，b的几何平均值 (2)结论 两个正实数的算术平均值它们的几何平均值大于或等于大于或等于高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 (3)应用基本不等式求最值 如果x，y都是正数，那么 若积xy是定值P，那么当 时，和xy有 值 若和xy是定值S，那么当 时，积xy有 值 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大xy最小最小xy最
3、大最大高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 1基本不等式中的a，b可以是值为任意正数的代数式吗？高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 【思路点拨】先利用基本不等式求出m的范围，再利用指数函数的性质求出n的范围，从而得出m，n的大小关系高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心【答案答案】A 高级生产运营管
4、理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a0，b0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 【答案】ABCD高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 【思路点拨】因为不等式右边为常数，所以应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别利用基本不等式高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产
5、运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工
6、程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 （1）一个矩形的面积为100平方米，问矩形的长，宽各为多少时矩形周长最短？ （2）矩形周长为36米，问矩形的长，宽各为多少时，矩形面积最大？解解:(1)设长为设长为x，宽为，宽为y，则，则xy=100。所以，周长。所以，周长L=2(x+y) 4 =40 (2)设长为设长为x，宽为，宽为y，则周长，则周长L=2(x+y)=36,所以所以 x+y=18 则面积则面积s=xy =81.xy2)2(yx高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 在求实际问题中的最值时，应按下面的思路来求解： (1)先
7、理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； (4)正确写出答案高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心 3利用均值不等式求最值时，应注意的问题 (1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断 (2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值 (3)确保等号成立 以上三个条件缺一不可，可概括为“一正、二定、三看等号可能性”高级生产运营管理高级生产运营管理天津市天津市CIMS工程中心工程中心
