1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组11.3 平稳随机过程及其遍历性平稳随机过程及其遍历性 平稳性：若一个函数平稳性：若一个函数 ，当，当 ， 的的特性不变特性不变，就称，就称 关于关于函数是平稳的。函数是平稳的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx对确定函数来说：特性不变指函数值不变。对确定函数来说：特性不变指函数值不变。对随机过程来说：特性不变指统计特性不变，对随机过程来说：特性不变指统计特性不变， 且仅仅对时间变量且仅仅对时间变量t而言。而言。分类分类严格平稳严格平稳宽平稳（广义平稳）宽平稳（广义平稳）随机信号分析随机信号分析教学教学组组2 随机过程可分为平稳和非平稳
2、两大类随机过程可分为平稳和非平稳两大类, , 严格地说严格地说, , 所有信号都是非平稳的所有信号都是非平稳的, , 但是但是, , 平稳信号的分析要容平稳信号的分析要容易得多易得多, , 而且在电子系统中而且在电子系统中, , 如果产生一个随机过程如果产生一个随机过程的主要物理条件在时间的进程中不改变的主要物理条件在时间的进程中不改变, , 或变化极小或变化极小, , 可以忽略可以忽略, , 则此信号可以认为是平稳的则此信号可以认为是平稳的. . 如接收机的如接收机的噪声电压信号噪声电压信号, , 刚开机时由于元器件上温度的变化刚开机时由于元器件上温度的变化, , 使得噪声电压在开始时有一段
3、暂态过程使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, , 经过一段时经过一段时间后间后, , 温度变化趋于稳定温度变化趋于稳定, , 这时的噪声电压信号可以这时的噪声电压信号可以认为是平稳的。认为是平稳的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组3 一一 平稳随机过程平稳随机过程1 严平稳随机过程严平稳随机过程(Strictly Stationary Process)(1) 定义定义 如果随机过程的如果随机过程的任意任意n n维分布维分布不随时间起点不随时间起点变化，即当时间平移时，其任意的变化，即当时间平移时，其任意的n n维概率密度维概率密度不变，则称是不变，则称是严（格）平稳的随机过程严（格）平稳的
4、随机过程 或称为或称为狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。 ),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因实际应用中，通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的，因此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要此在实际中往往不需要所有时间都平稳，只要观测的有限时间观测的有限时间平稳就行了。平稳就行了。随机信号分析随机信号分析教学教学组组4(2) 特性特性 一阶平稳一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程的一维概率密度函数与严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关时间无关),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf111111( ,)(
5、 , )( ,0)( )XXXXfx ttfx tfxfx时，对于一维概率密度有：时，对于一维概率密度有：11,ntt 随机信号分析随机信号分析教学教学组组522222( )( )( )( )( )()( )XXXXXXXE X txfx dxmE Xtx fx dxD X txmfx dx 随机过程随机过程X(t)的的均值均值，均方值均方值和和方差方差都是平稳的都是平稳的都与时间都与时间t无关无关随机信号分析随机信号分析教学教学组组6),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf二阶平稳二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t
6、2的的时间间隔有关，而与时间起点无关。时间间隔有关，而与时间起点无关。 时，二维概率密度：时，二维概率密度：12121212122112( , , )( ,)( ,0,)( , )XXXXfx x t tfx x tt ttfx xttfx x1212,ntttt 从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳随机信号分析随机信号分析教学教学组组7121212( , , )( , )XXfx x t tfx x都与时间无关都与时间无关1212122112121212( , )( ,;)( ,; )( )XXXXRt tx x fx x tt dx dx
7、x x fx xdx dxR 1212122( , )( , )( )( )( )( )XXXXXXxKt tRt tmt mtRmK随机过程随机过程X(t)的的自相关函数自相关函数，自协方差函数自协方差函数都是都是平稳的。平稳的。若若 ，则，则21tt22(0)(0)XXXXKRm随机信号分析随机信号分析教学教学组组8随机信号分析随机信号分析教学教学组组9(3) 严平稳随机过程的判断严平稳随机过程的判断 按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程按照严平稳随机过程的定义，判断一个随机过程是否为严平稳，需要知道其是否为严平稳，需要知道其n维概率密度，可是求维概率密度，可是求n维维概率密度是比较
8、困难的。不过，如果有一个反例，就概率密度是比较困难的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：可以判断某随机过程不是严平稳的，具体方法有两个：1) 1) 若若X(t)为严平稳，为严平稳，k为任意正整数，则为任意正整数，则 与时间与时间t t无关。无关。 )(tXEk2) 2) 若若X(t)为严平稳，则对于任一时刻为严平稳，则对于任一时刻t0 ， X(t0)具具 有相同的统计特性。有相同的统计特性。随机信号分析随机信号分析教学教学组组10 实际中，要确定一个对一切实际中，要确定一个对一切n都成立的随机过都成立的随机过 程概率密程概率密度函数族是十分困难的，因而在工
9、程中往往根据实际需要只度函数族是十分困难的，因而在工程中往往根据实际需要只在相关理论范围内考虑平稳过程问题。在相关理论范围内考虑平稳过程问题。 相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。相关理论：只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。 随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上那样全面的描述随机过程的统计特性，但它们在一定程度上相当有效的描述了随机过程的重要特性。相当有效的描述了随
10、机过程的重要特性。 （1 1）平稳随机过程表示噪声电压，）平稳随机过程表示噪声电压，一、二矩函数可以一、二矩函数可以表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参数。数。 （2 2）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数）工程中常见的随机过程是高斯过程，只要知道数学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。学期望和相关函数，则多维概率密度函数就确定了。随机信号分析随机信号分析教学教学组组112 宽宽(广义广义)平稳随机过程平稳随机过程(Weakly Stationary Process)XXmtm)()()(22tXEtX若随机过
11、程若随机过程X(t)满足满足1212( , )( )( )( )XXRt tE X t X tR则称则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。为宽平稳或广义平稳随机过程。严平稳与宽平稳的关系：严平稳与宽平稳的关系： 严格平稳严格平稳 广义平稳广义平稳一定一定不一定不一定当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组12为什么要研究宽平稳随机过程为什么要研究宽平稳随机过程? 随机过程可分为平稳和非平稳两大类随机过程可分为平稳和非平稳两大类, , 严格地严格地说说, , 所有信号都是非平稳的所有信号都是非平稳的
12、, , 但是但是, , 在在自然界和实自然界和实际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平。且平稳信号分析要容易得多，稳信号分析要容易得多，理论成熟理论成熟，是随机信号分，是随机信号分析的基础。析的基础。 物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平关在线性时不变系统中，输入宽平稳，输出也宽平稳。稳。随机信号分析随机信号分析教学教学组组13例例 随机相位信号随机相位信号0( )cos()X tAt是否平稳是否平稳? ?0200( )( )cos()1cos()02XmtE X
13、 tE AtAtd解解12120 10 220120122220120120220120( , )( )( )cos()cos()1cos()cos()2 2111cos()cos()2 22211cos()cos22XRt tE X t X tE AtAtA EttttAttAttdAttA X(t)均值为均值为“0 0”，自相关函数仅与时间间隔有关，故，自相关函数仅与时间间隔有关，故X(t)是宽平稳的。是宽平稳的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组14例例 设随机过程设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，- t 。其中。其中 X，Y为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量， 且分
14、别以概率且分别以概率 2/3、1/3取值取值-1和和2。 试讨论随机过程试讨论随机过程Z(t)的平的平 稳性稳性。随机信号分析随机信号分析教学教学组组15解解()( )()E XE Y 2112033()()()E XE Y 222221241223333()()()E XE Y 323321281223333()()() ( )E XYE YXE X E Y0随机信号分析随机信号分析教学教学组组16( ) ( )cos sinZm tE Z tE XtE Yt0( , ) ( ) ( )cossin cossincoscossinsincossinsincoscoscossinsincos(
15、)cosZRt tE Z t Z tEXtYtXtYtE XttE YttE XYttE YXtttttttttt 121211222212121212121212122222( )ZR 02Z(t)是广义平稳的。是广义平稳的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组17( )cossin cossincossincos sin cossinE ZtEXtYtE XtYtX YttY Xtttt 33333322233332Z(t)不是严格平稳的。不是严格平稳的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组18例例 设随机过程设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布为标准正态分布 的随机变量。试问的随机
16、变量。试问X(t)是否平稳？是否平稳？随机信号分析随机信号分析教学教学组组19解解( ) 0E X tE tAtE A212121 21 2( , )( )( )XRt tE X t X tt t E At t所以所以X(t)是非平稳的。是非平稳的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组20二二 平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质 数学期望数学期望和和相关函数相关函数是随机过程的基本数字特征。是随机过程的基本数字特征。 对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心对于平稳随机过程而言，数学期望是常数，经中心化后为零，所以基本的数字特征实际上就是化后为零，所以基本的数字特征实
17、际上就是相关函数相关函数。 相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态状态)间关间关联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从联特性的信息，而且也为随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息的工具。噪声中提取有用信息的工具。 要求：要求： (1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数；过程的自相关函数； (2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。随机信号分析随机信号分析教学教学组组21性质性质1 0)()0(22XXtXER平均功率平均功率 性
18、质性质2 )()(XXRR)()(XXKK偶函数偶函数 证：证：同理同理( )( )()( )()()XXRE X t X tE X u X uR( )()XXKK随机信号分析随机信号分析教学教学组组22性质性质3 )()0(XXRR)()0(2XXXKK极值性极值性证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即证：任何正函数的数字期望恒为非负值，即0)()(2tXtXE0)()()(2)(22tXtXtXtXE对于平稳过程对于平稳过程X(t)，性质，性质1 1可知可知)0()()(22XRtXEtXE代入前式，可得代入前式，可得0)(2)0(2XXRR于是于是)()0(XXRR同理同理)()0(2X
19、XXKK0当当 平稳过程的相关函数具有最大值。平稳过程的相关函数具有最大值。物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。物理意义：随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。随机信号分析随机信号分析教学教学组组23性质性质4 若平稳过程若平稳过程X(t)满足条件满足条件X(t)=X(t+T)，则称，则称 它为周期平稳过程，其中它为周期平稳过程，其中T为随机过程周期。为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数，周期平稳过程的自相关函数必是周期函数， 且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过且与随机过程的周期相同。即：周期平稳过 程程X(t)=X(t+T)，T为周期，则相关函数满足
20、为周期，则相关函数满足 )()(TRR证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到证：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到)()()()()()(XXRtXtXETtXtXETR性质性质5 若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数若平稳过程含有一个周期分量，则自相关函数 含有同一个周期分量。含有同一个周期分量。 )(XR自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。随机信号分析随机信号分析教学教学组组24例：设随机过程为例：设随机过程为)()cos()(0tNtAtX式中式中 为常数，为常数， 为为 上均匀分布的随上均匀分布的随机变量，机变量， 为一般
21、平稳过程，对于所有为一般平稳过程，对于所有t 而言，而言， 与与 统计独立。统计独立。则易得出相关函数为则易得出相关函数为0,A(0,2 )( )N t( )N t)(cos2)(02NXRAR可见，相关函数也包含有与随机过程可见，相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期的周期分量相同周期的周期分量。分量相同周期的周期分量。随机信号分析随机信号分析教学教学组组25性质性质6 若平稳随机过程若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量，不含有任何周期分量， 则满足则满足2)()(limXXXmRR0)()(limXXKK物理含义：当物理含义：当 增大时，增大时， 与与 之之 间相关性会减弱，在间相关
22、性会减弱，在 的极限情况下，两者相互独立。的极限情况下，两者相互独立。( )X t()X t 随机信号分析随机信号分析教学教学组组26性质性质7 若平稳过程含有平均分量若平稳过程含有平均分量( (均值均值) ) ，则相，则相关函数也含有固定分量关函数也含有固定分量 , , 即即2XmXm则则2)()(XXXmKR)()0(2XXXRR若若X(t)是非周期的，是非周期的，自相自相关性关性函数函数确定确定方差方差由协方差函数的定义，可得由协方差函数的定义，可得2)()()()()(XXXXXmRmtXmtXEK由此由此2)()(XXXmKR若若X(t)是非周期，则有是非周期，则有证：证：)()0(
23、)0(2XXXXRRK且在且在t=0时时, ,可得可得2)(XXmR随机信号分析随机信号分析教学教学组组27平稳随机过程必须满足平稳随机过程必须满足对所有对所有 均成立。均成立。 性质性质8 0)(deRjX自相关函数的傅里叶变换是非负的，限制了自相关函数的傅里叶变换是非负的，限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求相关函数是连续的（平顶，垂直边均是非连相关函数是连续的（平顶，垂直边均是非连续）即：续）即：不能出现平顶、垂直边或在幅度上不能出现平顶、垂直边或在幅度上的任何不连续。的任何不连续。随机信号分析随机信号分析教学教学组组28平稳过程相关函数的典
24、型曲线平稳过程相关函数的典型曲线)(XR2X)0(XR2Xm022(0)XXXRm随机信号分析随机信号分析教学教学组组29随机信号分析随机信号分析教学教学组组30平稳过程的相关系数和相关时间平稳过程的相关系数和相关时间 对于平稳随机过程对于平稳随机过程X(t)X(t)的两个不同时刻的两个不同时刻t和和 的起的起伏值的关联程度，可以用自协方差伏值的关联程度，可以用自协方差表示。但是，表示。但是， 还与还与 和和 的强度有的强度有关，若关，若 或或 很小，即使两者的相关程很小，即使两者的相关程度较强，则度较强，则 也不会太大，所以并不能准确表示关联也不会太大，所以并不能准确表示关联程度的大小。为了
25、消除起伏值强度对程度的大小。为了消除起伏值强度对 的影响，需的影响，需要对协方差函数作归一化处理，引入相关系数。要对协方差函数作归一化处理，引入相关系数。t( )( )()XXXKE X tmX tm( )XK( )XX tm()XX tm( )XX tm()XX tm( )XK( )XK随机信号分析随机信号分析教学教学组组31此值在此值在 1 1，11之间。之间。 表示不相关，表示不相关， 表示完全相关。表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。 相关系数相关系数
26、22)()0()()(XXXXXXmRKKr0)(Xr1)(Xr0)(Xr也称为归一也称为归一化协方差函化协方差函数或标准协数或标准协方差函数方差函数表征随机过表征随机过程在两个不程在两个不同时刻的状同时刻的状态之间的统态之间的统计关联程度计关联程度随机信号分析随机信号分析教学教学组组32相关时间相关时间 对于一般的随机过程而言，随着时间间隔对于一般的随机过程而言，随着时间间隔 增大相增大相关程度减弱，因此相关系数也随着减弱，当间隔大到一关程度减弱，因此相关系数也随着减弱，当间隔大到一定程度（假定为定程度（假定为 ），相关系数很小可以认为起伏值不），相关系数很小可以认为起伏值不相关了，这个时间
27、就称为相关了，这个时间就称为相关时间相关时间。0随机信号分析随机信号分析教学教学组组3305. 0)(0Xr01 1 通常把相关系数的绝对值小于通常把相关系数的绝对值小于0.050.05的时间间隔的时间间隔 ，记做相关时间记做相关时间, , 即即: : 时的时间间隔时的时间间隔 为为相关时间。相关时间。00000( )1( )XXrrd 1)0(Xr)(Xr2 2 有时我们用矩形（高为有时我们用矩形（高为 , ,底为底为 的矩形）的矩形）面积等于面积等于 积分的一半来定义相关时间即积分的一半来定义相关时间即相关时间示意图相关时间示意图0.050随机信号分析随机信号分析教学教学组组34物理意义：
28、物理意义： 相关时间相关时间 越小，就意味着相关系数越小，就意味着相关系数 随随 增加而降落的增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表时随越大，则表时随机过程随时间变化越慢。机过程随时间变化越慢。 相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱，越缓慢，相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢变化越缓慢。 0)(Xr0两个不同相关时间随机过程的样本函数两个不同相关时间随机过程的样
29、本函数 101000050100-4-2024050100-10-50510随机信号分析随机信号分析教学教学组组35例例：已知平稳随机过程：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为的自相关函数为 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求求X(t)的均值、均方值和方差。的均值、均方值和方差。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组36 RX(t) =(100cos10t)+(100e-10|t|+100)= RX1(t)+ RX2(t)RX1(t)=100cos10t是是X(t)中周期分量的自相关函数，中周期分量的自相关函数，此分量的均值此分量的均值m mx1x1=0 =0
30、RX2(t)=100e-10|t|+100是是X(t)的非周期分量的自相关函的非周期分量的自相关函数，由性质数，由性质6可知，可知，22( )10XXmR 1222210( )(0)300(0)300 100200XXXXXXXmmmE XtRRm 所以有所以有解解：随机信号分析随机信号分析教学教学组组37例例：已知平稳随机过程：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为的自相关函数为 求求X(t)的均值和方差。的均值和方差。251436)(XR随机信号分析随机信号分析教学教学组组38解解：由性质：由性质6可知可知36)(2XXRm6Xm43640)()0(2XXXRR由性质由性质7可知可知随机信
31、号分析随机信号分析教学教学组组39例例： 已知随机过程已知随机过程X(t)与与Y(t)的协方差函数的协方差函数 比较两个过程的比较两个过程的起伏速度起伏速度21( )4XKesin( )YK随机信号分析随机信号分析教学教学组组40解解: : 由随机过程的协方差函数，得出由随机过程的协方差函数，得出X(t)、Y(t)的方差的方差22(0)1/4(0)1XXYYKK2( )( )sin( )( )(0)(0)XYXYXYKKrerKK001( )( )22XYXYrdrd由于由于YX ，故过程，故过程X(t)比比Y(t)起伏起伏速度快。速度快。由定义得出由定义得出X(t)、Y(t)的相关系数的相关
32、系数X(t)、Y(t)的相关时间的相关时间随机信号分析随机信号分析教学教学组组41三三 遍历遍历(Ergodic)随机过程（各态历经性）随机过程（各态历经性） 每当提及随机过程时，意味着要涉及大量的样本函每当提及随机过程时，意味着要涉及大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，需要观察大量数的集合。要得到随机过程的统计特性，需要观察大量的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对大量的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对大量样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到的数字特征。这种平均称为的数字特征。这种平均称为统计平均统计平均
33、或或集合平均集合平均。显然。显然，取统计平均所需要的试验工作量很大，处理方法也很，取统计平均所需要的试验工作量很大，处理方法也很复杂。这就使人们自然想到，根据平稳随机过程统计特复杂。这就使人们自然想到，根据平稳随机过程统计特性与记时起点无关这个特点，能否找到更加简单的方法性与记时起点无关这个特点，能否找到更加简单的方法代替上述的方法。代替上述的方法。 辛钦证明：辛钦证明：在具备一定的条件下有平稳随机过程的在具备一定的条件下有平稳随机过程的任意一个样本函数取时间平均（观察时间足够长），从任意一个样本函数取时间平均（观察时间足够长），从概率意义上趋近于该过程的统计平均值。概率意义上趋近于该过程的统
34、计平均值。这样的随机过这样的随机过程，称具备各态历经性或遍历性。程，称具备各态历经性或遍历性。随机信号分析随机信号分析教学教学组组42 随机过程各态历经性可以理解为：随机过程的各样随机过程各态历经性可以理解为：随机过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性。代表整个随机过程的特性。问题：随机过程问题：随机过程 的各数字特
35、征（的各数字特征（集合平均集合平均），能），能 否用任一条样本函数的特征（否用任一条样本函数的特征（时间平均时间平均）来代替。）来代替。)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组431 遍历性随机过程的定义遍历性随机过程的定义 如果一个随机过程如果一个随机过程X(t)，它的各种时间平均（时间它的各种时间平均（时间足够长）依概率足够长）依概率1 1收敛于相应的集合平均，则称收敛于相应的集合平均，则称X(t)具具有严格遍历性，并称它为严遍历过程。有严格遍历性，并称它为严遍历过程。 严（狭义）遍历性的定义严（狭义）遍历性的定义 宽（广义）遍历性的定义宽（广义）遍历性的定义 设设X(t)是是一个平稳
36、随机过程，如果其一个平稳随机过程，如果其均值均值和和相关函相关函数数都具有各态历经性或遍历性，则称都具有各态历经性或遍历性，则称X(t)为宽遍历过程为宽遍历过程，或简称遍历过程。，或简称遍历过程。在相关理论的在相关理论的范围内讨论历范围内讨论历经过程，即讨经过程，即讨论均值和自相论均值和自相关时间平均关时间平均随机信号分析随机信号分析教学教学组组44均值均值各态历经性各态历经性1( )( )2TTTX tlimX t dtT定义定义 为为随机过程随机过程的的时间平均值。时间平均值。如果它依概率如果它依概率1 1收敛于集合均值，即收敛于集合均值，即XmtXEtXtXA)()()(则称平稳过程则称
37、平稳过程X(t)的的均值具有遍历性。均值具有遍历性。与取哪条样与取哪条样本有关与本有关与时间无关时间无关是时间是时间t的函的函数，与取哪数，与取哪条样本无关条样本无关随机信号分析随机信号分析教学教学组组451( )( )2TTTE X tlimX t dtT均值各态历经均值各态历经 任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程（任任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程（任意时刻）所有的状态相同，而且出现的频率与随机过程各意时刻）所有的状态相同，而且出现的频率与随机过程各状态的概率相同。状态的概率相同。随机信号分析随机信号分析教学教学组组46定义定义 随机过程的随机过程的时间自相关函数。时间自
38、相关函数。则称平稳随机过程则称平稳随机过程X(t)的的自相关函数具有遍历性。自相关函数具有遍历性。TTTXdttXtXTtXtXtt)()(21lim)()(),()()()()()(),(XXRtXtXEtXtXtt自相关函数自相关函数各态历经性各态历经性如果它依概率如果它依概率1 1收敛于集合均值，即收敛于集合均值，即当且仅当当且仅当 时上式成立，则称时上式成立，则称X(t)的均方值具有的均方值具有遍历性。遍历性。0随机信号分析随机信号分析教学教学组组471( )() ( )2TXTTRlimx tx t dtT自相关函数自相关函数各态历经各态历经 任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的
39、各任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各种二阶可能状态。种二阶可能状态。随机信号分析随机信号分析教学教学组组48各态历经过程与非各态历经过程示意图各态历经过程与非各态历经过程示意图 随机信号分析随机信号分析教学教学组组492 遍历随机过程的实际应用遍历随机过程的实际应用 一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程一般随机过程的时间平均是随机变量，但遍历过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间均代替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T 不不可能无限长，只要足够长即可。可能无限长，只要
40、足够长即可。 3 遍历随机过程和平稳随机过程的关系遍历随机过程和平稳随机过程的关系 遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。遍历过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是遍历的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组504 遍历随机过程的意义遍历随机过程的意义 在实际应用中，如果随机过程是平稳的，要从理论上在实际应用中，如果随机过程是平稳的，要从理论上证明过程的各态历经性并非易事。我们总是证明过程的各态历经性并非易事。我们总是凭经验假设它凭经验假设它是各态历经的是各态历经的。 任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的全部统计特性，简化研究过程
41、和实际统计方法。全部统计特性，简化研究过程和实际统计方法。 实际通信系统中，通常认为噪声和信号一般都是实际通信系统中，通常认为噪声和信号一般都是平稳平稳和和各态历经各态历经的。的。随机信号分析随机信号分析教学教学组组515 遍历过程（各态历经性）的判别定理遍历过程（各态历经性）的判别定理 均值遍历判别定理均值遍历判别定理 平稳随机过程平稳随机过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件：的均值具有遍历性的充要条件：平稳随机过程平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性充要条件：的自相关函数具有遍历性充要条件： 自相关函数遍历判别定理自相关函数遍历判别定理 式中：式中：2201lim(1)( )02X
42、TXTRmdTT0)()()21 (1lim120211dRBTTTTX)()()()()(111tXtXtXtXEB随机信号分析随机信号分析教学教学组组52对于对于正态正态平稳平稳随机过程，若均值为零，自随机过程，若均值为零，自 相关函数相关函数 连续，则可以证明此过程具连续，则可以证明此过程具有遍历性的一个充分条件为：有遍历性的一个充分条件为：)(XRdRX0)(注意：注意：判断一个平稳过程是否遍历，我们总是先假设其判断一个平稳过程是否遍历，我们总是先假设其 是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平是遍历的，然后看是否满足定义要求（即时间平 均以概率均以概率1 1等于统计平均）等于统计平
43、均）, ,一般不用两个判别定一般不用两个判别定 理。理。 随机信号分析随机信号分析教学教学组组53020( )( )( )( )1cos()02XXmtE X tx tfdatdm000022( ,)( )()coscos(22)2cos( )2XXRt ttE X t X ttaEtttatRt 故故X(t)是宽（广义）平稳随机过程。是宽（广义）平稳随机过程。解解2),()(22attRtXEX例例 设设 , ,式中式中a a， 为常数，为常数， 是在是在 上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。 试问：试问：X(t)是否平稳？是否遍历？是否平稳？是否遍历？0( )cos()X tat
44、0(0,2 )随机信号分析随机信号分析教学教学组组540001( )( )limcos()2cossinlim0TTAX tX tatdtTaTT故平稳随机过程故平稳随机过程X(t)也是宽（广义）遍历随机过程。也是宽（广义）遍历随机过程。00000222( ,)( )()11limcos(22 )lim(cos)22220limcos.cos222XTTTTTTTt tX t X tattdttdtTTaaTttT 随机信号分析随机信号分析教学教学组组55例例 判断随机过程判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中的遍历性，其中Y是方是方 差不为零的随机变量。差不为零的随机变量。解解 明显可知明显
45、可知X(t)是平稳的，因为是平稳的，因为yydtTtxTTT21lim)()(YEtXE)()(2YEtXtXE结论：结论：一个随机变量一定不是各态历经的一个随机变量一定不是各态历经的 并不是任何平稳过程都是各态历经的并不是任何平稳过程都是各态历经的但但X(t)不具有各态历经性，因为不具有各态历经性，因为随机信号分析随机信号分析教学教学组组56例例 随机过程随机过程X(t)的均值和相关函数为的均值和相关函数为 讨论讨论X(t)均值的遍历性。均值的遍历性。解解 X(t)是实平稳随机过程，由是实平稳随机过程，由均值遍历判别定理均值遍历判别定理可知可知222222111lim(1)lim()0222
46、TToTTeedTTTT所以所以X(t)具有均值各态历经性。具有均值各态历经性。| |( )XRe( )0E X t随机信号分析随机信号分析教学教学组组57补充补充： 其它平稳的概念其它平稳的概念(1)k阶严平稳阶严平稳12121212( , , ,)( ,)XNNXNNfx xxt ttfx xxtc tctcfor N kk=2 称为二阶严平稳称为二阶严平稳,如果对如果对N=k成立成立,那么对那么对Nk也成立也成立.(2)渐近严平稳渐近严平稳当当c时时,X(t+c)的任意的任意n维分布与维分布与c无关无关,即即1212lim(,)XNNcfx xxtc tctc存在存在,且与且与c无关无关.
