1、数学建模 微分方程专题1part1：微分方程：微分方程微分方程模型微分方程模型差分方程模型差分方程模型2 在研究实际问题时在研究实际问题时, , 我们常常不能直接我们常常不能直接得出变量之间的关系，但却能容易得出包含得出变量之间的关系，但却能容易得出包含变量导数在内的关系式，这就是微分方程变量导数在内的关系式，这就是微分方程. . 在现实社会中，又有许多变量是离散变在现实社会中，又有许多变量是离散变化的，如人口数、生产周期与商品价格等化的，如人口数、生产周期与商品价格等, , 而且离散的运算具有可操作性而且离散的运算具有可操作性, , 差分正是联差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁系连续与离散
2、变量的一座桥梁. .3 不管是微分方程还是差分方程模型，有时不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解无法得到其解析解 ( (必要时，可以利用计算机必要时，可以利用计算机求其数值解求其数值解 ) )，既使得到其解析解，尚有未知，既使得到其解析解，尚有未知参数需要估计参数需要估计 ( (这时可利用第二章参数估计方这时可利用第二章参数估计方法法). ). 而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论加以讨论. .4如果如果0)(limxtxt则称平衡点则称平衡点x0是是稳定
3、稳定的的.) 14()(ddxftx称代数方程称代数方程 f (x)=0 的实根的实根x = x0为方程为方程(4-1)的的平平衡点衡点(或奇点或奇点). 它也是方程它也是方程(4-1)的解的解.设设一维微分方程模型平衡点的稳定性5由于由于),)()(00 xxxfxf在讨论方程在讨论方程(4-1)的的)24()(dd00 xxxftx来代替来代替.稳定性时，可用稳定性时，可用一阶微分方程模型平衡点的稳定性6 易知易知 x0也是方程也是方程(4-2)的平衡点的平衡点. (4-2)的通解为的通解为,e)(0)(0 xCtxtxf关于关于x0是否稳定有以下结论：是否稳定有以下结论： 若若, 0)(
4、0 xf则则x0是稳定的；是稳定的； 若若则则x0是不稳定的是不稳定的. ., 0)(0 xf这个结论对这个结论对于于(4-1)也是也是成立的成立的.一阶微分方程模型平衡点的稳定性7)34().,(dd),(ddyxgtyyxftx代数方程组代数方程组. 0),(, 0),(yxgyxf的实根的实根x = x0, y = y0称为方程称为方程(4-3)的的平衡点平衡点, 记作记作P0 (x0, y0). 它也是方程它也是方程(4-3)的解的解.微分方程组的平衡点的稳定性8如果如果,)(lim,)(lim00ytyxtxtt则称平衡点则称平衡点P0是是稳定稳定的的.微分方程组的平衡点的稳定性9
5、下面给出判别平衡点下面给出判别平衡点P0是否稳定的是否稳定的判别准则判别准则. 设设00()(),f Pg Ppxy 0000()()()()f Pf Pxyqg Pg Pxy 则当则当p0且且q0时，平衡点时，平衡点P0是稳定的；是稳定的； 当当p0或或q0时，平衡点时，平衡点P0是不稳定的是不稳定的.微分方程组的平衡点的稳定性10稳定性模型稳定性模型建模目的是研究时间充分长以后过程的变建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势化趋势 平衡状态是否稳定。平衡状态是否稳定。不求解微分方程，而是用微分方程稳定性不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。理论研究平衡状态的稳定性
6、。11 再生资源（渔业、林业等）与非再生再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）资源（矿业等） 再生资源应适度开发再生资源应适度开发在持续稳产在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。前提下实现最大产量或最佳效益。问题问题及及 分析分析 在在捕捞量稳定捕捞量稳定的条件下，如何控制捕的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，如果使捕捞量等于自然增长量，渔场渔场鱼量将保持不变鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。，则捕捞量稳定。背景背景实例： 捕鱼业的持续收获12ExNxrxxFtx)1 ()()( )1()()(Nxrxxftx)()()(xh
7、xfxF 记记假设假设 无捕捞时鱼的自然增长服从无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模建模 捕捞情况下渔场鱼量满足捕捞情况下渔场鱼量满足r固有增长率固有增长率, N最大鱼量最大鱼量h(x)=Ex, E捕捞强度捕捞强度x(t) 渔场鱼量，渔场鱼量，产量模型产量模型130)( xF0),1(10 xrENxErxFrExF )(,)(10平衡点平衡点稳定性判断稳定性判断0)(, 0)(10 xFxFrE0)(, 0)(10 xFxFrEx0 稳定稳定, 可得到稳定产量可得到稳定产量x1 稳定稳定, 渔场干枯渔场干枯E捕捞
8、强度捕捞强度r固有增长率固有增长率不稳定稳定10,xx稳定不稳定10,xx产量模型产量模型14图解法图解法)()()(xhxfxF)1()(NxrxxfExxh)(0)( xFP的横坐标的横坐标 x0平衡点平衡点2/*0*rxhEm y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的纵坐标的纵坐标 h产量产量)4/, 2/(*0*rNhNxPm 产量最大产量最大f 与与h交点交点P稳定0 xrEhmx0*=N/2P*y=E*x控制渔场鱼量为最大鱼量的一半控制渔场鱼量为最大鱼量的一半产量模型最大产量产量模型最大产量15cErEpNEESETER)1 ()()()()1(4222NpcrN
9、hR cEpExSTR效益模型效益模型假设假设 鱼销售价格鱼销售价格p 单位捕捞强度费用单位捕捞强度费用c 单位时间利润单位时间利润)/1 (0rENx稳定平衡点稳定平衡点求求E使使R(E)最大最大)1(2pNcrERpcN22 )1(rENxRR 渔场渔场鱼量鱼量2*rE收入收入 T = ph(x) = pEx支出支出 S = cE16对于对于k阶差分方程阶差分方程F( n; xn, xn+1, , xn+k ) = 0 (4-6)若有若有xn = x (n), 满足满足F(n; x(n), x(n + 1) , , x(n + k ) = 0,则称则称xn = x (n)是差分方程是差分方
10、程(4-6)的的解解, 包含包含k个任个任意常数的解称为意常数的解称为(4-6)的的通解通解, x0, x1, , xk-1为已为已知时称为知时称为(4-6)的的初始条件初始条件,通解中的任意常数都通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为由初始条件确定后的解称为(4-6)的的特解特解.差分方程模型17 若若x0, x1, , xk1已知已知，则形如则形如xn+k = g(n; xn, xn+1, , xn+k-1 )的差分方程的解可以在计算机上实现的差分方程的解可以在计算机上实现. 若有常数若有常数a是差分方程是差分方程(4-6)的解的解，即即F (n; a, a, , a ) = 0,则称
11、则称 a是差分方程是差分方程(4-6)的的平衡点平衡点. 又对差分方程又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的任意由初始条件确定的解的解 xn= x(n)都有都有xna (n), 则称这个平衡点则称这个平衡点a是是稳定稳定的的.差分方程模型18 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中其中a, b为常数，且为常数，且a -1, 0)的通解为的通解为xn=C(- - a) n + b/(a + 1) 易知易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当是其平衡点，由上式知，当且仅当且仅当|a|1时，时，b/(a +1)是稳定的平衡点是稳定的平衡点. 差分方
12、程模型19 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程xn+2 + axn+1 + bxn = r,其中其中a, b, r为常数为常数. 当当r = 0时，它有一特解时，它有一特解x* = 0； 当当r 0，且，且a + b + 1 0时，它有一特解时，它有一特解x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形，不管是哪种情形，x*是其平衡点是其平衡点. 设其特征设其特征方程方程 2 + a + b = 0的两个根分别为的两个根分别为 = 1, = 2. 差分方程模型20 当当 1, 2 是两个不同实根时，是两个不同实根时，二阶常系二阶常系数线性差分数线性差分方程的通解为方程的通解为xn=
13、 x*+ C1( 1)n + C2( 2)n ; 当当 1, 2= 是两个相同实根时，是两个相同实根时，二阶常系二阶常系数线性差分数线性差分方程的通解为方程的通解为xn= x* + (C1 + C2 n) n; 则则差分方程模型21 当当 1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根是一对共轭复根时，时，二阶常系数线性差分二阶常系数线性差分方程的通解为方程的通解为xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知，当且仅当特征方程的任一特征根易知，当且仅当特征方程的任一特征根 | i |1时时, 平衡点平衡点x*是稳定的是稳定的. 差分方程模型22对于一阶非线性差分
14、方程对于一阶非线性差分方程xn+1 = f (xn )其平衡点其平衡点x*由代数方程由代数方程x = f (x)解出解出. 为分析平衡点为分析平衡点x*的稳定性的稳定性, 将上述差分方程近将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程似为一阶常系数线性差分方程*),(*)*)(1xfxxxfxnn1|*)(| xf时时, ,上述近似线性差分方程与上述近似线性差分方程与原原非线性差分方程的非线性差分方程的稳定性相同稳定性相同. . 因此因此当当时时, , x*是稳定的；是稳定的；当当1|*)(| xf时时, , x*是不稳定的是不稳定的. .当当1|*)(| xf差分方程模型23问问 题题供大于求供
15、大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡市场经济中的蛛网模型24gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(
16、x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy模型建立25设设x1偏离偏离x032211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk 蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP 稳定性分析26xy0fgy0 x0P0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P1P2P3P4gfKKxy0y0 x0P0fggfKK曲线斜率曲线斜率稳定性分析27)(kkxfy )(1
17、kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致稳定性分析28)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位, 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格
18、的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释291. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直结果解释政府干预302/ )(0101yyyxxkkk 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一
19、时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程)(1kkyhx211kkkyyhx模型的推广3148)(22, 1方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定平衡点稳定的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1x0为平衡点为平衡点 研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件模型的推广32
