1、2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数2.4 反函数反函数知识回顾知识回顾1函数的概念函数的概念2函数定义域、值域的求法函数定义域、值域的求法物体匀速直线运动中，速度物体匀速直线运动中，速度50km/h，可知，可知位移位移s 是时间是时间t 的函数，即的函数，即时间时间t 是位移是位移s 的函数，即的函数，即反函数反函数ts5050st x是自变量，是自变量，y是是x的函数，的函数，定义域定义域xR，值域，值域y(0, ).y是自变量，是自变量，x是是y的函数，的函数，定义域定义域y(0, )
2、，值域，值域xR.1.指数函数与对数函数对照表指数函数与对数函数对照表名名 称称指数函数指数函数对数函数对数函数解析式解析式图图 象象定义域定义域值值 域域单单调调性性定定 点点图像关系图像关系R( 0 , + )( 0 , + )Ry=ax(a1)在在R上是增函数上是增函数在在( 0 , + )上是增函数上是增函数y=logax(a1)y=logax(0a1)xyoxyoy=ax(0a1y=axy=logax0a1)y=logax(a1)y=ax4321-1-2-4-2246y=logaxy=ax0a10a12.4 反函数反函数新授课新授课1反函数反函数 一般地，函数一般地，函数 中，设值域
3、为中，设值域为C如果对如果对于于y 在在C 中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过 ，x 在在A 中都有唯一中都有唯一值和它对应，那么值和它对应，那么 就表示就表示y 是自变量，是自变量，x 是自变量是自变量y 的函数这样的函数的函数这样的函数 叫做函数叫做函数 的的反函数反函数，记作，记作 ）Axxfy ( )()(yx )(yx )( )(Cyyx ）Axxfy ( )()(1yfx 习惯将反函数表示为习惯将反函数表示为 ， 表示自变量，表示自变量， 表示函数表示函数)(1xfy )(Cxx )(Ayy 函数函数yf(x) 反函数反函数yf1(x)定义域定义域AC值值 域域CA1. 函数
4、函数yf(x)的图象和它的反函数的图象和它的反函数yf1(x)的图象关于直线的图象关于直线yx对称对称.2. 互为反函数的两个函数具有相同互为反函数的两个函数具有相同的的增减性增减性 若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b, a).函数函数f(x)loga (x1)(a0且且a1)的反函数的图象经过点的反函数的图象经过点(1, 4)，求，求a的值的值. 若函数若函数yf(x)的图象经过点的图象经过点(a, b)，则其反函数的图象经过点则其反函数的图象经过点(b, a).小小 结：结：设设A=R，B=R，映射映射 ABx?yx
5、=?f62:xyxf62 xy求函数求函数 的反函数？的反函数？)(62)(Rxxxf2.4 反函数反函数典型例题典型例题解：解：（1）由）由 函数函数 ，解得解得 13 xy31 yx)(31Rxxy 所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是)( 13Rxxy 例题求下列函数的反函数：例题求下列函数的反函数：（1）);( 13Rxxy )( 13Rxxy （2）)0( 1 xxy（3）) 1,(132 xRxxxy（4）（2）由）由 函数函数 ，解得解得 )( 13Rxxy 31 yx所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是)( 13Rxxy )(13Rxxy （3）由）由 函数函数 ，
6、解得解得 1 xy2)1( yx所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是)0( 1 xxy)1()1(2 xxy（4）由）由 函数函数 ，解得解得 132 xxy23 yyx所以，函数所以，函数 的反函数是的反函数是)1,(132 xRxxxy且且)2,(23 xRxxxy且且练习求函数32（R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由32（R ）得32所以21（R）的反函数是（R ）32经过两点（0，2）， （2/3，0）32 经过两点（2，0）， （0 ，2/3 ）320 xy3232想一想：函数32的图象和它的反函数 32 的图象之间有什么关系？练习、求函数练习、求
7、函数 的反函数，并且在同一坐标内画出原函数的反函数，并且在同一坐标内画出原函数和其反函数的图象。和其反函数的图象。3xy xy3xy 3xy xy 解解: 由由 得得:3xy 与与 互换互换, 3xy 所求反函数为所求反函数为 。Rxxy,33,yxRyyx1.函数函数y=f（x）的图象和它的反函数）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象的图象 直线直线;2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 。3.如果两个函数的图像关于直线如果两个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这两个函数那么这两个函数 互为反函数互为反函数.4.如果一个函数的图像关于直线如果一个函数的图像关于直线y=x对称对称,那么这个函数的那么这个函数的 反函数就是它本身反函数就是它本身.反之也成立。反之也成立。5.点点P（a，b）关于直线）关于直线 y=x 对称的点是对称的点是P1（b，a）. 性质：性质： abfbaf16.
