1、宁波大学2021年硕士研究生招生考试初试试题(A卷) (答案必须写在考点提供的答题纸上)科目代码： 872总分值： 150科目名称：量子力学*可能需要用到的积分公式(1) 0e-ax2dx=12a (2) 0x2ne-ax2dx=(2n-1)2n+1a2n+1 (3) 0x2n+1e-ax2dx=n!2an+1 (4) 提示：积分0xne-axdx可以从积分公式（3）导出(5) -dxx2+1=(6) 2=1r2rr2r+1sinsin+1sin2221. （20分，每小题5分）计算下列对易关系（1） x, px=?（2） x2, px=?（3） x, lx=?（4） lz, lx+ily=?
2、2. （10分）若一个量子系统的波函数用下列高斯波包表示 (x)=42exp-122x2，求该系统在该状态下的位置与动量的不确定度，并验证不确定关系。3. （10分）电子运动的哈密顿量为H=p22m+lz ,其中为一个常数。判断px，py，pz，lx，ly，lz中哪几个力学量为守恒量，并简述理由。4. （10分）设体系由三个粒子组成，每个粒子可能处于三个单粒子态1，2和3中的任何一个态，分析体系的可能态的数目。分三种情况讨论：（1） 非全同粒子，不计及波函数的交换对称性；（2） 全同粒子，要求波函数对于交换是反对称；（3） 全同粒子，要求波函数对于交换是对称。 5. （20分）一个质量为 的粒
3、子处于一维无限深势阱中，Vx=0, 0xa, xa（1） 求归一化定态波函数及相应的能量本征值；（2） 假定初始时刻粒子处于基态和第一激发态的概率各为1/2，求t时刻粒子的归一化波函数及能量期望值；（3） 接第（2）问，求出t时刻，在x=a/2处发现粒子的概率密度。6. （20分）设体系处于=12Y11+c1Y10状态，其中c1为一常数，求：（1） lz的可能测值及相应概率；（2） l2的可能测值及相应概率；（3） lx的可能测值及相应概率。7. （20分）氢原子的束缚态能量本征函数为nlmr,=RnlrYlm,，其中Rnlr为径向波函数，Ylm(,)为球谐函数。已知，氢原子处于基态，其径向波
4、函数为R10r=2a3/2e-r/a ，其中，a=2e2。求：（1） r的期望值；（2） 动能期望值；（3） 最可几半径。8. （20分）由两个非全同粒子（自旋均为 2，设=1）构成的体系，设粒子间相互作为H=As1s2 （不考虑轨道运动）。设初始时刻（t=0）粒子1自旋“向上” （s1z=12），粒子2自旋“向下” （s2z=-12）。 求时刻t（0）：(1) 粒子1自旋向上的概率；(2) 粒子1和2自旋均向上的概率；(3) 总自旋S=0及S=1的概率。9. （20分）一维谐振子哈密顿量为H=-22d2dx2+12m2x2，其归一化基态波函数为0x=1/2e-122x2，其中=m 。现加一个微扰H=x2+b2，1且为实常数。考虑下面两种情况：（1）b1、 （2）b1 ，分别计算谐振子基态能量的一级微扰修正。第 2 页 共 2 页
