1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.1 综合法和分析法综合法和分析法2.2.2 反反 证证 法法 综合法和分析法，综合法和分析法，是直接证明中最基是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式常用的思维方式. .1 一般地，利用已知条件和某些数学定义、一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等公理、定理等, ,经过一系列的推理论证经过一系列的推理论证, ,最后推最后推导出所要证明的结论成立导出所要证明的结论成立. .其特点是其特点是“由因导果由因导果”. .1.1.综合法综合法: :( (顺推证法顺推证法或或由因导果
2、法由因导果法) ) 则综合法可用框则综合法可用框图表示如下：图表示如下： 用用P P表示已知条件、表示已知条件、已有的定义、公理、定已有的定义、公理、定理等理等,Q,Q表示所要证明的表示所要证明的结论结论. .1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q2已知已知a0,b0,求证求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc证明证明: b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.又又 c2+a2 2ac,b0 b(c2+a2) 2abc. a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.3例题例题1 在在ABC中，三个内角中，三个内角A、B、C对
3、应的对应的边分别为边分别为a、b、c，且，且A、B、C成成等差等差数列，数列，a、b、c成成等比等比数列，求证数列，求证ABC为等边三为等边三角形角形分析分析将将A，B，C成等差数列，转化为符号成等差数列，转化为符号语言就是语言就是2B=A+C；A，B，C为为ABC的内角，这是一个隐含的内角，这是一个隐含条件，即条件，即A+B+C=180；a，b，c成等比数列转化为符号语言就是成等比数列转化为符号语言就是2b =ac. 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余
4、弦定理正好满足要求形状，余弦定理正好满足要求. .于是，可以用余弦定于是，可以用余弦定理进行证明理进行证明. .4证明：证明：由由A A，B B，C C成等差数列，所以成等差数列，所以 2B=A+C.由由A A，B B，C C为为C C的内角的内角, ,所以所以+=180B =.3由由a，b，c成等比数列，有成等比数列，有2b = ac.由由 ，得，得 ，得，得由由 ，得，得由余弦定理及由余弦定理及 ，可得，可得222b = a +c -2accosB22a+ c- ac = ac,即2a-c= 0.（）因此因此a=c.从而从而 A=C.A = B = C =.3所以所以C C为等边三角形为等
5、边三角形. .由由 ,得得52.2.分析法分析法( (逆推证法逆推证法或或执果索因法执果索因法) )从要证明的结论出发从要证明的结论出发, ,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的充分条件充分条件, ,直至最后直至最后, ,把要证明的结论归结为把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件判定一个明显成立的条件( (已知已知, ,定理定理, ,定义定义, ,公理等公理等). ).特点：特点：执果索因执果索因我们也可以用框图来表示分析法：我们也可以用框图来表示分析法：1 1Q QP P2323PPPP1 12 2P PP P得到一个明显得到一个明显成立的结论成立的结论6分析法的适用范围：分析法的适用范
6、围： 当已知条件与结论之间的联系不够明显、当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接证明需要用哪些知识不太明确具体时，直接证明需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件步反推，寻求使当前命题成立的充分条件. .不等式：不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba a b b2 2例例1 1：7证明证明: :要证要证只需证只需证: :只需证只需证: :只需证只需证: :因为因为: : 成立成立所以所以 成立成立 a a + + b ba ab b2 2 2a a +
7、+ b ba ab b 20a a + + b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b ba a b b2 28证明：证明：只需证只需证223 +7 2 5 .（） （）只需证只需证10+2 21 20，3 +7 2 5，因为因为 和和 都是正数，所以要证都是正数，所以要证3 +72 5例题例题23 +7 2 5.求求证证： 即证即证21 5，即证即证2125.因为因为2125成立，所以成立，所以 成立成立.3 +7 2 5 在本例中，如果我们从在本例中，如果我们从“2125”出发，出发，逐步倒推回去，就是综合法逐步倒推回去，就是综合法.但由于我们很难但由于我们很
8、难想到从想到从“2125”入手，所以用综合法比较困入手，所以用综合法比较困难难.反思反思9注：注：反证法反证法是最常用的是最常用的间接证法间接证法 一般地，假设原命题不成立一般地，假设原命题不成立, ,经过正经过正确的推理，最后得出矛盾确的推理，最后得出矛盾, , 因此说明假因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做的证明方法叫做反证法反证法3.3.反证法反证法( (归谬法归谬法) )10 1. 1. 反证法的步骤反证法的步骤：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命
9、题的结论不成立；假设命题的结论不成立； 即假定原命题的反面为真即假定原命题的反面为真；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的从假设出发，经过一系列正确的 推理推理, ,得出得出矛盾矛盾；11（1）直接证明有困难直接证明有困难正难则反正难则反! !（3）唯一性命题唯一性命题（2）否定或肯定性命题否定或肯定性命题（4）至多，至少型命题至多，至少型命题2.2.适宜用反证法证明的题型适宜用反证法证明的题型12 例例1 1：已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有有且只有
10、 一个根。一个根。1212则ax = b，ax = b则ax = b，ax = b1212ax = axax = ax1 12 2 a ax x - -a ax x = = 0 01 12 2 a a（x x - -x x ） = = 0 0 12xx因为x 0 x 0201xx故假设不成立，结论成立。故假设不成立，结论成立。证明：证明：由于由于a 0a 0，因此方程至少有一个根，因此方程至少有一个根x=b/ax=b/a， 如果方程不只一个根，不妨设如果方程不只一个根，不妨设x x1 1,x,x2 2 （x x1 1 x x2 2 ) )是方程的两个根是方程的两个根. .所以所以a=0,这与已知矛盾这与已知矛盾13例例2: 设设0 a, b, c 1 64 又又0 a, b, c 41, (1 c)a 41证明：假设证明：假设(1 a)b 4114
