1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时 yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间复习引入复习引入G = ( a , b ) 以前以前,
2、我们主要采用定义法去判断函数的我们主要采用定义法去判断函数的单调性单调性. 在函数在函数y=f(x) 比较复杂的情况下比较复杂的情况下,比较比较f(x1)与与f(x2)的大小并不容易的大小并不容易. 如果利用导数来如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单判断函数的单调性就比较简单.判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？图象法图象法定义法定义法已知函数已知函数xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3xy1 观察下面一些函数的图象观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函探讨函数的单调性与其导函数正负的关系数正负的关系. 在某个区间在某个区间( (a, ,b
3、) )内内, ,如果如果 , ,那么函数那么函数 在这个区间内单调递增在这个区间内单调递增; ; 如果如果 , , 那么函数那么函数 在这个区间内单调递减在这个区间内单调递减. .0)( xf)(xfy 0)( xf)(xfy 结结 论论例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4 , 或或 x 1时时,当当 x = 4 , 或或 x = 1时时,)(xf ; 0)( xf; 0)( xf. 0)( xf试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.)(xf解解: 当当1 x 4 , 或或 x 1时时, 可知可知 在此区在此区间内单调递减间内单调递减;, 0)(
4、 xf)(xf 当当 x = 4 , 或或 x = 1时时, . 0)( xf 综上综上, 函数函数 图象图象的大致形状如右图所示的大致形状如右图所示.)(xfxyO14例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因为因为 , 所以所以xxxf3)(3. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf3)(3Rx 单调递增区间为(-(2) 因为因为 , 所
5、以所以32)(2xxxf).1(222)(xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;0)( xf1x32)(2xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf1x32)(2xxxf例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因为因为 , 所以所以), 0(,sin)(xxxxf. 01cos)(xxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxf
6、 sin)(), 0(x例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf(4) 因为因为 , 所以所以 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单调递增;0)( xf21712171xx或)(xf 当当 , 即即 时时,函数函数 单调递减单调递减.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)
7、( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf证明: 因为f(x)=2x3-6x2+7 /(x)=6x2-12x=6x(x-2), 当x(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0, 3-6x2+7在(0,2)内是减函数 例例3、 求证函数求证函数f(x)=2x3-6x2+7在在(0,2)内是减函数内是减函数2120 10 1f xaxx, ,f xxx,a. 例 已知函数（ ），(若（ ）在(上是增函数，求 的取值范围322( )f xax解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增32f x
8、axx( )0,即-在（0， 1上恒成立31max而 ( )在（0， 1上单调递增，( )(1)=-1g xxg xg 1a- 例例5 5 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相即单位时间内注入水的体积相同同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容请分别找出与各容器对应的水的高度器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 1. 对对x(a,b),如果如果f/(x)0,但但f/(x)不恒不恒为为0,则则f(x)在区间在区间(a,b)上是增函数上是增函数; 2. 对对x(a,b),如果如果f/(x)0,但但f/(x)不恒不恒为为0,则则f(x)在区间在区间(a,b)上是减函数上是减函数;补充结论补充结论A322( ), ,30( )( )( )( )( )f xxaxbx ca b cabf xRABCD 函函数数其其中中为为常常数数，当当时时，在在 上上( ( ) )增增函函数数 减减函函数数 常常数数 既既不不是是增增函函数数也也不不是是减减函函数数
