1、 2022-5-13第二章第二章 群论群论 7陪集、指数和陪集、指数和Lagrange定理定理 2022-5-13GBA,|BbAaabABgB |AaagABAg|AagaBAgA设设 为群为群, ,是群是群 子集子集, , 定义定义若若，则，则 G的两个非空的两个非空 2022-5-13陪集的引入陪集的引入( , )z 40 , 1 , 2 , 3Z 引例引例 整数加群整数加群，模，模4 4的剩余类：的剩余类：构成构成的一个分类：的一个分类：现利用群的观点，分析此分类的特点：现利用群的观点，分析此分类的特点：0,1,2,3( , )z 分类中存在一个特殊的类分类中存在一个特殊的类00是子群
2、是子群, , 而其余的类都不是子群而其余的类都不是子群. . 每个类正好是这个子群乘上这个类中每个类正好是这个子群乘上这个类中任取定的一个元素任取定的一个元素.i=i+0.i=i+0. 2022-5-13GH GaG|HhahaH|HhhaHaHG定义定义1 1 设设, ,. . 称群称群的子集的子集和和分别为分别为在在中的左陪集与右陪集中的左陪集与右陪集. .GH GaaHHa GaHHa 思考题思考题1 1 若若, , 又设又设, ,那么那么“”成立吗成立吗? ?为什么为什么? ?不一定是交换群不一定是交换群, ,所以所以未必成立未必成立. .答：由于答：由于 2022-5-13例例13G
3、S (1),(12)H HG HG(1),(12)(13)H (23)H 在在中的全部不同的左陪集有中的全部不同的左陪集有: :(1), (12), (13),(23),(123),(132)(1)H (13),(123)(23),(132)(12)H (123)H (132)H 2022-5-13例例13GS (1),(12)H HG(1),(12)(13)H (23)H 在在中的全部不同的右陪集有中的全部不同的右陪集有: :(1), (12), (13),(23),(123),(132)(1)H (13),(132)(23),(123)(13)(13)HH (1)(13)(23)GHHH
4、(1)(13)(23)HHH (12)H (132)H (123)H 2022-5-13aHaHaHaH bHaHaHbHba1bHaH bHaH 左陪集的性质及左陪集分解左陪集的性质及左陪集分解 2 2） 3 3） 4 4）1 1）GH群群中每个元素属于且只属于一个左陪集，中每个元素属于且只属于一个左陪集，可以按照其子群可以按照其子群的左陪集分类的左陪集分类. .的按照其子群的按照其子群的左陪集分类中除去的左陪集分类中除去外，再无子群外，再无子群因此群因此群G群群GH存在存在. .H 2022-5-13定义定义2,cHbHaHHGcHbHaHG GH,cba设设是子群是子群在群在群中的所有不
5、同的左陪集，称等式中的所有不同的左陪集，称等式为群为群关于子群关于子群的左陪集分解，而称的左陪集分解，而称为群为群的一个左陪集代表系的一个左陪集代表系. .GH关于子群关于子群 2022-5-13右陪集的性质及右陪集分解右陪集的性质及右陪集分解Haa HaHHa HbHaHabHba1HbHa HbHa 1 1） 2 2） 3 3） 4 4） 2022-5-13GH GaG :ahah HaH:ahha |lSaH aG |rSHa aG1:aHHa lSrS定理定理 1 1 设设，则群，则群陪集含有相同个数的元素；且陪集含有相同个数的元素；且在在中中 是是到到的一一映射的一一映射; ; 是是
6、, , 则则 是是到到映射映射. .的任何两个的任何两个G证明证明 集的个数与右陪集的个数相同集的个数与右陪集的个数相同. .左陪左陪HHa到到H的一一的一一 映射映射; ; , ,的一一的一一 2022-5-13GaHbHcH , , ,a b c GH111,abc 由定理由定理1 1知，知，即，即是群是群关于子群关于子群的一的一是群是群的一个右陪集代表系的一个右陪集代表系. .111GHaHbHc 个左陪集代表系，则个左陪集代表系，则GH关于子群关于子群 2022-5-133(1)(13)(23)SHHH 3(13)(132)SHHH 3(13)(123)SHHH 3(1)(13)(23
7、)SHHH ？ （）（）？ 2022-5-13GH(:)GH定义定义 3 3 称群称群的的子群子群的不同左的不同左( (右右) )在在中的中的指数指数. . .陪集的个数陪集的个数( (有限或无限有限或无限) )为为HG记作记作3GS (1),(12)H (:)3G H GHG ( ,)GHG H 定理定理 2 2 ( (LagrangeLagrange定理定理) ) 有限群有限群，则，则. .例例1 1中中 2022-5-13HG H(:)G Hr 12rGa Ha Ha H ija Ha H | |ija Ha HH 12| |(:)rGa Ha Ha Hr HH G H 证明证明 因为因为, , 所以所以也是有限群，也是有限群，且，且由定理由定理1, 1, 且且所以所以, , HG在在中左陪集的个数也有限中左陪集的个数也有限. . 设设从而从而 2022-5-13GaG nae 推论推论1 1 有限群子群的阶整除群的阶有限群子群的阶整除群的阶. .的任一元素的阶都能的任一元素的阶都能推论推论3 3 设群设群的阶数是的阶数是n, n, 则对任意的则对任意的, , . .推论推论2 2 有限群有限群整除群整除群的阶数的阶数. G
