1、 引入：引入：前面我们已经学习和掌握了排列组合问题前面我们已经学习和掌握了排列组合问题的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方的求解方法，下面我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。法的基础上，学习和讨论排列、组合的综合问题。和应用问题。和应用问题。 问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注问题：解决排列组合问题一般有哪些方法？应注意什么问题？意什么问题？ 解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，解排列组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用根据加法原理，可用分类法分类法；当问题考虑先后次序；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用时，根据乘法
2、原理，可用特殊特殊位置法、特殊元素法位置法、特殊元素法；上述两种称上述两种称“直接法直接法”,当问题的反面简单明了时，当问题的反面简单明了时，可通过求差排除法可通过求差排除法,采用采用“间接法间接法”；另外，排列中；另外，排列中“相邻相邻”问题可采用问题可采用捆绑法捆绑法；“分离分离”问题可用问题可用插插空法、定序问题倍缩法空法、定序问题倍缩法等。等。解排列组合问题，一定要做到解排列组合问题，一定要做到“不重不重”、“不漏不漏”。分为三组，一组分为三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，甲组分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组人，乙组4人，丙组人，丙组3人；人
3、；分为甲、乙、丙三组，一组分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组人，一组4人，一组人，一组3人；人；分为甲、乙、丙三组，每组分为甲、乙、丙三组，每组4人；人；分为三组，每组分为三组，每组4人。人。例例1：有有12 人。按照下列要求分配，求不同的分法种人。按照下列要求分配，求不同的分法种数。数。C125.C74.C33 C125.C74.C33 C125.C74.C33.A33C124.C84.C44分成三组，其中一组分成三组，其中一组2人，另外两组都是人，另外两组都是 5人。人。C122.C105.C55 A22 C124.C84.C44 A33一、分配问题一、分配问题 小结小结：练习练习1说明了
4、非平均分配、平均分配以及部分平说明了非平均分配、平均分配以及部分平均分配问题。均分配问题。 1.非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样非平均分配问题中，没有给出组名与给出组名是一样的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，的，可以直接分步求；给出了组名而没指明哪组是几个，可以在可以在没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）没有给出组名（或给出组名但不指明各组多少个）种数的基础上种数的基础上乘以乘以组数的全排列数。组数的全排列数。 2.平均分配问题中，平均分配问题中，给出组名的分步求；给出组名的分步求；若没给出组名的，若没给出组名的，一定要在给出组名的基础上一定要在给出组名的
5、基础上除以除以组数的全排列数。组数的全排列数。 3.部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是部分平均分配问题中，先考虑不平均分配，剩下的就是 平均分配。这样分配问题就解决了。平均分配。这样分配问题就解决了。结论结论：给出组名：给出组名(非平均中未指明非平均中未指明各组个数）的要在未给出组名的种各组个数）的要在未给出组名的种数的基础上，乘以组数的阶乘。数的基础上，乘以组数的阶乘。 例例2：某乒乓球队有某乒乓球队有8男男7女共女共15名队员，现进名队员，现进行混合双打训练，两边都必须要行混合双打训练，两边都必须要1男男1女，共有多女，共有多少种不同的搭配方法。少种不同的搭配方法。 分析：每
6、一种搭配都需要分析：每一种搭配都需要2男男2女，所以先要选女，所以先要选出出2男男2女，有女，有C82.C72种；种； 然后考虑然后考虑2男男2女搭配女搭配。 先排男队员、再排女队员，所以总的先排男队员、再排女队员，所以总的搭配方法有搭配方法有 种。种。二、二、搭搭 配配 问问 题题先组后排先组后排222872CCA例例3. 高一要从全年级高一要从全年级10名独唱选手中选出名独唱选手中选出6名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都名在歌咏会上表演，出场安排甲，乙两人都不唱中间两位的安排方法有多少种？不唱中间两位的安排方法有多少种？611524824848(AC A AA A种）三三.有条件限制的
7、排列问题有条件限制的排列问题 例例4：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。个数。四、有条件限制的组合问题：四、有条件限制的组合问题： 解法解法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类：个元素中至少有两个是偶数可分成三类：2个偶数，个偶数，3个奇数；个奇数；3个偶数，个偶数，2个奇数；个奇数；4个偶数，个偶数，1个奇数。所以共有子集个数为个奇数。所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105 解法解法2：从反面考虑，全部子集个数为从反面考虑，全部子集个数为
8、C95，而不符合条件，而不符合条件的有两类：的有两类： 5 个都是奇数；个都是奇数；4个奇数，个奇数，1个偶数。所以个偶数。所以共有子集个数为共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105下面解法错在哪里下面解法错在哪里? 例例4：已知集合已知集合A=1，2，3，4，5，6，7，8，9求含有求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数。 至少有两个偶数，可先由至少有两个偶数，可先由4个偶数中取个偶数中取2个偶数，个偶数，然后再由剩下的然后再由剩下的7个数中选个数中选3个组成个组成5个元素集合且满足至个元素集合且满足至少有少有2个是偶数。成
9、以共有子集个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个个) 用用“具体排具体排”来看一看是否重复，如来看一看是否重复，如C42中的一种选法是：选中的一种选法是：选4个偶数中的个偶数中的2，4，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素不个元素不6，1，3组成集组成集合合2，4，6，1，3，；再看另一种选法：由；再看另一种选法：由C42 中选中选4个偶数中个偶数中的的4，6，又，又C73中选剩下的中选剩下的3个元素选个元素选2，1，3组成集合组成集合4，6，2，1，3。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原。显然这是两个相同和子集，所以重复了。重复的原因是分类不独立。因是分类不独立。五、
10、排列组合混合问题：五、排列组合混合问题： 例例5：从从6名男同学和名男同学和4名女同学中，选出名女同学中，选出3名男同名男同学和学和2名女同学分别承担名女同学分别承担A，B，C，D，E5项工作。项工作。一共有多少种分配方案。一共有多少种分配方案。 解解1：分三步完成，分三步完成，1.选选3名男同学有名男同学有C63种，种，2.选选2名女同学有名女同学有C42种，种，3.对选出的对选出的5人分配人分配5种不同的种不同的工作有工作有A55种，根据乘法原理种，根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种种). 解解2：把把工作当作元素，同学看作位置工作当作元素，同学看作位置，1.从从5种工作中
11、任选种工作中任选3种（组合问题）分给种（组合问题）分给6个男同学中的个男同学中的3人（排列问题）有人（排列问题）有C53.A63种种,第二步第二步,将余下的将余下的2个工作分给个工作分给4个女同学中的个女同学中的2人有人有A42种种.根据乘根据乘法原理共有法原理共有C53.A63. A42=14400(种种). 亦可先分配给女同学工作亦可先分配给女同学工作,再给男同学分配工作再给男同学分配工作,分配方案有分配方案有C52 . A42.A63=14400(种种).2 21 11 11 18 82 27 77 72 2( (A A + +C C C C C C ) )1 12 27 77 7C C
12、 A A2 21 11 11 18 82 27 77 72 2( (A A+ + C C C C C C ) )1 12 27 77 7C C A A 六、化归策略六、化归策略 例例7、 25人排成人排成55方阵方阵, 现从中选现从中选3人人, 要求要求3人不在人不在 同一行也不在同一列同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？不同的选法有多少种？ 变式变式7 ：某城市的街区由某城市的街区由12个全等的矩形区组成其个全等的矩形区组成其中实线表示马路中实线表示马路, 从从A走到走到B的最短路径有多少种的最短路径有多少种? BA3311155321C C C C C3735C 8.在一个圆周上均匀分
13、布着20个点，每两点连一弦，共有多少条？这些弦中有多少个交在例园内的点？420CACBD七、错位排列七、错位排列例例9. 编号为编号为1至至6的的6个小球放入编号为个小球放入编号为1至至6的的6个个盒子里盒子里,每个盒子放一个小球每个盒子放一个小球,其中恰有其中恰有2个小球与盒个小球与盒子的编号相同的放法有子的编号相同的放法有_种种.解：解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有选取编号相同的两组球和盒子的方法有 26C种种,其余其余4组球与盒子需错位排列有组球与盒子需错位排列有9种放法种放法.故所求方法有故所求方法有 159135种种.269C 练习练习1：4位同学各写了一张明信片，然后统一收
14、位同学各写了一张明信片，然后统一收齐放到盒子里，每位同学再去抽取一张，问他们齐放到盒子里，每位同学再去抽取一张，问他们均不拿到自己的有多少种拿法？均不拿到自己的有多少种拿法？ 练习练习2 用三种不同的颜色填涂如用三种不同的颜色填涂如图图33方格中的方格中的9个区域，要求每行个区域，要求每行每列的三个区域都不同颜色，则不同每列的三个区域都不同颜色，则不同的填涂方法有多少种？的填涂方法有多少种？ 解：解： 第一行的涂法种数是第一行的涂法种数是33A 第二行的涂法相当于三个元素的错位排列，涂法种数是第二行的涂法相当于三个元素的错位排列，涂法种数是 2 第三行只有第三行只有1种涂法种涂法共有共有 种种
15、332 112A 八、分类组合八、分类组合,隔板处理隔板处理例例10、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每校至少有每校至少有1人人,这样有几种选法这样有几种选法?分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理.解解:采用采用“隔板法隔板法” 得得:5294095C练习：练习： 1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，个不同的班级，每班至少分到每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方
16、法？个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有步走完，则有多少种不同的走法？多少种不同的走法？4735C 10168008C 3.xy z11,x,y,z 已知方程问共有多少组正整数解？21045C 巩固练习巩固练习 1. 4名优等生被保送到名优等生被保送到3所学校，每所学校，每所学校至少得所学校至少得1名，则名，则不同的保送方案总数为（不同的保送方案总数为（ ）。）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 2.若把英语单
17、词若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误的种数是（出现的错误的种数是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 3.小于小于50000且含有两个且含有两个5，而其它数字不重复的五位数，而其它数字不重复的五位数有（有（ ）个。）个。 （A) (B) (C) (D) 282414CCC282414ACC442814ACC282414AAAABB2343C A3252C1A 4.某城新建的一条道路上有某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能
18、影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）（A） 种（种（B） 种种 （C） 种种 （D） 种种38C38A39C311CA5. 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品,一一进行一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测次测试时全部发现试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？则这样的测试方法有种可能？解：解：由题意知前由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且
19、第5次测试是次测试是次品。故有：次品。故有： 种可能。种可能。314464576C C A 6.有四同学在同一天的上、下参加有四同学在同一天的上、下参加“身高与体重身高与体重”、“立定跳立定跳远远”、“肺活量肺活量”、“握力握力”、“台阶台阶”五个项目的测试，每五个项目的测试，每位同学上、下各测试一个项目，且不重复。若上午不测位同学上、下各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力握力”项目，下午不测项目，下午不测“台阶台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一项目，其余项目上、下午都各测试一人。则不同的安排方式有人。则不同的安排方式有_种？种？分析：分析：上午测试安排方式有上午测试安排方式有44A
20、下午测试方式分为：下午测试方式分为：（1）若上午测试）若上午测试“台阶台阶”的同学下午测试的同学下午测试“握力握力”的安排的安排方方式：式：2（2）若上午测试）若上午测试“台阶台阶”的同学下午不测试的同学下午不测试“握力握力”的安排的安排方式：方式：9264上午项目：上午项目： “身高与体重身高与体重”、“立定跳远立定跳远”、 “肺活量肺活量”、 “台阶台阶”下午项目：下午项目： “身高与体重身高与体重”、“立定跳远立定跳远”、 “肺活量肺活量”、 “握力握力”442+9 =24 11=264A共有： （）7. 5名乒乓球队员中，有名乒乓球队员中，有2名老队员和名老队员和3名新队员现从名新队员
21、现从中选出中选出3名队员排成名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有号中至少有1名新名新队员的排法有队员的排法有_种种(以数字作答以数字作答)112322123233122):3648C AC C A解析：1)两老一新:C两新一老即共有种排法8、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名男生和名男生和1名女生名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛人参加，则有不同参赛方法方法_种种.解：采用先组后排方法解：采用
22、先组后排方法:312353431080CCCA9、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生体检所学校为学生体检,每每校分配校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方法共有多少种不同的分配方法共有多少种?解法一：边分边排：解法一：边分边排：223364540C C A解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士生和护士.5401)()(24122613CCCC 10. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。人按照下列要求分配，求不同的分法种数。(1)分为三组，每组分为三组，每组5人人,
23、共有共有_ 种种不同的分法。不同的分法。（2）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各人，另两组各4人人，共有，共有 _ 种不同的分法。种不同的分法。（3）分为甲、乙、丙三组，一组）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组人，一组5人，一组人，一组4人人， 共有共有 _种不同的分法。种不同的分法。11. 8名同学选出名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都名站成一排照相，其中甲、乙两人都不不 站站中间两位的排法有中间两位的排法有_种种。 12. 某班有某班有27名男生名男生13女生，要各选女生，要各选3人组成班委会和团人组成班委会和团 支部支部每队每队3人，人，3人中人中
24、2男男1女，共有女，共有 _ 种种 不同不同的选法。的选法。3355510515/ ACCC22334448715/ AACCC334459615ACCC222226331237124446AACAACCAC221224213427ACCCC例例2：求不同的排法种数。求不同的排法种数。6男男2女排成一排，女排成一排，2女相邻；女相邻； 6男男2女排成一排，女排成一排，2女不能相邻；女不能相邻；4男男4女排成一排，同性者相邻；女排成一排，同性者相邻；4男男4女排成一排，同性者不能相邻。女排成一排，同性者不能相邻。分析：分析： 由由2女捆绑成一人与女捆绑成一人与6男全排列男全排列,再把再把2女全排
25、列，女全排列， 有有A77.A22种种 “捆绑法捆绑法” 把把6男男2女女8人全排列，扣去人全排列，扣去 2 女女“ 相邻相邻”就是就是2女女“ 不相邻不相邻”，所以有，所以有A88-A77.A22种。种。“排除法排除法” 还可用还可用“插空法插空法”直接求解：先把直接求解：先把6男全排列，男全排列，再在再在6男相邻的男相邻的7个空位中排个空位中排2女，所以共有女，所以共有A66.A72种种.分分 离离 排排 列列 问问 题题思考思考:对于不相邻的分离排列能否都用对于不相邻的分离排列能否都用“排除法排除法”?若改若改5男男3女女排成一列排成一列,3女不相邻女不相邻,用排除法得用排除法得 对吗对
26、吗 ?22553388AAAA 4男男4女排成一列，同性者相邻，把女排成一列，同性者相邻，把4男、男、4女女捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所捆绑成一个排列，然后同性者之间再全排列，所在地共有在地共有A22.A44.A44种。种。“捆绑法捆绑法” 同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，同性不相邻必须男女都排好，即男奇数位，女偶数位，或者对调。女偶数位，或者对调。 总排列数为总排列数为A22.A44.A44种种。（一）（一）.有条件限制的排列问题有条件限制的排列问题 例例1：5个不同的元素个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。每次取全排列。a,e必须排在首位或末位，有多少种排法？
27、必须排在首位或末位，有多少种排法？a,e既不在首位也不在末位，有多少种排法？既不在首位也不在末位，有多少种排法？ a,e排在一起多少种排法？排在一起多少种排法？ a,e不相邻有多少种排法？不相邻有多少种排法？ a在在e的左边（可不相邻）有多少种排法？的左边（可不相邻）有多少种排法？ 解：解： （解题思路）分两步完成，把（解题思路）分两步完成，把a,e排在首末两排在首末两端有端有A22种，再把其余种，再把其余3个元素排在中间个元素排在中间3个位置有个位置有A33种。种。由乘法共有由乘法共有A22. A33=12(种种)排法。排法。优优先先法法 解：解： 先从先从b,c,d三个选其中两个三个选其中
28、两个排在首末两位，有排在首末两位，有A32种，然后把剩下的一个与种，然后把剩下的一个与a,e排在中间三个位置有排在中间三个位置有A33种，由乘法原理种，由乘法原理: 共有共有A32. A33=36种排列种排列.间接法：间接法： A55- 4A44+2A33（种）排法。（种）排法。 解：解：捆绑法：捆绑法：a,e排在一起，可以将排在一起，可以将a,e看成看成一个整体一个整体,作为一个元素与其它作为一个元素与其它3个元素全排列，有个元素全排列，有A44种；种； a,e两个元素的全排列数为两个元素的全排列数为A22种，由乘法原种，由乘法原理共有理共有A44. A22(种种)排列。排列。 解：解：排除
29、法：排除法：即用即用5个元素的全排列数个元素的全排列数A55，扣除，扣除a,e排在一起排列数排在一起排列数A44. A22，则，则a,e不相邻的排列总数不相邻的排列总数为为A55- A44. A22（种）（种）插空法插空法：即把：即把a,e以外的三个元素全排列有以外的三个元素全排列有A33种，种，再把再把a,e插入三个元素排定后形成的插入三个元素排定后形成的4个空位上有个空位上有A42种，由乘法原理共有种，由乘法原理共有A33. A42 (种种) 解解: a在在e的左边的左边(可不相邻可不相邻)，这表明，这表明a,e只有一种顺只有一种顺序，但序，但a,e间的排列数为间的排列数为A22，所以，可把，所以，可把5个元素全排个元素全排列得排列数列得排列数A55，然后再除以，然后再除以a,e的排列数的排列数A22。所以共。所以共有排列总数为有排列总数为A55 / A22（种）（种） 注意：若是注意：若是3个元素按一定顺序，则必须除以排列数个元素按一定顺序，则必须除以排列数 P33。
