1、不定积分一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念( )( )Fxf xF (x) 为为 f (x) 的一个原函数的一个原函数. CxFxxf)(d)(。（内容提要）（内容提要）二、二、 基本积分公式基本积分公式(1)dx xCxx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln) 1(4)e dxx Cex(5)dxax Caaxln。Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tanxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cotxxdcos)6(xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cxcscxxdtanln cos
2、xCxxdcotln sinxC。22dxax22dxxaxxdsecCxxtanseclncsc dx xln csccotxxC1ln2axCaax2d1xxCx arctan2d1xxCxarcsin22dxax1arctanxCaa22dxaxarcsinxCa22ln xxaC。)(d1)(d1dbxaaxaaxxxd1)(lndxxxd)(d2x21a21)(d2bax ) 1()(d11d1xxxxxade)e (d1xaa三、三、 常见凑微分常见凑微分。xaxdcos)(sind1axaxaxdsin)(cosd1axasec tan dxx x d(sec ) xxxd112
3、)(arctandxxxd112)(arcsindx一般地：一般地：xxfd)()(dxfxxdsec2)tan(dx。四、第二类换元法四、第二类换元法令令1. 被积函数含被积函数含令令axbtnaxbndaxbcxndaxbtcxn。2. 被积函数含被积函数含22xa 令令taxsin22xa 令令令令taxtantaxsec22ax cbxax2先配方，再作适当变换先配方，再作适当变换(有时用倒代换有时用倒代换1xt简单）。简单）。)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110五、有理函数真分式的积分五、有理函数真分式的积分: nnnaxaxa110()nm分母在实
4、数范围内因式分解若分母含因式()kxa若分母含既约因式2()kxpxq，则对应的部分因式为122()()kkAAAxaxaxa，则对应的部分因式为11222222()()kkkB xCB xCB xCxpxqxpxqxpxq。ddu vuvvu六. 分部积分公式分部积分公式duvu v xxxxande.dsinxxaxn.dcosxxaxnxxxndlnxxxdarctanxxxdarcsinxbxexadsinxbxexadcos注：下列题型用分部积分法；。不定积分（典型例题）（典型例题）例1221(sin)cos2()tanfxxx ，求221(sin)cos2()tanfxxx22co
5、s12sin()sinxxx 2221 sin12sinsinxxx 2212sinsinxx1( )2fxxx1(2 )dxxx2ln |xxC( )f x( )f x解：一、由 求( )f x( )fx例2在( )f x0,)上定义，在(0,)内可导，( )g x在(,) 内定义且可导，(0)(0)1fg0 x 时，( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x，( )g x的表达式.解:0 x 时，( )f x( )g x x1C( )fx()gx231x( )f x()gx32xxC1C 02C 2( )f x 21x( )g
6、 x 1x()gx31xx0 x 时，(2 )fx2( 2 )121gxx 例2在( )f x0,)上定义，在(0,)内可导，( )g x在(,) 内定义且可导，(0)(0)1fg0 x 时，( )f x( )32g xx( )fx( )1g x(2 )fx2( 2 )121gxx 求( )f x，( )g x的表达式。答案：( )21, (0)f xxx31,0( )1,0 xxg xxxx例32min,6dxxx分段函数不定积分的求法：(1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示；(2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2 的关系，用同一个常数 C 表示。二、分段函数求
7、不定积分：例32min,6dxxx232y x6 y x2min,6xx26,2,236,3 xxxxxx解:2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x2min,6dxxx2 x21162xxC23 x3213xC23162xxC3x在 2 x连续， 12 12C283C12223CC在 3x连续， 29C39182C32272 CC2321226,2231,2331276,322xxCxxCxxxCx 2min,6dxxx2()CC自学2max,1dxx2221max,11111xxxxxx 解2max,1dxx由 处连续，得：1x 212231131
8、1113xCxxCxxCx 123222,33CCCC例4( )f x定义在 R 上，(0)1f1,(0,1(ln ),(1,)xfxx x求( )f x。1,0( )e ,0 xxxf xx( )fx10 xex0 x( ) f x1xC0 x2e xC0 x(0)1f11C在 0 x连续 20C解：三、有理函数的积分：例5222d(1) (1)xaxbxxx的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数； 不含对数函数；仅含有理函数。例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函数；221(1)1xxxdxABExFln |1|Ax1Bx2d1Exxx2d1Fxx
9、ln |1|Ax1Bx2ln(1)2ExarctanFxC不含反正切函数0F222d(1) (1)xaxbxxx2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x解：例5222d(1) (1)xaxbxxx求 a, b , 使不含反正切函数；221(1)1xxxdxABExF222d(1) (1)xaxbxxx不含反正切函数0F2xaxbA2(1)(1)xxB2(1)x2(1)Ex x32()(2 )()()A E xA BE xA E xA B0,21,A EA BEA Ea A Bb0,ab 任意例5222d(1) (1)xaxbxxx的结果中，求常数a，b 的值，使不含反正切函数
10、； 不含对数函数；仅含有理函数。221(1)1xxxdxABExF222d(1) (1)xaxbxxx 不含对数函数；0,A0,E1b仅含有理函数0,A0,E0,F1b0,a解：四、凑微分法：例6() ()dmaxbpxqx求(0)a 原式=()maxb()paxba pqbadx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx221()2mpaxba m()pqba11()(1)maxba mC(2,1) mm解：() ()dmaxbpxqx1()dmpaxbxa()pqba()maxbdx2 m时，原式=()pqba11a axbC2ln |paxba1 m时，原式=pxa()pqba1
11、ln |axbaC例7sin222esindexxxxsin222esindexxxxsin221 cos2ed2xxxxsin221e2xx1d(sin2 )2xxsin221ed(sin22 )4xxxxsin221e4xxC 解求例821 lnd(ln )xxxx求21 lnd(ln )xxxxdx1lnx2x2ln(1)xx21 lnxxln xx21ln(1)xxlnd()xx1ln1 Cxx解：例9241d1xxx求241d1xxx22211d1xxxx221d()1xx1xx211d()1()2xxxx22dxax1arctanxCaa11arctan22xxC解1例9241d1
12、xxx求解2241d1xxx2221d(21)(21)xxxxxx22d2121xxxxxAxBCxD222323()()2424AxBCxDxxdx22dxax1arctanxCaa烦！例10（自学）1lnd(ln )lnxxxxx解1 lnd(ln )lnxxxxx21lndlnln(1)xxxxxxxlnln(1)xxxxlnd()xx11d(1)tt t1d(1)tttt t 五、分部积分法分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）例11ed1 exxxx原式=d(e )1 exxx2d( 1 e ) xx2() 1 exx1 e dxx1 e xt21 exx222d1tttt21
13、exx224d1ttt21 exx221 14d1 ttt解：例12arcsinarccos dxx x2arcsinarccos(arccosarcsin ) 12xxxxxxx C原式=arcsin arccosxxxx2arccos1xx2arcsin1xxdxarcsin arccos xxx (arccosarcsin )xx2d( 1)xarcsin arccosxxx(arccosarcsin )xx21x21x221111xxdx解：例13( )df xxln(1)(ln )xfxx，求eln(1 e )ln(1 e ) xxxxC( ) f xln(1e )exx( )df
14、xxln(1e )dexxxeln(1e )dxxxln(1e )d(e) xxeln(1e ) xx1d1exxeln(1 e )xx (1 e )ed1 exxxx解：例14lnd,()nx xnZ12lnln(1) lnnnnxxnxxn nxx1( 1)(1)2 lnnn nxx 0( 1)!nn IClnd nx xlnnxx1lndnnx xnI1nnIlnnxx递推公式lnnxxn1lnnxx2(1) nnIlnnxx n1lnnxx2(1)nn nI0Ix解：六：三角代换 例15222(1)arcsind1xxxxx原式sinxt2sin t cost2(1 sin )ttco
15、stdt2ddsinttt tt21d(cot )2 ttt21cotcot d2 ttt tt21cotln |sin |2 ttttCtsinxtx121 x2211arcsinln|(arcsin )2 xxxxCx解：223d(2)xxx 例16原式2tanxt2(2tan2)t22tan t22secdtt32262tan2sec d8sectt tt242tand4secttt222sincos d4tt t22sin 2 d16t t2 1 cos4d162ttt2tanxtx222x解：七、倒代换：例1782d(1)xxx 1xt分母含x的因子，分母x的最高次幂m与分子x的最高
16、次幂n满足：2mn原式1xt81t21dtt21(1)t82d1 ttt821 1d1 ttt4221(1)(1)d1 tttt解：例182d221xxxx22dxxa22ln xxaC原式1xt1t21dtt2221tt0t2d22ttt2d(1)1 tt2ln1(1)1 ttC211ln11(1)Cxx (0)x解：2d0 ,221xxxxx211ln11 (1)Cxx 八、sincosdmnxx x型（m，n为正负整数）化为 m，n中至少一个奇数：(sin )d(sin )Rxxm，n均为偶数：降次(cos )d(cos )Rxxm，n均为负偶数（负奇数）：化为(tan )d(tan )
17、Rxx(cot )d(cot )Rxx或或sincosdmnxx x化为m，n中至少一个奇数：(sin )d(sin )Rxx(cos )d(cos )Rxx或例194sindcosxxx答案：3111 sinsinsinln321 sinxxxCx4sindcosxxx42sincosdcosxxxx42sind(sin )1 sinxxx42sin1 1d(sin )1 sin xxx解：sincosdmnxx x m，n均为偶数：降次例2024sincosdxx x1311(sin2sin4sin6 )164412xxxxC221sin 2 cosd4xx x1 1 cos4 1 cos
18、2d422xxx1(1 cos2cos4cos4 cos2 )d16xxxxx原式1cos coscos() cos()2积化和差公式：解：sincosdmnxx xm，n均为负偶数（负奇数）：化为(tan )d(tan )Rxx(cot )d(cot )Rxx或例2124dsin 2 cos 2xxx3111(2tan2tan 2 )2tan23xxCx24dsin 2 cos 2xxx242dtan 2 cos 2 cos 2xxxx421sec 2d(tan2 )2tan 2xxx2221(1+tan 2 )d(tan2 )2tan 2xxx解：九、sincosdsincospxqxxa
19、xbx型（a，b，p，q为常数）解题方法： 求待定常数A，B，使sincossincospxqxaxbxsincosaxbx()A分母()B分母例224sin7cosd2sin3cosxxxxx2ln |2sin3cos | xxxC原式=2sin3cosxx(2sin3cos )xx2 ( 1)(2sin3cos )xxdx12d(2sin3cos )2sin3cosxxxxdx解：例23sin2d3sin2cos2xxxx（课外练习）十、两项都难积分2ln1dlnxxx例24lnxCx一项用分部积分，产生另一项的相反项2ln1dlnxxx211ddlnlnxxxx1lnxx21lnxdx2
20、1dlnxx解：例2522e (tan1) dxxx2etanxxC22e (tan1) dxxx22e (tan2tan1)dxxxx22e (sec2tan )dxxxx222esecd2 etan dxxx xx x22ed(tan )2 etan dxxxx x2etanxx22etan dxx x22 etan dxx x解：例26221e () d1xxxx2e1xCx221e () d1xxxx22212ed(1)xxxxx22212eded1(1)xxxxxxx22212d(e )ed1(1)xxxxxx22222122ee ded1(1)(1)xxxxxxxxxx解：十一、含
21、抽象函数的积分含抽象函数的积分例273( )dx fxx( )f x设的原函数是sinxx，求( )d f xxsinxxC或( )f xsin()xx3( )dx fxx3d ( )xf x32( )3( )dx f xx f xx2cossinxxxx3x2cossinxxxx23xsin()xxdx()x23x dsin()xx( cossin )x xxx3(2sinxxxsin2xxxd )x解：例2823( )( )( )d( )( )f xfx fxxfxfx求221( )2( )fxCfx原式=23( )( )( )dd( )( )f xfx fxxxfxfxdfxf23d()
22、 fffdfxf2211d()2ffdfxf22112ff122 f f21 fdx解：例2823( )( )( )d( )( )f xfx fxxfxfx求221( )2( )fxCfx原式=( )( )d()( )( )f xf xfxfx另解2( )( )( )1d( )( )f xf x fxxfxfx22( )( )( )( )d( )( )f xfxf x fxxfxfx化为参数方程十二、例29d3xxy，其中2()xy xy解题思路：把积分中变量 x、y 换为参变量 t2()xy xy把转化为( )( )xtyt解令：xyt则：2xytd3xxy21tyt321txt32322d()1311tttttt2d1ttt21ln |1|2tC21ln|()1|2xyC
