1、第三章第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫动态系统的稳定性及李雅普诺夫分析方法分析方法11 稳定性基本概念稳定性基本概念一、外部稳定性与内部稳定性1外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。 1( ) tk u2( ) tk y系统的外部稳定性也称有界输入有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。 2如果由非零初始状态 引起的系统自由运动 有界，即： 2内部稳定性考虑输入量为零时的线性系统 000( )( ) ( )( )( )t tttttt x= Axxxx
2、0 x( ) tx( ) tk x并满足渐近属性，即 lim ( )0ttx，则称该系统是内部稳定的。 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。 二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法， 3二、李亚普诺夫稳定性基本概念（一） 系统运动及平衡状态1自治系统自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。 00( )()( )ttt x= f x,xx线性系统： 00( )(
3、 ) ( )( )tttt x= Axxx2受扰运动 将自治系统在初始状态 条件下的解称为受扰运动。就是系统的零输入响应。通常表示为 。 00( )txx00( ;, )ttxx4对非线性系统，一般有多个平衡状态。3. 平衡状态( , ) ( )00tt （线性、非线性、定常、时变）对于系统x f xxx 如果存在 ，对所有的t有 成立，称状态 为上述系统的平衡状态。ex(, )0et f xex若A非奇异， 唯一的平衡状态若A奇异， 平衡状态,非唯一0e xAx0ex0ex 通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于线性定常连续系统的平衡状态有： 如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立
4、的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 的稳定性具有普遍意义。 0ex5 可以将下式看成为状态空间中以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 ；把上式视为以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 。球域 依赖于给定的实数 和初始时间 。 （二）稳定性定义（二）稳定性定义 1. 稳定( )S( )Sex 设 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 ，都对应地存在另一实数 ，使得由满足式子 ex000( , )et xx0( , )0t 的任一初始状态 出发的受扰运动都满足 0 x00( ;, )ettxxx则称平衡
5、状态 是稳定的。 ex0()ttex( )S0t6 从球域 内任一点出发的运动 对所有的都不超越球域 。( )S( )Sex2x1x0( )tx( ) tx 如果 与 无关，称为是一致稳定，定常系统是一致稳定的。0t平衡状态 是稳定的几何解释： ex( )S00( ;, )ttxx0tt( )S 一个二维状态空间中零平衡状态 是稳定的几何解释如右图 。 0ex 上述稳定保证了系统受扰运动的有界性，通常将它称为李雅普诺夫意义下的稳定，以区别于工程意义的稳定。7不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且00lim(, )0ettt；xxx则称平衡状态 为渐近稳定。ex 从球域 内任一点出发的运动
6、对所有的 不仅不超越球域 ，而且当 时，最终收敛于平衡状态 。 2. 渐近稳定渐近性( )S( )Sex1x2x0( )tx( ) tx几何解释：( )S00( ;, )ttxx0tt( )St ex 二维状态空间中零平衡状态 为渐近稳定的几何解释如右图。 0ex8 满足渐近稳定的球域 只是状态空间中的有限部分，这时称平衡状态 为局部渐近稳定，并且称 为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态 。 线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。若 与 无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。若 ，则为全局渐近稳
7、定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能有一个平衡点。满足上面两点的为全局一致渐近稳定。0t( )Sex( )Sex 渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性 93. 不稳定00 lim( , )ettt对于线性系统一般有：xxxex2x( )S1x( )S( ) tx0( )tx 无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内 总存在非零点 ，使得由 出发的运动轨迹 越出球域 ，则称平衡状态 为不稳定。( )S( )S00( ;, )ttxx 二维状态空间中零平衡状态为不稳定的几何解释如右图。 0ex 对于非线性系统，也有可能趋于 以外的某个
8、平衡点或某个极限环。 ( )S*0 x*0 x ex10ex单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。11 线性定常离散系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件是系统矩阵 的所有特征值的模都小于1。 2 李雅普诺夫稳定性分析方法李雅普诺夫稳定性分析方法 一、李雅普诺夫第一法 又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性，比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。 1线性系统情况 线性定常连续系统平衡状态 为渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。 0ex1( )(0)intiiitexqx 0exG与经典控制理论的各种判据一致2非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，
9、可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。 1220( )( )()()() eeeeeTT将在平衡点 邻域展成台劳级数:ex xx xf xxfff xf xxx0 xxxxx( ) xf x非线性自治系统： ( )f x为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。0ex是系统的一个平衡点。高阶导数项之和1111212 enTnnnnefffxxxJacobianfffxxx 得线性化模型为其中为矩阵xxx xxAxfAx133) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合
10、适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在 不稳定；1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在 渐近稳定；ex0ex0ex按 在 邻域研究平衡点 的稳定性。即： xAx0ex( )f x0ex 李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。 14 设 为关于n维向量 的标量函数，并且在 处，有 ，则对于任意的非零向量 ，有： 一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为 ，如果不显含时间 ，则表示为 。二、李雅普诺夫第
11、二法 又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程，直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。 不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基本属性正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。( , )Vtxt( )V x（一）预备知识1标量函数的定号性( )V xx0 x( )0Vx0 x15 若 ， 为负定； 若 ， 为正定； 若 ， 为正半定；( )0V x ( )0V x 若 可正可负，
12、 为不定。( )V x 若 ， 为负半定；( )0V x 2. 二次型函数( )0V x ( )V x( )V x( )V x( )V x( )V x设x为n维向量，则称标量函数 111211212222121112( )nnnTnijijijnnnnnpppxpppxVxxxp x xpppxxx Px =为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。权矩阵 P为实对称矩阵16 若，P为正半定； 若，P为负定；而P的定号性由Sylvester准则确定： 若，P为正定；111p 设，111222122pppp ，111212122212nnnnnnnppppppppp , 的1n阶
13、顺序主子式，则P定号性的充要条件为： 为实对称矩阵 P0 (1,2, )iin 0 0 iiii 为偶数时为奇数时 (1,2, )in0 1,2,1 0 ()iiinin （，)0 0 0 ()iiiiiin 为偶数为奇数 若，P为负半定。17则平衡状态是大范围渐近稳定的。 （2）为负定；（1）为正定；则系统的平衡状态是渐近稳定的，并称是该系统的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足设系统的状态方程为，且其平衡状态为，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 ，并且满足条件：（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据1渐近稳定基本判定定理 ：( , ) t x = f x0ex( , )Vtx( , )
14、Vtx( , )Vtx0ex( , )Vtxlim( , )Vt xx0ex（3）条件（1）保证了具备“广义能量”函数的特性， ( , )Vtx条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。 182渐近稳定判定定理2 ：系统及平衡状态同上，如果满足条件：( , )Vtx（1）为正定；（2）为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即对于有 ；0 x( , )0Vt x则系统的平衡状态是渐近稳定的。同样，如果还满足 0ex（3）lim( , )Vt xx则平衡状态是大范围渐近稳定的。 ( , )Vtx( , )Vtx0ex条件（2）
15、表示在某处会出现但不恒为零的情况，这时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切，但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点，所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。 0ex0 x( , )0Vt x193李雅普诺夫意义下稳定判定定理： 如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定；则系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 ( , )Vtx( , )Vtx( , )Vtx0ex条件（2）不强调不恒为零，意味着系统向着小“能量”方向运动的过程中与某个等“能量”面相切，但可能不再离开该等“能量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。 ( , )Vtx4不稳定判定定理： 如果满足
16、条件：（1）为正定；（2）为正定；则系统的平衡状态是不稳定的。( , )Vtx( , )Vtx( , )Vtx0ex条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。 20如果上述定理的条件（2）为即正半定时，也可推论出两种情况：( , )0Vt x（1）时不恒为零，此时该平衡点不稳定； 0 x( , )Vtx（2）时存在恒为零，此时该平衡点为李雅普诺夫意义下稳定。0 x( , )Vtx（三）关于李雅普诺夫第二法的讨论（1）上述结论适用于任何性质的系统，但针对定常系统时，李雅普诺夫函数一般地不显含时间变量，即为。 ( )V x（2）上述结论中的条
17、件只是充分条件，如果找不到满足定理条件的李雅普诺夫函数并不能对系统的相应稳定性作出否定性结论。 ( , )Vtx（3）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 （4）上述结论中除了明确指出稳定性的大范围特性外，都只表示了系统在平衡状态附近某个邻域内的稳定性能，即局部稳定性能。21为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。 22121 12212212212212121222122212. ( )20( )42( )4 ()2()422 222()VxxVx xx xxxxxxVx xxxxx xx xxx xxx xx （1）
18、选 将 代入xxx013 2,0 ()11eA ：为非奇异阵xxx例例( )Vx( )V未选好x22221221 1221 221222 .( )0 ( )2222()20VxxVx xx xx xxxxx（ ） 选xx 为负半定，由上述定理，应考察 时 是否恒为0的情况：0 x22( )2( )0VxV xx由可知，0 x=Ax可见只有在平衡状态 时 ，所以为渐近稳定。0exx0Vx（ ）0ex0 ex x2120 0 0 xxx即 又 ( )Vx( )Vx又：2212lim( , )lim ()Vtxx xxx所以为一致大范围渐近稳定。系统为定常系统，0ex2312121 12212212
19、1 22122212( )2()() 42 2()() 42 () 2()0Vxxxxx xx xxxxxxx xxxxxxx为负定，所以 为渐近稳定。0ex( )Vx11222222211 21 2212123 1( ) 1 2 32()20 xVx xxxx xx xxxxxxx（3）选二次型函数2221212lim( , )lim()2Vtxxxx xxx同理有所以为一致大范围渐近稳定。0ex李雅普诺夫函数非唯一性，构造没有一般规律可循。 243 线性系统的线性系统的Lyapunov稳定性分析方法稳定性分析方法 对于线性系统，经常选取二次型函数作为李雅普诺夫函数，并由此得出一些更有效的判
20、别定理。 一、定常连续系统 xAx0ex( )TVxx Px取二次型标量函数 (P为正定、实对称)( )()TTTTTTTVxx Pxx Pxx A Pxx PAxxA PPA xT若负定，则系统在平衡点渐近稳定。A PPA T取QA PPA线性定常连续系统渐近稳定判定定理： 线性定常系统 在平衡点 大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程： xAx0exT A PPAQQ为实对称矩阵25PPLyapunov正定： 系统在平衡点渐近稳定非正定：系统在平衡点非渐近稳定（不稳定、意义下的稳定） 定理给出的是充要条件，上面的讨论过程已经说明了条件的充分性
21、，条件必要性的证明见教材。 注意的几点： （1）系统在平衡点 渐近稳定时有 lim ( )lim(0)0tttteAxx0exlim0tteAA的特征值都具有负实部（2）定理中正定的实对称矩阵Q是任意取的，但为了简化矩阵方程的求解，常取它为正定对角阵或单位矩阵。 （3）如果对于 有 Q可取为正半定。0 x( )0V不恒为 ，x（4）解得正定的实对称矩阵P，则 为系统的一个李雅普诺夫函数。 ( )TVxx Px26013411 xx例例 , T：取 QIA PPAI解解121112221222210221pppppp111212223122112pppp 求得：P =0ex1221PPP是实对称
22、矩（阵）111302p 1112221223152201412pppp P正定,系统在平衡点渐近稳定 1112111212221222010110 111101pppppppp即：27 当 时，有 ，所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 二次型函数 122222121122121223111122( )(322)()122212TxVxxxx xxxxxxxxx Px =x( )V x0ex是系统的一个李雅普诺夫函数，二、时变连续系统( )( ) ( )ttt x= Ax设 为系统唯一的平衡状态。取二次型标量函数 0ex( , )( )TVttxx Px为一致正定及一致有界的实对称矩阵 (
23、) tP显然 为正定函数 ( , )Vtx28 时变连续系统 在平衡点 为一致大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的一致正定及一致有界的实对称时变矩阵 ，存在一个一致正定及一致有界的实对称矩阵 ，满足矩阵方程：( )( ) ( )ttt xAx( ) tQ( )P t( )( ) ( )( ) ( )( )Ttttttt PAPPAQ ( , )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )TTTTTTTTTVtttttttttttttttttt
24、ttttttttttxxPxxPxxPxxAPxxPxxPAxxAPPPAx( ) ( )( )( ) ( )( )Ttttttt记： APPPA=Q线性时变连续系统渐近稳定判定定理： 0ex解矩阵微分方程可得：0000( )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )tTTttt ttt ttt dPPQ 通过 是否为一致正定、一致有界来判别系统在平衡点的渐近稳定性 。( )P t Q(t)为一致有界的实对称时变矩阵 29 线性定常离散系统 在平衡点 为大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在正定的实对称矩阵P，满足矩阵方程：三、定常离散系统(1)( )kkx
25、= Gx为系统唯一的平衡状态 0ex取二次型标量函数： ( )( )( )TVkkkxxPxP为正定的实对称矩阵 显然 为正定函数 ( )Vkx ( ) (1) ( )(1)(1)( )( ) ( )( )( )( )( )() ( )TTTTTTTVkVkVkkkkkkkkkkkxxxxPxxPxxG PGxxPxxG PGP x函数的增量函数为： ( )VkxTG PGP = Q同样记：线性定常离散系统渐近稳定判定定理：0ex(1)( )kkx= GxTG PGP = QQ为实对称矩阵30（ 和 为非零常数)例例3 37 711112111122212222122 001 0 000 1T
26、PPPPPPPP 取，由上述定理解方程： 即QIG PGPI21111112 121222222210 1PPPPPP 211112122222(1)1(1)0(1)1PPP 120(1)( )0kkxx线性定常离散系统的状态方程为 讨论系统在平衡点的渐近稳定性。 1221pp2122101101P 由塞尔维斯特准则，为使P 是正定矩阵，则要求 1121和 解：解：G为常数矩阵， 是唯一平衡状态。120ex3112101e可见，系统在为大范围渐近稳定的条件为x这时二次型函数 2111222222122212101( ) ( )( )( )( )( )( )10111 ( )( )011Tx k
27、Vkkkx kx kx kxkxkxxPx=是系统的一个李雅普诺夫函数，且当 时，有 , x ( )Vk x所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 0ex 这与经典控制理论中关于采样控制系统的稳定性判据（特征值在单位圆内）是一致的。 32四、时变离散系统(1)(1, ) ( )kkkkx= Gx设 为系统唯一的平衡状态，取二次型标量函数 0ex ( ), ( ) ( ) ( )TVk kkkkxxPxP(k)为一致正定的实对称时变矩阵 函数的增量函数为： ( ), Vk kx ( ), (1),1 ( ), (1) (1) (1)( ) ( ) ( ) ( )(1, ) (1) (1, ) (
28、 )( ) ( ) ( ) ( )(1, ) (1) (TTTTTTTVk kVkkVk kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxPxxPxxGPGxxPxxGPG1, )( ) ( )kkk Px同样记：(1, ) (1) (1, )( )( )TkkkkkkkGPGP=QQ(k)为实对称时变矩阵 33 其中P(0)是矩阵差分方程的初始条件，选取一个正定的实对称时变矩阵Q(k) （例如简单地选Q(k)=I )，由上式解得P(k+1)，然后看它是否为正定的实对称矩阵来判别系统在平衡点的渐近稳定性。 线性时变离散系统渐近稳定判定定理: 0ex 线性时变离散系统 的平衡状态 为大范围渐
29、近稳定的充要条件是对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k) ，必存在正定的实对称矩阵P(k+1)，满足矩阵方程：(1)(1, ) ( )kkkkx= Gx(1, ) (1) (1, )( )( )TkkkkkkkGPGP=Q解上述矩阵差分方程可得解为： 0(1)(0,1) (0) (0,1)( ,1) ( ) ( ,1)kTTikkki kii kPGPGGQG34非线性系统稳定性的分析要复杂得多。（1）非线性系统的平衡状态可能不止一个，而且可能其中有的稳定，有的不稳定；（2）非线性系统的渐近稳定的平衡状态往往是局部的；（3）构造满足李雅普诺夫第二法稳定性判据的李雅普诺夫函数更加困难，往往会因找不
30、到合适的李雅普诺夫函数而无法作出判断。 所提出的一些关于非线性系统稳定性的分析方法大都分别适合于一类特定的系统。 本节介绍两种相对简单实用的非线性系统稳定性分析方法，它们都是建立在李雅普诺夫第二法基础之上，因此也只是提供了充分条件。 另外，两种方法的出发点都在于设法构造能给出非线性系统稳定性判别的合适的李雅普诺夫函数。4 非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法35一一. 克拉索夫斯基法：克拉索夫斯基法：( )(0)0 0nn方程， 维矢量，维矢量函数，设，则平衡点为e xf xxf fx 克拉索夫斯基方法采用 替代x 来构造具有二次型形式的李雅普诺夫函数，并取
31、单位矩阵为其权矩阵，即 x( )( )( )TTTV xx Ix = x x = fxf x( )( )( )( )( )TTVxfxf xfxf x则：( )( )( )( )Tddtf xxf xJ xf xx其中J(x)称为系统的雅可比（Jacobian）矩阵，为 36111122221212()()nnTnnnnfffxxxfffxxxfffxxxfxJ xx代入得：( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )TTTTTTTVxfxf xfxf xfx Jx f xfx J x f xfx JxJ xf x要使系统在平衡状态渐近
32、稳定， 的权矩阵必须负定，记其为： ( )( )( )TS xJxJ x( )Vx( )Vx可以得到如下克拉索夫斯基定理。 37（3）如果雅可比矩阵 本身对称时，定理条件可以由 负定简化 为 负定。 这就要求非线性向量函数 的每个分量 必须包含对应的 的元素 ，且偏导数 对任意 为负。 非线性系统 在所讨论的范围内有唯一的平衡状态 ，如果在该范围内由系统的雅可比矩阵构成的矩阵 负定，那么 是渐近稳定的平衡状态。进一步，如果在全状态空间都有 负定，且 时，有 ，那么 是大范围渐近稳定的。克拉索夫斯基定理： 0ex( )S xx( )( )( )TV xfxf x0ex( ) xf x( )( )
33、( )TS xJxJ x0ex注意点： （1）该定理提供的只是系统在平衡点渐近稳定的充分条件；（2） 为负定的必要条件是雅可比矩阵J(x)对角线上的元素都为负值； ( )S x( )f x( ) (1,2, )ifinxx (1,2, )ixin( )iifxx0 x( )J x( )xS( )J x（4）也可将该方法应用于线性定常系统 ，此时雅可比矩阵J 即 为系统矩阵A,判别条件为 。 xAxTSAA38对于 ，它也包含了对应元素 ，且有对于 ，它包含了对应的元素 ，且有131220exxxx：，分析的稳定性。xx例例338 8解：解：首先检验f(x)的各个分量是否适合应用克拉索夫斯基方法
34、 。 11( )fx x1x11( )10fx x32122( )fxxxx2x2222( )1 30fxx x 可见，可以尝试应用克拉索夫斯基方法来分析系统在平衡点的稳定性。 求出系统的雅可比矩阵为：2210( )11 3Tx fJ xx39 ( )0e是负定的，故渐近稳定，且一致渐近稳定。S xx122222 20 4 1213 120 xx 222222111021 ( )( )( )013113126Txxx S xJxJ x求得 它的12阶顺序主子式分别为：13112231222321122 ( )( )( ) ()TxVxxxxxxxxxxx 又时，xxfxf x0e 是一致大范围
35、渐近稳定。x40假设 是系统的一个李雅普诺夫函数，它不是时间t的显函数，则有： 对于一个给定的系统，如果存在一个能够证明其渐近稳定性的李雅普诺夫函数，则这个李雅普诺夫函数的单值梯度也必存在。于是，首先根据 找出李雅普诺夫函数的导数函数，再通过积分计算出 ，如果得到的 正定，就获得了所需要的李雅普诺夫函数。( )0Vx( )V x( )V x二、变量梯度法二、变量梯度法( )(0)00e考虑系统 xf x fx( )V x12121212( )() TnnnnxxdxdxdxVVVVVVVVxdtxdtxdtxxxx xx1212TTnnVVVVVVVxxx 其中 为 的梯度： V( )V x为
36、单值的n维向量 41有 个等式由于单值性，李雅普诺夫函数 可通过积分计算得到： ( )V x000( )( )()()ttTTVVdtVdtVdxxxxx必须解决以下两个问题： （1）线积分的路径问题； （2）梯度向量 的确定；( )Vx 对于问题（1），如果向量 的旋度 ，则上式线积分与积分路径无关。而 的条件是向量 的雅可比矩阵对称，即矩阵 ( )Vxrot( )0 Vxrot( )0 Vx( )Vx111122221212( )nnTnnnnVVVxxxVVVVxxxVVVxxx xx有：( ,1,2, )jijiVVi jnxx(1) 2n n 42 由限制条件 和上面所列的 个等式可
37、以确定出一些待定量，不够部分用试凑法解决。 这时线积分与积分路径无关，最方便的路径是依次沿各坐标轴方向分段积分，即 121121112200(0)(0)()1122000( )( )() nnTnnxxxxxxxnnVVdVdxV dxV dxVdxV dxV dx其它为不变,其它为、不变xxxxx 对于问题（2），通常设 是 x 的一个带待定系数的列向量，即：( )Vx11 112211221 122221 122( )nnnnnnnnnna xa xa xVVa xa xa xVVa xa xa xxnn个待定量( )0Vx(1) 2n n 43（4）验证 的定号性，因为（3）有可能改变
38、的定号性；（2）根据式 由 确定 ，并由 负定或至少负半定的限制条件确定出式 的一部分待定量；（1）设 的梯度向量 如式 ，并可试凑一些式中的待定量； 这样，在 的前提下，按简便的积分路径求出 ，然后判别它的符号特性决定它是否为所需要的李雅普诺夫函数，从而判定系统在平衡点的稳定性。( )0Vx( )V x根据上述思路，采用变量梯度法构造 的步骤总结如下： ( )V x( )V x( )Vx ( )Vx( )Vx ( )Vx （3）由式 所列的 个等式确定出另一些待定量； (1) 2n n ( )Vx( )Vx（5）由式 计算得到 ，并验证它的正定性；( )V x （6）确定平衡点渐近稳定性的范
39、围。44213221,0exxxxx试用变量梯度法分析处的稳定性。x例例3310: 10: 111 1122221 1222.( )Va xa xVVa xa x：(1) x解解22112122 1112122 1122212222121( )00() 0 0 0V xaaa xaaa xaaaaaa 为使，可令： 11 112 2121 122 22311 112 2221 122 2212241 2112122 12122221 1(2)( )()()()()()() ()()TVVa xa x xa xa x xa xa x xa xa xxxxx aaa xx aaa x . xx45
40、2221221111222 1 0 aaaaaa x和 242212212 14 . ( )()0Vaaxa x（ ）这时x2112122 1aaa x1221(3). VVxx由11 112 221 122 221 ()()a xa xa xa xxx有1221: aa得2241 2112122 12122221 1( )()()Vxx aaa xx aaa xx321 122112221 122221()()a xa xa xa xa xxx46由于 ，故函数 正定，它是所需要的李雅普诺夫函数。1221(=0)()11220005 .( )( )xxxxxTVVdxV dxV dx不变（
41、）xx12121412221122221124aaxxxaxaax 2421212212221212111242a xaxaxa x x12312 122 11222212 1200()()xxa xa x dxa x dxa x x1221(=0)()11 1122112 1222200()()x xxxa xa x dxa xa x dx不变2112122 1aaa x22120aa( )V x47（6）当 时，有所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。x0ex 李雅普诺夫稳定性理论除了有效地分析系统稳定特性外，还在系统的动态特性（如响应快速性）分析，参数优化设计，甚至系统的鲁棒性设计，自适应控制设计等方面得到广泛的应用。 2421212211212222111( ), 242Va xa xa x xa x x 采用变量梯度方法能构造出有效的李雅普诺夫函数并给出系统稳定特性的判别。对于同一个系统，不同的人会通过选择不同的待定量得出不同的李雅普诺夫函数，然而，只要所找到的李雅普诺夫函数满足稳定性判定定理，系统的稳定特性总能得到一致的判别，尽管有时所得出的渐近稳定吸引区会有所不同。 ija48
