1、 空间向量空间向量2022-5-17复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2022-5-172、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法K=0?02022-5-17abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向
2、线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。2022-5-17平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗
3、？2022-5-17加法结合律：)()(cbacbaabcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+2022-5-17推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn2022-5-17ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1
4、D D1 12022-5-17例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB2022-5-17例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCA
5、CAAACAAADABM 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量2022-5-17F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF32022-5-17例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2022-5-17例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CC
6、DAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2022-5-17例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC2022-5-17例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的
7、值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x2022-5-17ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简2022-5-17ABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1
8、在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简2022-5-17ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.E2022-5-17ABCDDCBA) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.
9、x,y.2022-5-17ABCDDCBAADyABxAAAE ) 2 (练习2E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.2022-5-17小结：小结： 1、共线向量定理。、共线向量定理。，使充要条件是存在实数的），（、对空间任意两个向量bbabbaa/0。，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba2、共面向量定理。、共面向量定理。2022-5-173 3、向量的数量积、向量的数量积bababa,cos4 4、数量积的性质、数量积的性质0babaaaa2（
10、1）（2）2022-5-17平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零2022-5-17ababOABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉
11、及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？2022-5-17作业.,CDc, b, a cAD b aBDACBCABABCD，来表示试用，中，空间四边形思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.2022-5-17已知空间四边形已知空间四边形ABCD中，中， ABCDCD， ACBD,BD,用向量方法证明：用向量方法证明：ADBC.BC.ABCD2022-5-17已知平行六面体已知平
12、行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的底面的底面ABCDABCD是菱是菱形形, ,且且C C1 1CB = CCB = C1 1CD = BCD,CD = BCD,求证：求证： CC1BDA1B1D1ACDBC1小结：小结：证明空间两向量证明空间两向量 垂直，可先选定垂直，可先选定一组不共面的向量为基底，去表示这两个向量，一组不共面的向量为基底，去表示这两个向量，再证明再证明ba、0 ba2022-5-17已知平行六面体已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，同一顶中，同一顶点为端点的三条棱长都等于点为端点的三条棱长都等于1 1，且彼此的，且彼此的夹角都是夹角都是6060，求对角线，求对角线ACAC1 1的长的长A1B1D1ACDBC12022-5-17正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1CC1 1D D1 1中，的棱长等于中，的棱长等于1 1，且，且MAMA1 1D, NAC D, NAC ，求，求MNMN的长。的长。C1D1B1A1CDABMN2022-5-17
