1、26.1二次函二次函数数 在某变化过程中的两个变量在某变化过程中的两个变量x x、y y，当变量，当变量x x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y y总有唯一的值与它对应。总有唯一的值与它对应。 这样的两个变量之间的关系我们把它叫这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。做函数关系。 对于上述变量对于上述变量x x 、y y，我们把，我们把y y叫叫x x的函数的函数。 x x叫自变量，叫自变量， y y叫因变量。叫因变量。目前，我们已经学习了那几种类型的函数？ 函数函数w一次函数一次函数w反比例函数反比例函数w二次函数二次函数w正比例函数正比例函
2、数k ky y = =k k 0 0 x xy=kx+b (k0)y=kx(k0)一条直线一条直线双曲线双曲线节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经过的路线？它会与某种函数有联系吗？会与某种函数有联系吗？抛物线型桥拱抛物线型桥拱奥运赛场腾空的篮球奥运赛场腾空的篮球温馨提示：同桌交流，温馨提示：同桌交流，互相帮助！互相帮助！ 试一试：试一试：探究问题探究问题1要用总长为要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围法，才能使围成的面积最大？使围成的面积最大？ 1
3、设矩形靠墙的一边设矩形靠墙的一边AB的长的长，矩形的面积，矩形的面积y2能用含能用含x的代数式来表示的代数式来表示y吗？吗？2 试填试填下面下面的表的表3 x的值可以任意取？有限定范围吗？的值可以任意取？有限定范围吗？4 我们发现我们发现y是是x的函数，试写出这个函数的关系式的函数，试写出这个函数的关系式。 BCDAB的长（）的长（）的长（）的长（）面积（面积（）Axx20-2xy=x(20-2x) (0 x10)Y=-2x2+20 x (0 x10)1818321442161050848642432180 x102探究问题探究问题2某商店将每商品进价为某商店将每商品进价为8元的商品按每元的商
4、品按每10元出售，一天可售出约元出售，一天可售出约100件。件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？降低多少时，能使销售利润最大？1 设每件商品降低设每件商品降低x元（元（0 x2），该商品每天的利润为），该商品每天的利润为y，y是是x的函的函数吗？为什么要限定数吗？为什么要限定x的值？的值？2 怎样写出该关系式？怎样写出该关系式？ 试一试：试一试：
5、温馨提示：同桌交流，温馨提示：同桌交流，互相帮助！互相帮助！单件利润（元）每天销量（件）每天利润（y元)降价x元前降价x元后(-)10-81-x-8(10-x-8)(100+100 x)100+100 xy=(10-x-8)(100+100 x)即即y=-100 x2+100 x+200( 0 x2)每天利润= 单件利润每天销量 注意注意: :当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时, ,还必还必须根据题意确定自变量的取值范围须根据题意确定自变量的取值范围. .例如：圆的面积 y ( )与圆的半径 x（cm)的函数关系是 2cmy =x2其中自变量x能取哪些值呢？0 x问题：是
6、否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢？一般地一般地, ,形如形如的函数的函数, ,叫做二次函数叫做二次函数. .其中其中, ,x x是是自变量自变量, ,a,b,ca,b,c分分别是函数表达式的别是函数表达式的二次项系数、一次项系数二次项系数、一次项系数和和常数项常数项. .(1)(1)等号左边是函数等号左边是函数y y，右边是关于自变量，右边是关于自变量x x的的 (3) (3)等式右边的最高次数为等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，可以没有一次项和常数项，但但 . .注意注意: :(2) a,b,c(2) a,b,c为常数，且为常数，且(4) (4) 自变量自
7、变量x x的取值范围是的取值范围是 整式整式a0.a0.2 2 任意实数任意实数当二次函数表示某个实际问题时当二次函数表示某个实际问题时, ,还必须根据题意确还必须根据题意确定自变量的取值范围定自变量的取值范围. .y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)不能没有二次项不能没有二次项yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式：当当b0时，时， yax2c (其中a、c是常数,a0)当当c0时，时， yax2bx (其中a、b是常数,a0)当当b0，c0时，时， yax2 (其中a是常数,a0)1.1.下列下列函数中
8、函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？ (1)(1) y=3(x-1)y=3(x-1)+1+1 (3) s=3-2t (3) s=3-2t (5)y=(x+3) (5)y=(x+3)-x-x (6)v=10r (6)v=10r2 21 1(4)y =(4)y =x - xx - x（是）（是）（否）（否）（是）（是）（否）（否）（否）（否）（是）（是）(7) y=x(7) y=x+x+x+25+25(8)y=2(8)y=2+2x+2x（否）（否）（否）（否）1 1y = x+y = x+x x(2)(2)(9)y= x (是是)( (12)y=mx12)y=mx+nx+p (m,n,p+nx
9、+p (m,n,p为常数）为常数）3(否否)(10)y=x-2+x (否否)652 xx(否否)先化简后判断先化简后判断(11) y 圆的半径是圆的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时, ,圆的面积增加圆的面积增加ycmycm. .（1 1）写出）写出y y与与x x之间的函数关系表之间的函数关系表达式；达式；（2 2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm1cm, ,2cm时时, ,圆的面积增加圆的面积增加多少？多少？2cm2cm 如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1y=(k-3) +kx+1是二次函是二次函数数, ,则则k k的值一定是的值
10、一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x0如果函数如果函数y= +kx+1y= +kx+1是二次函数是二次函数, ,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 2 2k k - - 3 3k k+ + 2 2x x0或或3已知函数已知函数 (1) k(1) k为何值时，为何值时，y y是是x x的一次函数？的一次函数？ (2) k(2) k为何值时，为何值时，y y是是x x的二次函数？的二次函数？解解（1 1）根据题意得）根据题意得 k=1k=1时时,y,y是是x x的一次函数。的一次函数。002kkk22()2ykk xkxk当时数2 2(2)k - k(2)k -
11、k0,即0,即kk0且0且kk1 1y是y是x的x的二二次次函函例2写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系（2）由题意得 其中y是x的二次函数；（3）由题意得 其中S是x的 二次函数)0(42xxy解: （1）由题意得 其中S是a的二次函数；)0(62aaS)260(1321)26(212xxxxxS例3:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10
12、,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.由题意得：为解：设所求的二次函数,2cbxaxy724410cbacbacba5, 3, 2cba解得，5322xxy所求的二次函数是待定系数法例5.已知二次函数已知二次函数4) 1( 22 xy当x=1时,函数y有最小值为4x取任意实数（1）你能说出此函数的最小值吗？（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？例4. 已知二次函数y=x+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.2,yxpxq解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得：14425pqpq 12,15.
13、q解得，p21215yxx所求的二次函数是 在实践中感悟在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同 变换角度分析问题变换角度分析问题 若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x为自变量的二次为自变量的二次函数，求函数，求m、n的值。的值。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=02m+n=1m-n=2m=1n=-12m+n=2 m-n=2m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/32m+n=0m-n=2m=2/3n=2/3 在实践中感悟在实践中感悟 横看成岭侧成峰，远近高低各不同横看成岭侧成峰，远近高低各不同 变换角度分析问题变换角
14、度分析问题 若函数若函数y=x2m+n 2xm-n+3是以是以x为自变量的二次为自变量的二次函数，求函数，求m、n的值。的值。 2m+n=2m-n=1 m=1 n=0 2m+n=1m-n=2m=12m+n= 2 m=m=4/3n=-2/32m+n=2m-n=0m=2/3n=-4/3 m+n=0m-n=2m=2/3n=2/32m+n=2m-n=12m+n=1m-n=22m+n=2 m-n=22m+n=2m-n=0 m=1n=-1m=2/3 n=-4/3习题26.11. 2. 3. 4.独立独立作业作业知识的升华祝你成功！祝你成功！生活是数学的源泉生活是数学的源泉. .下课了!探索是数学的生命线.
