1、.南华大学建资学院道桥教研室.结 构 力 学 讲 授： 刘华良课件制作： 刘华良南华大学建资学院道桥教研室衡阳 2005年.第八章 位移法 (Displacement Method).等截面直杆的物理方程位移法的基本概念位移法基本未知量数目的确定位移法的两种思路:位移法典型方程和直接平衡方程剪力静定杆的求算对称性的利用有侧移的斜柱刚架温度改变时的计算支座移动的计算本章小结本章小结弹性支座问题联合法和混合法课堂练习课堂练习.求解超静定结构的两种最基本的方法：力法力法位移法位移法 力法适用性广泛，解题灵活性较大。（可选用各种各样的基本结构）。 位移法在解题上比较规范，具有通用性，因而计算机易于实现
2、。位移法可分为：手算手算位移法位移法电算电算矩阵位移法矩阵位移法位移法的基本概念位移法的基本概念.力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法与位移法最基本的区别：基本未知量不同力法：以多余未知力多余未知力基本未知量位移法：以某些结点位移某些结点位移基本未知量.解题过程：超静定结构拆成基本结构加上某些条件原结构的变形协调条件（力法基本方程）力法：先求多余未知力结构内力结构位移力法和位移法的解题思路：.位移法：先求某些结点位移结构内力解题过程：结构拆成单根杆件的组合体加上某些条件1.杆端位移协调条件2.结点的平衡条件.适用范围：力法力法: 超静定结构超静定结构位移法：位移法： 超静定结构，也可用
3、于静定结构。超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点少而杆件较多的刚架。一般用于结点少而杆件较多的刚架。例：. 用位移法计算图示刚架。用位移法计算图示刚架。在受弯杆件中，略去杆在受弯杆件中，略去杆件的轴向变形和剪切变件的轴向变形和剪切变形的影响。形的影响。假定受弯杆两端之间的假定受弯杆两端之间的距离保持不变。距离保持不变。 为了使问题简化，作如下为了使问题简化，作如下计算假定：计算假定：. 由此可知，结点由此可知，结点1只有转角只有转角Z1，而无线位移，汇交，而无线位移，汇交于结点于结点1的两杆杆端也应有同样的转角的两杆杆端也应有同样的转角Z1。 整个刚架的变形只要用未整个刚架的变形只要用
4、未知转角知转角Z1来描述，来描述，如果能设如果能设法求得转角法求得转角Z1，即可求出刚，即可求出刚架的内力。架的内力。. 为了求出为了求出Z1值，可先对原结构作些修改值，可先对原结构作些修改这样，原结构就被改造成两个单跨梁：这样，原结构就被改造成两个单跨梁： lB是两端固定梁，是两端固定梁，1A是一端固定、另端铰支梁。是一端固定、另端铰支梁。1A1B 基本体系基本体系 基本结构基本结构P. 在基本结构上加上原来的力P，由于附加刚臂不允许结点1转动，此时只有梁lB发生变形，梁1A则不变形。 此时附加刚臂中产生了反力矩R1P，反力矩规定以顺时反力矩规定以顺时针为正针为正。于是，基本结构与原结构就发
5、生了差别，表现为：1由于加了约束，使结点1不能转动，而原来是能转动的。 基本结构基本结构PR1P.2由于加了约束，产生了约束反力矩，而原来是没有这个约束反力矩的。 为了消除基本结构与原为了消除基本结构与原结构的差别，在结点结构的差别，在结点1的附的附加约束上人为地加上一个外加约束上人为地加上一个外力矩力矩R11，迫使结点，迫使结点1正好转正好转动了一个转角动了一个转角Z1，于是变形，于是变形复原到原先给定的结构。复原到原先给定的结构。R11Z1Z1.R11Z1Z1 基本结构基本结构PR1P=+. 结点结点1正好转动一个转角正好转动一个转角Z1时，所加的附加约束不再时，所加的附加约束不再起作用，
6、其数学表达式为：起作用，其数学表达式为：R1=0 即外荷载和应有的转角即外荷载和应有的转角Z1共同作用于基本结构时，附共同作用于基本结构时，附加约束反力矩等于零。加约束反力矩等于零。 根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：根据叠加原理，共同作用等于单独作用的叠加：R1R11R1P=0 （a) R11为强制使结点发生转角Z1时所产生的约束反力矩。 R1P为荷载作用下所产生的约束反力矩。.为了将式(a)写成未知量Z1的显式，将R11写为 11111ZrR 为单位转角（Z11）产生的约束反力矩。11rR11=r11Z1Z1=1.式（a）变为01111PRZr1111rRZP 其物理意义是，基本结
7、构由于转角基本结构由于转角Z1及外荷载共同作用，及外荷载共同作用，附加刚臂附加刚臂1处所产生的约束反力矩总和等于零。处所产生的约束反力矩总和等于零。由此方程可得 11r可见，只要有了系数 及自由项R1P，Z1值很容易求得。. 为了确定上式中的 R1P 和 ，可先用力法分别求出各用力法分别求出各单跨超静定梁单跨超静定梁在梁端、柱顶1处转动 Z1=1时产生的弯矩图及外荷载作用下产生的弯矩图。11r.1Mr11Z1=1.P1AR1PP8Pl8PlMP图. 现取 图、MP图中的结点1为隔离体，由力矩平衡方程 ，求出 ：1M 01MlEIr711PlRP811.将这些结果代入位移法基本方程中解方程，即得
8、 EIPlZ5621最后，根据叠加原理 ，即可求出最后弯矩图 。11ZMMMP. 1.在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载； 通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力和变形。和变形。综上所述，位移法的基本思路是： .人为地迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的位移。.ABAB等截面直杆的物理方程.1.转角位移方程转角位移方程 Slope-Deflection Equation由线性小变形，由
9、叠加原理可得由线性小变形，由叠加原理可得xyA B AB P+t1t2Ai 4Bi 2liAB/6 Ai 2Bi 4liAB/6 FABMFBAM FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM 624624符号规定符号规定:杆端弯矩杆端弯矩-绕杆端顺时针为正绕杆端顺时针为正杆端剪力杆端剪力-同前同前杆端转角杆端转角-顺时针为正顺时针为正杆端相对线位移杆端相对线位移-使杆轴顺时针转为正使杆轴顺时针转为正固端弯矩固端弯矩转角位移方程转角位移方程. FBAABABBAFABABBAABMliiiMMliiiM 624624其中：其中：lEIi 称杆件的称杆件的。FBAFABMM,为由
10、荷载和温度变化引起的为由荷载和温度变化引起的杆端弯矩，称为杆端弯矩，称为。转角位移方程转角位移方程(刚度方程刚度方程) Slope-Deflection (Stiffness) Equation.FABABAABMliiM 33转角位移方程为转角位移方程为AB.转角位移方程为转角位移方程为FBAABAFABAABMiMMiM .1.2.位移法基本未知量数目的确定.22 lann25 lann.位移法的两种思路位移法典型方程直接按平衡条件建立位移法方程.qFPFPMFPFP.0 MMMAD 832qliMAC 84PlFiMAB 2PlFiMAE .qFPFPMFPFP. . FFKF 0 RK
11、 . 0 RK .2.平衡方程法建立位移法方程平衡方程法建立位移法方程14iZMDA 0 DCDBDAMMM1.转角位移方程转角位移方程 Slope-Deflection EquationEI=CPlADBl2/ l2/ lCDAMDDBMDCM14iZMDB 16/331PliZMDC 016/3111 PliZ12iZMAD 12iZMBD 2i2i4i4i3iP3Pl/16ir1111 01111 PRZr16/31PlRP 016/3111 PliZ. 0 RK .iijRk ,.), 1(0niRkijij PMMMjj .02 lanniPijRk 、.1M图图4i4i8i2i11
12、 Z2M图图12 Z8i8i4i4i4i2i11k4i8i21k4iik1211 ik421 12k4iik412 22k4i8i8iik2022 取结点考虑平衡取结点考虑平衡.P2R122qlP1R0P1 R122P2qlR 122qlPM图图取结点考虑平衡取结点考虑平衡. 00P2222121P1212111RkkRkk 位移法典型方程：位移法典型方程： 0122040041222121qliiii iqliql2246722221 P2211MMMM 最终内力：最终内力：请自行作出请自行作出最终最终M图图.11 lanniPijRk 、.4i6i6ik116i/lk12 = k21k12
13、 = k21k21 = k126i/lk223i/l23i/l212i/l2R1P6i6i4i2i3i/l3i/l6i/lql2/8ql2/8R2P3ql/8.02 lanniCijRk 、.4m10 lann40iPijRk 、3EI/16. 对于对于有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线有侧移的斜柱刚架在计算上的特点是，确定基本结构发生线位移时与平行柱的区别位移时与平行柱的区别,见图见图a和图和图b。 对于图对于图a，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，在单位线位移作用下，两平行柱的两端相对线位移数值相同，且都等于且都等于1，而横梁仅平行移动，其两端并无相对
14、线位移，故不弯曲。而对于图，而横梁仅平行移动，其两端并无相对线位移，故不弯曲。而对于图b则就不同了，在单位线位移作用下，杆则就不同了，在单位线位移作用下，杆AB、CD的垂直线位移不等于的垂直线位移不等于1，水平杆，水平杆BC的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单的两端产生了相对线位移，发生弯曲变形。因此，在非平行柱刚架中，在单位线位移作用下：（位线位移作用下：（1）柱与横梁发生弯曲；（）柱与横梁发生弯曲；（2）各杆端垂直于杆轴线的相对线）各杆端垂直于杆轴线的相对线位移亦各不相同。位移亦各不相同。有侧移的斜柱刚架有侧移的斜柱刚架. 如何确定对于如何确定对于斜柱刚架在当
15、结点发生线位移时各杆两端的相对线位斜柱刚架在当结点发生线位移时各杆两端的相对线位移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。移？以下面图所示一具有斜柱刚架发生结点线位移的情为例来说明。 应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确应该注意到，各杆的线位移虽然不同，但它们是互相有关的。确定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位定当结点发生单位线位移时各杆两端的相对线位移，可采用作结点位移图的方法。移图的方法。 首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新首先将刚结点改为铰，然后观察在单位线位移条件下各结点的新位置及由此所产生的线位移数值
16、方向。位置及由此所产生的线位移数值方向。. 图图a：结点结点A的线位移的线位移 垂直于杆垂直于杆AB，其水平位移分量为，其水平位移分量为1。由此可确。由此可确定定B的新位置的新位置 。当机构。当机构ABCD作机动时，杆作机动时，杆CD将绕铰将绕铰D转动，故铰转动，故铰C的位移的位移 必垂直于必垂直于 杆杆CD。于是在。于是在 的作用下，杆的作用下，杆BC将最终占有位置将最终占有位置 。杆件杆件BC的运动可分解为平移（从的运动可分解为平移（从BC到到 ）与转动（从）与转动（从 到到 ）。因）。因此，各杆的相对线位移为（图此，各杆的相对线位移为（图b）：）：BB CB BCC 13ZCBCB CB
17、CCBBCCCCABBCCD ,作结点位移图的方法（图作结点位移图的方法（图b）如下所述：）如下所述：. 只需直接作出三角形只需直接作出三角形 即可。其即可。其方法为：任选一点方法为：任选一点O代表位移为零的点，代表位移为零的点，如如A、D点，称为极点。按适当比例绘出点，称为极点。按适当比例绘出 ，然后作，然后作OB垂直于杆垂直于杆AB；再过；再过B点作杆点作杆BC的垂线；又过的垂线；又过O点作杆点作杆CD的垂线，便的垂线，便得出交点得出交点C。在此图中，向量。在此图中，向量OB、OC即即代表代表B、C点的位移，而点的位移，而AB、BC、CD则则代表代表AB杆、杆、BC杆、杆、CD杆两端的相线
18、位杆两端的相线位移。则图移。则图b称为结点位移图。称为结点位移图。CCC 13Z例例8-30022221211212111PPRZrZrRZrZr.由图由图d得：杆得：杆AB两端相对线位移为两端相对线位移为 ，杆，杆 CD两端相对线位移两端相对线位移2AB1CD由图由图 f 得：得：24611r由图由图 g 得：得：lr62612.由图由图 h 得得由图由图 i得得由图由图 j 得得1631PlRP22202129,0lrM1611,020PRMP.将各系数和自由项代如位移法基本方程，得将各系数和自由项代如位移法基本方程，得2212212102869. 0,02218. 0:,01611212
19、96260163626246PlZPlZPZlZlPlZlZ解得按叠加法绘最后弯矩图按叠加法绘最后弯矩图PMZMZMM2211.试求图试求图a a所示带斜杆结构的系数项和自由项所示带斜杆结构的系数项和自由项 位移法基本方程位移法基本方程: : 解：图解：图a a所示结构虽然横梁刚度无限大所示结构虽然横梁刚度无限大，但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，但柱子不平行，横梁不仅能产生线位移，也能产生转动，也即横量作平面运动。在小也能产生转动，也即横量作平面运动。在小变形情况下结点位移如图变形情况下结点位移如图b b、c c所示，独立的所示，独立的位移只有一个线位移，因此可取图位移只有一个线位移，因此
20、可取图d d作为基本作为基本结构。结构。01111PRZr.91169.10645584.532,22,045584.5328218182121026,0221102222110PllPZPllPRMlllllllllrMP. 图图 示示 结结 构构 在在 作作 用用 下下 的的 单单 位位 弯弯 矩矩 图图 中中 正正 确确 的的 为为 ： A. ; B. ; C. ; ; D. 。（）。（） 11ZBAABMM , liMMBAAB/6=2liMMBAAB/34=2liliMAB3/34/6=22liliMBA3/32/6=22BAABMliliM3/34/6=22.试用位移法计算图示结构
21、，并作弯矩图。试用位移法计算图示结构，并作弯矩图。EI=常数。常数。 0022221211212111PPRZrZrRZrZr.37 . 736 . 14 . 1335 . 14 . 16 . 1302 .1438. 322211211iiiiiriirriiiir.剪力静定杆的求算.剪力静定杆带来的简化剪力静定杆带来的简化.杆杆ABAB称为剪力静定杆，称为剪力静定杆，即用静力平衡条件可直即用静力平衡条件可直接求得其剪力（见教材接求得其剪力（见教材P230P230所述及图所述及图11-1311-13）。 判断下面哪些结构是属于剪力静定结构？判断下面哪些结构是属于剪力静定结构？.本题特点是：本题
22、特点是：（1 1） 柱柱ABAB的的B B端虽然有侧向线位移，但柱端虽然有侧向线位移，但柱ABAB的剪力是静定的，称它为剪力的剪力是静定的，称它为剪力静定柱。静定柱。（2 2） 横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。横梁的两端无垂直于杆轴的相对线位移，称它为无侧移杆。考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移考虑到上述特点，所以在确定位移法的独立未知量时，可以不把柱端的侧移作为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）减作为独立的位移未知量，从而使原来两个未知量（一个角位移和一个线位移）减为一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移
23、法的基本结构时，只须在刚为一个角位移未知量，使计算得以简化。在选取位移法的基本结构时，只须在刚结点结点B B处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图处附加阻止转动的刚臂约束即可，如图b b所示。在该基本结构中，由于所示。在该基本结构中，由于B B端端无侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以无侧向约束，柱子两端有相对线位移，而无角位移，所以ABAB柱的柱的B B端可视为滑动端可视为滑动支座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。支座，下端为固定支座，从而满足剪力静定的要求。各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此各横梁可视为一各横梁的梁端虽然有水平位移，但对杆的内力无影响。因此
24、各横梁可视为一端固定另一端链杆支座（图端固定另一端链杆支座（图b b）。）。.08. 212)4129(3334311EIEIEIEIr375. 41PR1 . 21Z.PPPRZrZrZrRZrZrZrRZrZrZr333323213123232221211313212111.0109312111ririiir252323216112163321PlPlPlRPlPlPlRPlPlPlRPPP.iriiiirir322212119iiiirirr1190332313.P1Fsj .对称结构的内力与变形特点对称结构的内力与变形特点 对称结构在对称荷载作用下产生对称的内力与变形；对对称结构在对称
25、荷载作用下产生对称的内力与变形；对 称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形称结构在反对称荷载作用下产生反对称的内力与变形。 半结构的选取原则半结构的选取原则 利用结构对称性取半结构利用结构对称性取半结构( (或四分之一结构或四分之一结构) )进行进行计算时计算时, , 其半结构分开处的约束支座是根据其变其半结构分开处的约束支座是根据其变形条件来确定的。形条件来确定的。 对称性的利用.1.奇数跨对称结构奇数跨对称结构 （1）对称荷载（图）对称荷载（图a） 在对称轴上的截面在对称轴上的截面C没有转角和水平位移，但可有竖向位没有转角和水平位移，但可有竖向位 移。计算中所取半边结构如图（移。计
26、算中所取半边结构如图（b）所示，）所示，C处取为滑动支承处取为滑动支承 端。端。. （2）反对称荷载（图）反对称荷载（图a） 在对称轴上的截面在对称轴上的截面C没有竖向位移，但可有转角和水平没有竖向位移，但可有转角和水平 位移。计算中所取半结构如图（位移。计算中所取半结构如图（b）所示，）所示，C处取为链杆处取为链杆 支座。支座。.2.偶数跨对称结构偶数跨对称结构 （1）对称荷载（图）对称荷载（图a） 在对称轴上，截面在对称轴上，截面C没有转角和水平位移，柱没有转角和水平位移，柱CD没有弯矩没有弯矩 和剪力。因为忽略杆和剪力。因为忽略杆CD的轴向变形，故半边结构如图（的轴向变形，故半边结构如图
27、（b） 所示，所示，C端为固定支座。端为固定支座。. （2）反对称荷载（图）反对称荷载（图a） 在对称轴上，柱在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中没有轴力和轴向位移。但有弯矩和弯曲变形。可将中 间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半，间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半， 这样问题就变为奇数这样问题就变为奇数 跨跨 的问题（图的问题（图b），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半），其中在两根分柱之间增加一跨，但其跨度为零。半 边结构如图边结构如图c所示。因为忽略轴向变形的影响，所示。因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消，处的竖向支杆可取消，
28、 半边结构也可按图半边结构也可按图d选取。中间柱选取。中间柱CD的总内力为两根分柱内力之和。由于的总内力为两根分柱内力之和。由于 两根分两根分 柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。柱弯矩、剪力相同，故总弯矩总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍。 又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。.用位移法计算图用位移法计算图a所示结构，绘制弯矩图。所示结构，绘制弯矩图。E=常数。常数。 根据正对称性质，图根据正对称性质，图a中中AB杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计杆不会弯曲而只受轴力。在这里我们又不计 轴向变形
29、影响，故将轴向变形影响，故将AB杆看作轴向刚度无限的链杆，则杆看作轴向刚度无限的链杆，则A，B两点的竖两点的竖 向位移相同，简化分析半结构如图向位移相同，简化分析半结构如图b所示。所示。 本题有两个独立未知数，位移法基本方程为本题有两个独立未知数，位移法基本方程为 0022221211212111PPRZrZrRZrZr.iiiir1144311lirr621122222215123lililir01PRkNRP202iZ43801ilZ1292202按叠加法按叠加法 2211ZMZMMMP.用位移法计算图用位移法计算图a a所示结构，绘制弯矩图。所示结构，绘制弯矩图。E=E=常数。常数。 联
30、合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称联合法：上述这种求解同一问题时，联合应用力法、位移法求解的方法，称为联合法。为联合法。联合法联合法.01111PRZr01111PXimkNimkNrRZmkNmkNqlRiiirPP3889. 195 .125 .12125612945111122111kNmmkNXmkNmPP0764. 610825.65625.65610833111131311PPMXMMMZMM1111. 注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求注意点：用联合法求解对称结构时，每个半结构的计算简图的求解是很方便的，但从半结构的结果，利用对
31、称性和进行叠加时必须细解是很方便的，但从半结构的结果，利用对称性和进行叠加时必须细心，否则将前功尽弃。心，否则将前功尽弃。. 前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基前面介绍的超静定结构的解法，即使是联合法，对每一个计算简图选用基本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位本结构未知量都是相同性质的，但对图示结构，不管是用位移法或力法，其位知数数目均知数数目均 7 7 个，手算是不可能的。个，手算是不可能的。 分析：左边分析：左边“主厂房主厂房”部分一次超静定，但独立位移有部分一次超静定，但独立位移有 5 5个。由边个。由边“附属厂附属厂房房”部
32、分独立位移只有部分独立位移只有 2 2个，而超静定次数为六次。个，而超静定次数为六次。 如果左边部分以力作如果左边部分以力作未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有未知量，右边部分以位移作未知量，混合用两类未知量的总未知量只有 3 3个，如个，如图所示。下面说明混合法解题思路图所示。下面说明混合法解题思路混合法混合法. 此例说明此例说明, ,解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原解决问题不能墨守成规，要深刻理解和掌握力学概念、原理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。理和方法，在此基础上灵活应用知识，才能既好又省地解决问题。.00033332
33、3213123232221211313212111PPPRZrZrXrRZrZrXrZZX. 温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一温度改变时的计算，与支座位移时的计算基本相同。这里只作一点补充：除了杆件内外温差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外；点补充：除了杆件内外温差使杆件弯曲，因而产生一部分固端弯矩外；温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已温度改变时杆件的轴向变形不能忽略，而这种轴向变形会使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具知位移，从而使杆端产生相对横向位移，又产生另一部分固端弯矩。具体计算通过下面的例题来
34、说明。体计算通过下面的例题来说明。 例如图示刚架的范例如图示刚架的范EI=常数，横梁温度均匀升高常数，横梁温度均匀升高 , 两柱温度不变化，试绘弯两柱温度不变化，试绘弯矩图。矩图。 Cto温度改变时的计算温度改变时的计算.HlHtllEIHEIHEItlrRZ2232413221111HlHEIHltlHEItlHlHtlHEIMAB2332232222HlHEItlHlHtllEIMBC2322322按叠加法绘制最后弯矩图按叠加法绘制最后弯矩图 ，即，即tMZMM11. 超静定结构当支座产生已知的位移超静定结构当支座产生已知的位移(移动或转动移动或转动)时，结构中一般会引起内时，结构中一般会
35、引起内 力。用位移法计算时力。用位移法计算时,基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用基本未知量和基本方程以及作题步骤都与荷载作用 时一样时一样,不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已不同的只有固端力一项，例如由荷载产生的固端弯矩改变成由已 知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。知位移产生的固端弯矩，具体计算通过下面的例题来说明。 图示刚架的图示刚架的A支座产生了水平位移支座产生了水平位移a、竖向位移、竖向位移b=4a及转角及转角 ，试绘其弯矩图。，试绘其弯矩图。la支座移动的计算支座移动的计算.01111RZr 根据基本结构在根据基本结构在 及支座位移的共
36、同影向下（图及支座位移的共同影向下（图b），附加刚臂），附加刚臂上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为上的反力矩为零的平衡条件，可建立典型方程为 计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我计算系数及自由项，绘出单位弯矩图及已知位移的弯矩图。在这里我 们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下：们将已知位移的弯矩图由叠加法绘出如下：.lEIlEIlEIRlEIlEIlEIr281216,1183111.11281Z解得：解得：刚架的最后弯矩图为刚架的最后弯矩图为PMZMM11.弹性支座.135o.7.071i/l7.071i/l5.657i/lql2/89i/l27.071i/l
37、.8-9 思考题及习题课思考题及习题课位移法如何体现结构力学应满足的三个方面条件（平衡条位移法如何体现结构力学应满足的三个方面条件（平衡条件、几何条件与物理条件）？件、几何条件与物理条件）？ 答：位移法的两种计算方法（基本结构法和直接列杆端力建立平衡答：位移法的两种计算方法（基本结构法和直接列杆端力建立平衡方程）都是按两大步骤进行，即单杆分析和整体分析。单杆分析是利用方程）都是按两大步骤进行，即单杆分析和整体分析。单杆分析是利用转角位移方程和固端力表得到杆端力和杆端位移和荷载的关系，或得到转角位移方程和固端力表得到杆端力和杆端位移和荷载的关系，或得到单位、荷载弯矩图；整体分析得到位移法的基本方
38、程。单位、荷载弯矩图；整体分析得到位移法的基本方程。 在整体分析中，确定位移法的基本未知量，考虑了交于结点的诸杆在整体分析中，确定位移法的基本未知量，考虑了交于结点的诸杆端的变形条件，而基本方程反应了平衡条件。因此，整体分析是在结点端的变形条件，而基本方程反应了平衡条件。因此，整体分析是在结点处考虑了上述三个方面条件。处考虑了上述三个方面条件。.FBAABBABAFABABBAABMliiMMliiiM642624单杆分析单杆分析. 铰结端角位移和滑动支座线位移为什么不铰结端角位移和滑动支座线位移为什么不作为位移法的基本未知量？作为位移法的基本未知量？ 在转角位移方程中，在转角位移方程中，铰结
39、端角位移和滑动支座线位移铰结端角位移和滑动支座线位移都不是独立的杆端位移分量，而与其它杆端位移分量保持都不是独立的杆端位移分量，而与其它杆端位移分量保持确定的关系。在手算中，为了减少基本方程数目，上述位确定的关系。在手算中，为了减少基本方程数目，上述位移分量不引如基本未知量。移分量不引如基本未知量。. 什么情况下独立的结点线位移可以不作为什么情况下独立的结点线位移可以不作为位移法基本未知量？位移法基本未知量？ 若刚架的有侧移杆都是剪力静定杆，则用位移若刚架的有侧移杆都是剪力静定杆，则用位移法求解时，独立结点立的线位移也可以不作为位移法求解时，独立结点立的线位移也可以不作为位移法的基本未知量。这
40、时刚架中杆件分为两类：一类法的基本未知量。这时刚架中杆件分为两类：一类是无侧移杆件，其杆端弯矩计算公式照旧。另一类是无侧移杆件，其杆端弯矩计算公式照旧。另一类是有侧移但剪力静定杆，这类杆件无论其杆端连接是有侧移但剪力静定杆，这类杆件无论其杆端连接刚结点还是固定端，其转角位移方程一律与一端刚刚结点还是固定端，其转角位移方程一律与一端刚结一端滑动约束杆相同。结一端滑动约束杆相同。. 答：可以。因为在静定结构中总是存在具有角位答：可以。因为在静定结构中总是存在具有角位移或线位移的结点，其位移就可作为位移法基本未移或线位移的结点，其位移就可作为位移法基本未知量；对应于每个角位移或线位移可建立一个平衡知
41、量；对应于每个角位移或线位移可建立一个平衡方程，对应于任意单杆总可以建立相应的刚度方程方程，对应于任意单杆总可以建立相应的刚度方程。 力法只能用于求解超静定结构。其原因是：力力法只能用于求解超静定结构。其原因是：力法是以多于未知力为基本未知数，而静定结构的几法是以多于未知力为基本未知数，而静定结构的几何特征是，几何不变，且无多余约束的结构。何特征是，几何不变，且无多余约束的结构。位移可否求解静定结构位移可否求解静定结构？.8-10 本章小结 1.位移法计算基础：位移法计算基础： 以三类杆件为计算基础（即教材表以三类杆件为计算基础（即教材表8-1 等截面直杆的杆端弯矩和剪等截面直杆的杆端弯矩和剪
42、力力 ）。）。 2.位移法计算原理：位移法计算原理： 几何不变的结构在一定的外因作用下，其内力与位移之间恒具有一几何不变的结构在一定的外因作用下，其内力与位移之间恒具有一定的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。位移法是以结点处的独定的关系，确定的内力只与确定的位移相对应。位移法是以结点处的独立角位移和线位移为基本未知量。立角位移和线位移为基本未知量。 3.位移法的基本思路：位移法的基本思路： 在相应的基本未知量处人为地附加约束而将原结构在相应的基本未知量处人为地附加约束而将原结构“化分化分”为若干为若干个单跨等截面超静定梁，取这些单跨梁（或称为单元）作为计算的基本个单跨等截面超静定梁，取这些
43、单跨梁（或称为单元）作为计算的基本结构。这些杆端位移应与其所在结点的其它杆端位移相协调。而后利用结构。这些杆端位移应与其所在结点的其它杆端位移相协调。而后利用原结构在荷载和结点位移的共同作用下，使每个附加约束中的反力（或原结构在荷载和结点位移的共同作用下，使每个附加约束中的反力（或反力矩）都应等于零的平衡条件建立位移法的基本方程，解此方程，得反力矩）都应等于零的平衡条件建立位移法的基本方程，解此方程，得结点位移。求得结点位移后，原结构的计算就转化为单个杆件的计算问结点位移。求得结点位移后，原结构的计算就转化为单个杆件的计算问题。题。 . 解算超静定结构的方法解算超静定结构的方法 超静定结构分析
44、的基本方法有两种，即力法和位移法。不管是力法还超静定结构分析的基本方法有两种，即力法和位移法。不管是力法还是位移法，都必需满足下列三方面的条件：是位移法，都必需满足下列三方面的条件：（1 1）平衡条件）平衡条件即力系的平衡条件或运动条件；即力系的平衡条件或运动条件；（2 2）几何条件）几何条件即变形的几何连续或位移的协调条件；即变形的几何连续或位移的协调条件；（3 3）物理条件）物理条件即应力与应变或力与位移的物理关系。即应力与应变或力与位移的物理关系。 位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量和基本结构 位移法是以刚结点处的角位移和结点的独立线位移作为基本未知位移法是以刚结点处的角位移
45、和结点的独立线位移作为基本未知量，在角位移处附加刚臂以阻止转动；在线位移处附加链杆以阻止移量，在角位移处附加刚臂以阻止转动；在线位移处附加链杆以阻止移动，得位移法的基本结构。将结点位移和原结构荷载（或支座移动，动，得位移法的基本结构。将结点位移和原结构荷载（或支座移动，或温度改变等）作用在基本结构上，得位移法的基本体系。同一结构或温度改变等）作用在基本结构上，得位移法的基本体系。同一结构不管外因如何，则基本结构是唯一的（力法的基本结构有多种选择）不管外因如何，则基本结构是唯一的（力法的基本结构有多种选择）。 用位移法计算结构时，确定基本未知量是整个学习中至关重要的用位移法计算结构时，确定基本未
46、知量是整个学习中至关重要的一步，应重点掌握。一步，应重点掌握。 . 计算假定：计算假定：(1).(1).弯曲直杆忽略轴力弯曲直杆忽略轴力, ,剪力所产生的变形剪力所产生的变形( (在手算中作这个假设在手算中作这个假设););(2).(2).变形是微小的变形是微小的; ;(3).(3).直杆弯曲后直杆弯曲后, ,两端之间的距离保持不变两端之间的距离保持不变 基本未知量的确定：基本未知量的确定：(1).(1).铰处弯矩为零铰处弯矩为零, ,故铰处角位移不作为基本未知量故铰处角位移不作为基本未知量( (因为非独立因为非独立量量););(2).(2).弯曲刚度无穷大的结点处不产生转动弯曲刚度无穷大的结
47、点处不产生转动; ;(3).(3).静定部分可由平衡条件求出其内力静定部分可由平衡条件求出其内力, ,故该部分结点处的角位故该部分结点处的角位移和线位移不需作为基本未知量移和线位移不需作为基本未知量. . 角位移：角位移： 一个刚结点一个角位移未知数目；一个刚结点一个角位移未知数目； 线位移：线位移： 由计算假定可知，可将原结构改变为铰结体系，由计算假定可知，可将原结构改变为铰结体系，用附加链杆方法使该铰结体系成为几何不变体系时，所加链杆数目用附加链杆方法使该铰结体系成为几何不变体系时，所加链杆数目即为线位移未知数目。即为线位移未知数目。.回顾力法的思路：回顾力法的思路：（1）解除多余约束代以基本未知力，确）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；定基本结构、基本体系；（2）分析基本结构在未知力和）分析基本结构在未知力和“荷载荷载”共同作用下的变形，消除与原结构共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；的差别，建立力法典型方程；（3）求解未知力，将超静定结构化为）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。静定结构。
