1、 科目代码： 839 科目名称： 量子力学 第 1 页 共 2 页 南京师范大学南京师范大学 20212021 年硕士研究生入学考试初试试题（年硕士研究生入学考试初试试题（ B 卷）卷） 科目代码： 839 科目名称： 量子力学 满分： 150 分 考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、简答题（每一、简答题（每小小题题 1 10 0 分，共分，共 3 30 0
2、分）分） 1.设描述某个体系的状态，请问),(trei（为常数）是否描述该体系同样的状态？为什么？ 2.什么实验说明光具有粒子性？什么实验说明光具有波动性？给出简要描述。 3.什么是量子力学的全同性原理？ 二、二、简要计算题简要计算题（每（每小小题题 1 10 0 分，共分，共 4 40 0 分）分） 1.,其中 为动量算符,。 2.证明，其中 为动量算符， 为轨道角动量算符。 3.,为自旋算符的 分量，为轨道角动量算符的 分量。 4.将 10 个质量为 m，自旋为 0 的全同粒子放在二维宽度都为 a 的无限深势阱中，不考虑粒子之间的相互作用，问系统的基态能量为多少？若换成 10 个自旋为 1
3、/2 的全同粒子，问此时系统的基态能量又为多少？ 三、三、计算题计算题（每（每小小题题 2020 分，共分，共 8 80 0 分）分） 1.一质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， （1）写出其本征能量和本征波函数。 （2）若 t=0 时，系统处于状态 上， 和为体系基态和第一激发态的本征函数， 求 t时刻的波函数， 计算 t时刻 x 和p的平均值，验证 Ehrenfest 定理 。 科目代码： 839 科目名称： 量子力学 第 2 页 共 2 页 2.在算符 A 表象中，算符 A 与 B 的矩阵表示分别为 , , 为实数。 （1）证明算符 A，B 对易。 （2）找出算符 A，B 的共同本征函数。 3.一个质量为 m 的粒子在二维各向同性谐振子势阱中运动，其系统的哈密顿量为 （1）最低的三条能级的能量和简并度分别为多少？ （2）现加上微扰，。计算上述三条能级的能量修正，精确到 的一次项。(） （3）严格求解的本征值，并与微扰的结果比较。 4.考虑一自旋为 1/2 的粒子，其自旋算符的三个分量为，。 （1）求算符+的本征值和本征函数。 （2）表示算符+的最大本征值对应的本征函数，当粒子处于该状态时，测量沿 z方向的自旋，得到的结果为多少？相应的几率为多少？ （3）若粒子处于态，求方向 n，使得在该方向上测量自旋得到的结果一定为/2。
