1、运用点差法巧解圆锥曲线的运用点差法巧解圆锥曲线的中点弦问题中点弦问题高中数学教师欧阳文丰制作1 导导 言言 圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，锥曲线的中点弦问题。用点差法求解此类问题，具有构思精巧，简便易行的优点。简便易行的优点。),(11yxA),(22yxB若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥
2、曲线的方程并对所得两式作差，得到将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为我们称这种代点作差的方法为“点差法点差法”。2 过椭圆过椭圆 内一点内一点 引一引一条弦，使弦被点条弦，使弦被点 平分，求这条弦所在平分，求这条弦所在直线的方程直线的方程141622yx) 1 , 2(MMA（x2 , y2）Mx xyo（x1 , y1）B一一.问题引入问题引入3例例1：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程
3、这点被平分，求此弦所在直线的方程.解法一：解法一：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造二、例题讲解二、例题讲解4例例1：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率构造出中点坐标和斜率点点作差作差22112222416416xyxy 二、例题讲解二、例题讲解5小结：小结：弦中点、弦斜率问题弦中点、弦斜率问题的两种处理方法的
4、两种处理方法 1.联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决. 2.点差法点差法:设弦的两端点坐标设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解代入曲线方程相减后分解 因式因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来.622142xy 已已 知知 双双 曲曲 线线 方方 程程 ：1111212MABMABABlNll （ ）过过 （ ，）的的直直线线交交双双曲曲线线于于、两两点点，若若为为弦弦的的中中点点，求求直直线线的的方方程程；（ ）是是否否存存在在直直线线 ，使使，为为 被被双双曲曲线线所所截截弦弦的的中中
5、点点，若若存存在在，求求出出直直线线 的的方方程程，若若不不存存在在，请请说说明明理理由由。解：，则，设)()(2211yxByxA1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyMMAByxk2121，即21ABk的方程为：直线 AB) 1(211xy.012 yx即)(21xx xyo2222.NM点差法例2二、例题讲解二、例题讲解7，则，的直线交双曲线于假设过)()()2(2211yxDyxCN1242121yx1242222yx相减2121212121yyxxxxyyNNyx211，即1CDk1 12lyx此此时时直直线线 的的方方程程为为：22490 xx
6、xyo2222.NM与双曲线没有交点直线l.)211 (在为弦的中点的直线不存，以 N12yx即即，代代入入双双曲曲线线方方程程并并整整理理，得得164 2 9560 二、例题讲解二、例题讲解8例3、已知椭圆1257522xy,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。),(11yxP),(22yxQPQ),(yxMxxx221yyy221125752121xy125752222xy0)(75)(2521212121xxxxyyyy0)(3)(2121xxxyyyyxxxyy3212132121xxyyk33yx0 yx12575022xyyx)235,235(P)235,235(Q 解：设弦端点、，
7、弦的中点，则， 又 ，两式相减得即，即 ，即由，得)235235(0 xyx弦中点的轨迹方程为：二、例题讲解二、例题讲解9222210 xyabab1x 41 1,2 4C例4 已知椭圆的一条准线方程是，有一条倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为，则求椭圆的方程。二、例题讲解二、例题讲解101122,A x yB x y、121211,2xxyy 2211221xyab2222221xyab 122222121222xxyyab 221212221212112bxxyybxxayya 21221221AByybkxxa 222ab21ac2ac222abc2211,24ab2211
8、124xy解设，则，且，（1），（2）得：，（3），（4），（5）由（3），（4），（5）可得，所求椭圆方程为.二、例题讲解二、例题讲解11注：凡关于中点弦和弦中点的问题，可采用点差法求解。三、变式练习三、变式练习12三、变式练习三、变式练习132.弦中点问题弦中点问题的两种处理方法的两种处理方法 课堂小结课堂小结 （1）联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理； （2）设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率和弦的中点坐标（点差法点差法）。1、利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。14作业：15
