1、第二章第二章 数数 列列22等差数列第二章第二章 数数 列列22.1等差数列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列1数列an的前4项为1,1,3,5，则其一个通项公式为 .2若数列an的通项公式是an5n1，则其前5项依次为 ，第10项为3若an满足a13，an1an4，则该数列的前4项依次为 ，a2a1 ，a3a2 ，a4a3 .其通项公式an .an2n36,11,16,21,26513,7,11,154444n1第二章第二章 数数 列列1等差数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示二同
2、一个常数公差d第二章第二章 数数 列列递推公式通项公式anan1d(n2)an .a1(n1)d第二章第二章 数数 列列3.等差中项(1)如果三个数x、A、y组成 ，那么 叫做 和 的等差中项(2)如果A是x和y的等差中项，则A4从函数角度认识等差数列若数列 是等差数列，首项a1，公差d，则anf(n)a1(n1)dnd(a1d)由此可看出：(1)an是n的 函数(2)点(n，an)落在直线 上(3)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .等差数列Axy一次ydx(a1d)d第二章第二章 数数 列列5等差数列的性质(1)等差数列的项与序号的关系两项关系多项关系通项公式的推广：anam d(m，n
3、N)项的运算性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则 apaq(nm)aman第二章第二章 数数 列列an1 ank1 第二章第二章 数数 列列d cd 2d pd1qd2 第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列如果an是公差为d的等差数列，那么，d与an的单调性有什么关系？【提示】等差数列的公差决定了数列的单调性当d0时，an是递增数列；当d0时，an是递减数列；当d0时，an是常数列，不是递增数列，也不是递减数列第二章第二章 数数 列列 在等差数列an中，已知a511，a85，求a10.【思路点拨】先求出首项和公差，写出通项公式，再求a10.第二章第二章 数数 列列在等差数列an
4、中，首项a1与公差d是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1、d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量 第二章第二章 数数 列列1.本例中，将条件改为已知a511，an1，d2，如何求n?第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：an1and(d为常数)，也可以用an1ananan1(n2)进行判断本题属于“生成数列问题”，关键是形成整体代换的思想方法，运用方程思想求通项公式第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列
5、第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列三个数x，y，z成等差数列的充要条件是xz2y，即若已知x、y、z成等差数列，则2yxz，反之要证x，y，z成等差数列，则只要证xz2y即可第二章第二章 数数 列列3.已知a，b，c成等差数列，那么a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)是否构成等差数列？【解析】a，b，c成等差数列，ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，a2(bc)c2(ab)2b2(ca)，即a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)能构成等差数列第二章第二章 数数 列列【思路点拨】既可
6、以用等差数列的性质得到a2a10a3a92a6，也可以由通项公式得a1与d间的关系再求解第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列方法一运用了等差数列的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法两种方法都运用了整体代换及方程的思想第二章第二章 数数 列列4.(1)在等差数列中，a1a4a715，a2a4a645，求数列的通项公式(2)设为等差数列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8.第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列 梯子的最高一级宽33
7、cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度【思路点拨】由题意可知，问题就是已知数列的首、末两项和项数，求中间其它项，因此，先求通项公式第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题第二章第二章 数数 列列5.甲虫是行动较快的昆虫之一下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1 m
8、in能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？时间t(s)123？60距离S(cm)9.819.6 29.449？第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列1理解等差数列的定义需注意的问题(1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否
9、则这个数列不能称为等差数列第二章第二章 数数 列列2判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)定义法：anan1d(常数)(n2且nN)等价于an是等差数列(2)等差中项法：2anan1an1(n2且nN)等价于an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b为常数，nN)等价于an是等差数列第二章第二章 数数 列列3等差数列与一次函数的关系等差数列一次函数解析式 anknb(nN)f(x)kxb(k0)不同点定义域为N，图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点定义域为R，图象为一条直线相同点通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，是最简单的，也是最基本的数列和函数第二章第二章 数
10、数 列列已知等差数列an：2,5,8，与等差数列bn：1,5,9，它们的项数均为40项，则它们有多少个数值相同的项？【错解】由已知两等差数列的通项公式为；an3n1，bn4n3，(1n40，且nN)令anbn，得3n14n3，即n2.两数列只有一项数值相同，即第2项第二章第二章 数数 列列【错因】本题中所说数值相同的项，它们的项数并不一定相同，因此，我们所关心的是这个数在两个数列中有没有出现过，而不关心它在数列中的位置第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列【答案】C第二章第二章 数数 列列【答案】A第二章第二章 数数 列列3等差数列中，已知a310，a820，
11、则公差d_.【答案】6第二章第二章 数数 列列4(1)三个数成等差数列，和为6，积为24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为8，求这四个数【解析】(1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为ad，a，ad，依题意，3a6且a(ad)(ad)24，所以a2，代入a(ad)(ad)24，化简得d216，于是d4，故三个数为2,2,6或6,2，2.第二章第二章 数数 列列方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，ad，a2d，依题意，3a3d6且a(ad)(a2d)24，所以a2d，代入a(ad)(a2d)24，得2(2d)(2d)2
12、4,4d212，即d216，于是d4，三个数为2,2,6或6,2，2.第二章第二章 数数 列列(2)方法一：设这四个数为a3d，ad，ad，a3d(公差为2d)，依题意，2a2，且(a3d)(a3d)8，即a1，a29d28，d21，d1或d1.又四个数成递增等差数列，所以d0，d1，故所求的四个数为2,0,2,4.第二章第二章 数数 列列第二章第二章 数数 列列练考题、验能力、轻巧夺冠第二章第二章 数数 列列有关的数学名言有关的数学名言数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
