1、1 二重积分的概念 2 直角坐标系下二重积分的计算 3 3 格林公式曲线积分与路线的无关性 4 4 二重积分的变量变换 5 三重积分 6 重积分的应用 1一一、 平面图形的面积平面图形的面积二二、 二重积分的定义及其存在性二重积分的定义及其存在性三、二重积分的性质三、二重积分的性质一 平面图形的面积1.内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念0(1)PPIITsTSPP （2） ,21PPITs22PPITS(3) TsTsPP1 TSTSPP2于是由（3）可得 ,2PPITs 2PPITS TsTSPP使得（2）式成立但 TSIITsPPPP所以 TsTSIIPPPP TSP 定理212 平面
2、有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界K的面积为零 证 由定理211，P可求面积的充要条件是： TsTSPP由于 TSK TsTSPP还可证明得到： 柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积二 二重积分的定义及其存在性播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示解：解：对区域对区域D进行网状分割（如图）进行网状分割（如图）ninD, )121，个小区域：个小区域：可分割成可分割成区域区域曲顶柱体的体积曲
3、顶柱体的体积 一曲顶柱体其顶为曲面一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平底面为平面区域面区域 D,求此曲顶柱体的体积求此曲顶柱体的体积。),(yxfz xzyoD),(yxfz i),(ii.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积3）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体）求和：所有小区域对应小曲顶柱体体 积之和为积之和为4）取极限：）取极限： niiiifV10,lim2）近似：）近似： 每个个小区域每个个小区域i内任取一点内任取一点),(ii则每个小曲顶柱体的体积近似为：则每个小曲顶柱体的体积近似为：iiiifV).,( niiiiniifV11),(其中其中的直径ini1max2
4、 平面薄片的质量平面薄片的质量2）取点）取点3）作和）作和4）取极限）取极限iii, niiiirLimM10,ninD, )121，个小区域：个小区域：可分割成可分割成区域区域设平面薄片占有设平面薄片占有xoy面上的区域为面上的区域为D，它在点，它在点（ x , y )处的密度为处的密度为求：此薄片的质量求：此薄片的质量),(yxrniiiir1,xyoi),(ii3.二重积分的概念如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值 趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的 极极限限存存在在，则则 称称此此极极限限为为函函 数数),(yxf在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重
5、重积积分分，记记为为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .注：注： 1） 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分的划分是任意的，故是任意的，故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域jx则则kjiyx 故在直角坐标系中，故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域i的边长为的边长为,ky和和行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，则除了包含，0 xyDjxiky直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素
6、d图示图示 Ddxdyyxf),(,dxdyd Ddyxf,2 ）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数）由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数),(yxf在在D上的二重积分上的二重积分,),(DdyxfV平面薄片的质量是面密度平面薄片的质量是面密度),(yx在薄片所占闭区域在薄片所占闭区域D上的上的二重积分：二重积分：.),(DdyxM3 ） 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：（1）如果）如果,0,yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,解释解释为曲顶柱体的体积。为曲顶柱体的体积。（2）如果）如果,0,yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,解释解释为曲顶柱体体积的负值。为曲顶柱体
7、体积的负值。（3）如果）如果 ,既既有有正正又又有有负负yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,解释为曲顶柱体体积的代数和。解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中（其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）面下方柱体的体积取负）。例：用定义计算二重积分 1 , 0; 1 , 02ydx解：用直线网 ),1 ( , , njinjynix分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .ninjnninjnDjinnnnjni11251121lim11limninnjnnnnnnnji1512612) 1() 12)(1(611limlim4. 可积条件可
8、积条件 : 可积的必要条件： 上和与下和： n,1令 yxfMiyxi,sup,yxfmiyxi,inf,ni, 1 NIiiMTS NIiimTs TST0lim TsT0lim=定理216 有界闭区域D上的连续函数必可积nLL,1lllnW2221122TsTS 又记 yxfMyx,sup,yxfmyx,inf, WWmWMTsTSTsTS22ll1性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质性质
9、对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有例例1 比较下列积分的大小：比较下列积分的大小：1）Ddyx2)(与与Ddyx3)(其中其中D:2) 1()2(22yx0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在区域解：在区域 D内，显然有内，显然有, 1 yx故在故在D内内32)()(yxyx DDdyxdyx32)()( ,其中
10、区域其中区域 D为为顶点为顶点为A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形闭区域。的三角形闭区域。2） DDdyxdyx2)ln( )ln(与与解：解：BC的方程的方程 x+y=2D内内1y)ln(x0 , 21 yx DDdyxdyx2)ln()ln(所以所以A(1,0)B(2,0)B(1,1)性质性质6（估值定理）（估值定理） 设在设在D上上f(x,y)的最大值为的最大值为M，最，最小值为小值为m，A为为D的面积，即的面积，即Mxfm )(则则MAdyxfmAD ),(证明：证明：因为因为Mxfm )(由性质由性质5 DDDMddyxfmd),(MAdyxfmAD ),(所以所以例例2
11、20 , 10 ,)1( yxDdyxID是矩形闭区域：是矩形闭区域：其中其中解：解：在在D内的最大值为内的最大值为4，最小值为，最小值为1区域区域D的面积为的面积为2所以由性质所以由性质6得得812Ddyx )( , )1f x yxy性质性质7(中值定理中值定理),(yxf设设函函数数D连续，连续，为为之面积之面积,则在则在D上至少存在一上至少存在一),(使得：使得： ).,(,fdyxfD证明：由性质证明：由性质6得，得， DMdyxfm),(1点点在闭区域在闭区域根据据闭区域上连续函数的介值定理，在根据据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少上至少存在一点存在一点),(Ddyxff),
12、(),( 1使使得得即即Dfdyxf ),(),(在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 , ab区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122
13、yxrdxdyyx.解解二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积
14、分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、
15、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示2 复习：曲顶柱体的体积复习：曲顶柱体的体积求以曲面求以曲面 为顶，底面为矩形为顶，底面为矩形 的曲顶柱体的体积的曲顶柱体的体积。)0),(),(yxfyxfz,;,dcbayxzOabcd),(yxfz i),(iiiiiifV),(yxzOabcd),(yxfz 取极限求和近似代替分割
16、分割近似代替 求和取极限niiiiniifVV11),(niiiidfV10),(lim求曲顶柱体体积步骤如下：求曲顶柱体体积步骤如下： 分割分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块,;,dcban,21其面积仍记为 。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为n,21nVVV,21 近似代替：近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即),(iiiMiViiiifV),( 求和求和：把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值niiiiniifVV11),(取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式
17、的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：,;,10),(),(limdcbaniiiiddxdyyxffV 取极限取极限：记 在和式中令,max1的直径inid0d 由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为 ，则此立体的体积为ax bx x)(xsbadxxsV)()(xsabx化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分yxzOabcd)(xS作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为)(xSx立体位于平面
18、与平面 之间，ax bx 则曲顶柱体体积为badxxsV)(x而 就是平面 上， 由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以)(xSxX ),(yxfz 0,zdycydcdyyxfxS),()(从而 dcbabadcbadyyxfdxdxdyyxfdxxsV),(),()(因此dcbadcbadyyxfdxdxdyyxf),(),(,;,badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(,;,类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得y从上面的分析，可以得到下列结果：badcdcbadcbadxyxfdydyyxfdxdxdyyxf),(),(),(,;,dcbadcba
19、dyyxfdxdxdyyxf),(),(,;,定理定理21.8 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,;,dcba),(yxf,baxdcdyyxfxF),()(badcdcbadxyxfdydxdyyxf),(),(,;,设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,;,dcba),(yxf,dcybadxyxfyJ),()(类似地可以给出先对 后对 积分的结果：yx设 在矩形 上连续，则dcbabadcdcbadyyxfdxdxyxfdydxdyyxf),(),(),(,;,;,dcba),(yxf我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9 前面讨论了矩形区域上的二重
20、积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。),()(| ),(21bxaxyyxyyxDyx)(2xyy )(1xyy ab这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。x这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。yx第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即)(),(21xyyxyybxax ,)()(21),(),(xyxybaDdyyxfdxdxdyyxf作包含此积分区域的矩形,;,dcba令DyxDyxyxfyxF),(, 0),(),(),(于是)()(,;,21),(),
21、(),(),(xyxybadcbadcbaDdyyxfdxdyyxFdxdxdyyxFdxdyyxfyx)(2xyy )(1xyy abcdx),()(| ),(21dycyxxyxyxD第二种情形：积分区域 D 由曲线及直线围成，即)(),(21yxxyxxdycy ,)()(21),(),(yxyxdcDdxyxfdydxdyyxf这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。yx)(1yxx )(2yxx ydcxo这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。y第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上
22、述两种情形求解。yx1D2D3D4D X型区域的特点型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.xy 1例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解积分区域
23、如图积分区域如图xy 222xxy 例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a例例 4 4 求求 Ddxdyyx)(2，其中，其中D是由抛物线是由抛物线2xy 和和2y
24、x 所围平面闭区域所围平面闭区域.解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为为顶顶点点的的三三角角形形. dyey2无法用初等函数表示无法用初等函数表示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 例例 6 6
25、 计计算算积积分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解解 dxexy不不能能用用初初等等函函数数表表示示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例 7 7 求由下列曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.zyxo, 10 yx,xyyx 所求体积所求体积 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所所围围立立体体在在xoy面面上上的的
26、投投影影是是例8 求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V. 解 设这两个直交圆柱面的方程为： 由图形的对称性 =8=8=8=二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，并并设设Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考题思考题 1)(xdyyf不能直接积出不能直接积出,改改变变积积分分次次序序. 令令 110)(
27、)(xdyyfxfdxI,思考题解答思考题解答则原式则原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxf故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 3 一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类二、格林公式二、格林公式三、简单应用三、简单应用四、曲线积分与路径无关的定义四、曲线积分与路径无关的定义一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平
28、面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD 设空间区域设空间区域G, , 如果如果G内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于G, , 则称则称G是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面的曲面, , 则称则称G为空间一维单连通区域为空间一维单连通区域. .GGG一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的
29、曲线L围围成成, ,函数函数),(),(yxQyxP及及在在D上具有一阶连上具有一阶连续偏导数续偏导数, , 则有则有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( (1) (1)其中其中L是是D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .二、格林公式定理定理1 1连成连成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型
30、,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 若若区区域域D由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成. .如如图图, ,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1
31、D2D3D两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段ABAB, ,CECE. .则则
32、D的边界曲线由的边界曲线由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA构成构成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对DLLL便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyoL例例 1 1 计算计算 ABxdy,其中曲其中曲线线AB是半径为是半径为r的
33、圆在的圆在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入辅辅助助曲曲线线L,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式
34、式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e例例3 3 计算计算 Lyxydxxdy22, ,其中其中L为一条无重点为一条无重点, ,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, ,L的方的方向为逆时针方向向为逆时针方向. .则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,L( (1 1) ) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxy
35、dxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 lLyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得
36、 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积曲线曲线AMO由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积. .解解ONA为为直直线线0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM其中其中L是曲线是曲线| |x|+|+|y|=1|=1围成的区域围成的区域D的正向边界。的正向边界。11- -1- -1LDyxO格林公式的应用格林公式的应用 （格林公
37、式）（格林公式） 从从 证明了证明了： 练习练习1 1 计算积分计算积分 Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(解解 Dxycose(yxyxdd)1cose 222 A DyxyPxQdd LyyxQxyxPd),(d),( Lxxyyxyyd)1cose(d)sine(练习练习2 2求星形线求星形线tytxL33sin,cos ：所界图形的面积。所界图形的面积。解解 DyxAdd Lyxd 2064dcoscos12ttt 2024dsincos3t tt8322143652214312 yxODL11- -1- -1重要意义：重要意义： 1.1.它它建立了建立了二重积分二重积分与
38、与曲线积分曲线积分的一种等式关系的一种等式关系2.2.它它揭示了揭示了函数在区域函数在区域内部内部与与边界边界之间的内在联系之间的内在联系4.4.它的应用范围可以它的应用范围可以突破突破右手系的限制，使它的右手系的限制，使它的应用应用 3.3.从它出发，可以从它出发，可以导出导出数学物理中的数学物理中的许多重要公式许多重要公式更加广泛更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。，而这只需要改变边界的正向定义即可。 DyxyPxQdd 1LQdyPdx四、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx如果对于区域如果对于区域 G 内任意指定的两点内任意指定的两点 A、B 以及以及 G 内内从点从点
39、A 到点到点 B 的任意两条曲线的任意两条曲线 L1，L2 有有 GyxoBA1L2L 1LQdyPdx 2LQdyPdx. 0 LQdyPdx)(21LLL ( )( ,)( ,)0LiDLP x y dxQ x y dy 沿内 任 一 按 段 光 滑 封 闭 曲 线 ， 有( )( ,)( ,),;LiiDLP x y dxQ x y dyL 对 内任一按段光滑曲线 ，曲线积分与路线无关 只与 的起点及终点有关xQyPARBQdyPdxASBQdyPdxARBQdyPdxBSAQdyPdxARBSAQdyPdx=0所以 ARBQdyPdx=ASBQdyPdx,ABu x yPdxQdy,A
40、CABu xx yu x yPdxQdyPdxQdyBCPdxQdy,BCuu xx yu x yPdxQdy ,xxxPdxQdyP xx yx xuyxxPxuxx,limlim00yxP,= = ,.uQ x yy同理可证因此.duPdxQdy,.P x yu x yQ x yu x yxy所以因此22,.PuQuyx yxy x 22.uux yy x .PQyx.D于是，在于是，在 内内.PQyx应用格林公式，有应用格林公式，有 dyPxQdyyxQdxyxPDC )(),(),(. 0 LdyyxQdxyxP),(),(与路径无关与路径无关., xQyP 若若 ),(),(1100
41、yxByxAQdyPdxdyyxQdxyxPyyxx),(),(101010 ),(01yxC ),(11yxB ),(00yxA dxyxPdyyxQxxyy),(),(101010 或或xyoL LQdyPdx 则则CBAC ),(10yxDADDB与路径无关与路径无关解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。.2),( ,),( yxeyxQxeyxPyy 设设则则 P，Q 在全平面上有在全平面上有连续的一阶偏导数，且连续的一阶偏导数，且,yeyP .yexQ . xQyP 即即oxy112全平面是单连通域。全平面是单连通域。oxy112取一简单路径：取一简单路径：L1 + L2.
42、1L2L. 10: , 0 :1 xyL. 20: , 1 :2 yxL Lyydyyxedxxe)2()( 21)2()()2()(LyyLyydyyxedxxedyyxedxxe 20100)21()(dyyedxxey.272 e因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。,yeyP .yexQ . xQyP 即即全平面是单连通域。全平面是单连通域。解解因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。. xQyP 即即oxy11.),( ,2),( 422yxyxQxyxyxP 设设则则 P，Q 在全平面上有连续的在全平面上有连续的一阶偏导数，且一阶偏导数，且,2xyP .2xxQ 全平面是
43、单连通域。全平面是单连通域。oxy11 1010422)1()02(dyydxxx .1523 因此，积分与路径无关。因此，积分与路径无关。. xQyP 即即,2xyP .2xxQ 全平面是单连通域。全平面是单连通域。取一简单路径：取一简单路径：L1 + L2. 10: , 0 :1 xyL. 10: , 1 :2 yxL1L2L Ldyyxdxxyx)()2(422 21)()2()()2(422422LLdyyxdxxyxdyyxdxxyxxyo) ,(yxB ),(00yxA GdyyxQdxyxPyxuyyxx),(),(),(000 dxyxPdyyxQyxuxxyy),(),(),
44、( 000 或或CBAC DBAD ),(0yxC ),(0yxD解解,2)(2xyxyyyP .2)(2xyyxxxQ ,),(2xyyxP .),(2yxyxQ 例例7 验证：在验证：在 xoy 面内，面内，ydyxdxxy22 是某个函数是某个函数u (x, y) 的全微分，并求出一个这样的函数。的全微分，并求出一个这样的函数。这里这里且且在整个在整个 xoy 面内恒成立。面内恒成立。xQyP 即，即，因此，在因此，在 xoy 面内，面内，ydyxdxxy22 是某个函数是某个函数u (x, y) 的全微分。的全微分。dyyxdxxyxuyx 0),(0202 . 0 , 0 00 yx
45、取取.222yx 积积分分与与路路径径无无关关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(五、小结与与 路路 径径 无无 关关 的的 四四 个个 等等 价价 命命 题题
46、条条件件 LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线 , 0)2(QdyPdxduyxUD ),()3(使内存在在xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题作业：作业：P231: 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7. 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题思考题解答思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFE4 一、一、 二重积分的变量变换公式
47、二重积分的变量变换公式二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分一一 二重积分的变量变换公式二重积分的变量变换公式则区域的面积 D= dttytxxdyDL dttvvytuuytvtux,=（6） =（7） =Ldvvyvuxduuyvux,令 uyvuxvuP,vyvuxvuQ, D=dudvvPuQuvyvuy22因此 vPuQ=vuJ,于是 DdudvvuJ,= D=dudvvuJ,vuJ,vuyx,= 0， 则Ddxdyyxf, dudvvuJvuyvuxf,=( , ):( , ),( , )(1) ( , ), ( , )( , )(2)( , )0;( , )(3
48、):( , ) ( , ), ( , )( , )Df x yxoyDTxx u vyy u vuovDxoyDx u vy u vDx yDJ u vu vT DDf x y dxdyf x u vy u vJ u v dudv定理21.13设在平面上的闭区域上连续，变换将平面上的闭区域变为平面上的，且满足在上具有一阶连续偏导数；在上雅可比式变换是一对一的，则有.D例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;
49、0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 eeDdxdy=作变换 vuyvux,2vuJ,=4vu DDdxdydudvvu4duvudvnm4333326 mn=例例3 3解解所围成所围成及及由由其中其中计算计算00, 1.)cos( yxyxDdxdyyxyxID,yxvyxu 令令.2,2uvyvux 则则,DD Dxyo1 yxD uvovu vu 1 v. 11;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121 Ddu
50、dvJvuIcos故故 vvduvudvcos2110. 1sin211sin22110 vdv. drdrd Ddxdyyxf),(二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分面积元素面积元素. drdrdxdy 或或i i ii iirrr AoDirr .)sin,cos( Drdrdrrf . )sin ,cos()()(21 drrrrfd Drdrdrrf )sin ,cos(二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rADo )(2 r)(1 r Ddxdyyxf),(D：区域特征如图区域特征如图, ).(
